Аргумент (комплексный анализ) - Argument (complex analysis)

Рисунок 1. Это Диаграмма Аргана представляет комплексное число лежа на самолет. Для каждой точки на плоскости

аргумент

это функция, которая возвращает угол

φ

.

В математика (особенно в комплексный анализ ), аргумент многозначный функция оперирует ненулевым сложные числа. С комплексными числами z визуализируется как точка в комплексная плоскость, аргумент z это угол между положительным настоящий ось и линия, соединяющая точку с началом координат, показанная как $φ$ на рисунке 1 и обозначен как arg z.^[1] Чтобы определить однозначную функцию, основная стоимость аргумента (иногда обозначается как Arg z) используется. Часто выбирается уникальное значение аргумента, лежащее в интервале (–π, π].^[2]^[3]

Определение

Рисунок 2. Два варианта аргумента

φ

An аргумент комплексного числа $z = Икс + иу$ , обозначенный $аргумент (z)$ ,^[1] определяется двумя эквивалентными способами:

Геометрически в комплексная плоскость, как 2D полярный угол $φ$ от положительной действительной оси к вектору, представляющему $z$ . Числовое значение задается углом в радианы, и положительный, если измерять против часовой стрелки.
Алгебраически, как любая действительная величина $φ$ такой, что

{displaystyle z = r (cos varphi + isin varphi) = re ^ {ivarphi}}

для некоторого положительного реального

р

(увидеть Формула Эйлера ). Количество

р

это модуль (или абсолютное значение)

z

, обозначенный |

z

|:^[1]

{displaystyle r = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Имена величина, для модуля и фаза,^[4]^[2] в качестве аргумента иногда используются эквивалентно.

При обоих определениях можно видеть, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет много возможных значений: во-первых, как геометрический угол, ясно, что вращения всего круга не меняют точку, поэтому углы отличаются на целое кратное из $2π$ радианы (полный круг) такие же, как показано на цифре 2 справа. Точно так же из периодичность из $грех$ и $потому что$ , этим свойством обладает и второе определение. Нулевой аргумент обычно остается неопределенным.

Главное значение

Рисунок 3. Основная ценность

Arg

синей точки на

1 + я

является

π / 4

. Красная линия здесь - это разрез ветви и соответствует двум красным линиям на рис. 4, если смотреть вертикально друг над другом).

Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет комплексное число неизменным, есть много вариантов, которые можно сделать для $φ$ обведя точку отсчета любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представляющем многозначный (многозначная) функция ${displaystyle f (x, y) = arg (x + iy)}$ , где вертикальная линия (не показана на рисунке) разрезает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки.

Когда четко определенный функция, то обычный выбор, известный как основная стоимость, это значение в открытом-закрытом интервал $(-π рад, π рад]$ , это из $-π$ к $π$ радианы, исключая $-π$ сам рад (эквивалент, от -180 до +180 градусы, исключая собственно −180 °). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной реальной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как закрытый-открытый интервал. $[0, 2π)$ .

Обозначение

В главном значении иногда начинается заглавная буква, как в $Arg z$ , особенно когда рассматривается общая версия аргументации. Обратите внимание, что обозначения могут быть разными, поэтому $аргумент$ и $Arg$ могут быть заменены в разных текстах.

Множество всех возможных значений аргумента можно записать в терминах $Arg$ так как:

{displaystyle operatorname {arg} (z) in {operatorname {Arg} (z) + 2pi n; |; nin mathbb {Z}}.}.

Точно так же

{displaystyle operatorname {Arg} (z) = operatorname {arg} (z) -2pi n; |; nin mathbb {Z} land -pi

Вычисление из реальной и мнимой части

Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение $Arg$ называется функция арктангенса с двумя аргументами atan2:

{displaystyle operatorname {Arg} (x + iy) = operatorname {atan2} (y ,, x)}

.

Функция atan2 (также называемая arctan2 или другими синонимами) доступна в математических библиотеках многих языков программирования и обычно возвращает значение в диапазоне $(-π, π]$ .^[2]

Во многих текстах говорится, что значение определяется $арктан (y / Икс)$ , так как $y / Икс$ наклон, и $арктан$ преобразует наклон в угол. Это верно только тогда, когда $Икс > 0$ , поэтому частное определено, а угол лежит между $- π /2$ и $π /2$ , но распространяя это определение на случаи, когда $Икс$ не положительно относительно вовлечен. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на двух полуплоскостях $Икс > 0$ и $Икс < 0$ (разделены на два квадранта, если кто-то хочет, чтобы на отрицательном $Икс$ -ось), $y > 0$ , $y < 0$ , а затем исправьте вместе.

{displaystyle operatorname {Arg} (x + iy) = operatorname {atan2} (y ,, x) = {egin {cases} arctan left ({frac {y} {x}} ight) & {ext {if}} x > 0, arctan left ({frac {y} {x}} ight) + pi & {ext {if}} x <0 {ext {and}} ygeq 0, arctan left ({frac {y} {x }} ight) -pi & {ext {if}} x <0 {ext {and}} y <0, + {frac {pi} {2}} & {ext {if}} x = 0 {ext { и}} y> 0, - {frac {pi} {2}} & {ext {if}} x = 0 {ext {and}} y <0, {ext {undefined}} & {ext {if }} x = 0 {ext {and}} y = 0.end {case}}}

Компактное выражение с 4 перекрывающимися полуплоскостями:

{displaystyle operatorname {Arg} (x + iy) = operatorname {atan2} (y ,, x) = {egin {cases} arctan left ({frac {y} {x}} ight) & {ext {if}} x > 0, {frac {pi} {2}} - arctan влево ({frac {x} {y}} ight) & {ext {if}} y> 0, - {frac {pi} {2}} -arctan left ({frac {x} {y}} ight) & {ext {if}} y <0, arctan left ({frac {y} {x}} ight) pm pi & {ext {if}} x <0, {ext {undefined}} & {ext {if}} x = 0 {ext {and}} y = 0.end {case}}}

Для варианта, когда $Arg$ определяется как лежащий в интервале $[0, 2π)$ , значение можно найти, добавив $2π$ на значение выше, когда оно отрицательное.

В качестве альтернативы, главное значение можно рассчитать единообразно, используя формула касательного полуугла, функция определяется на комплексной плоскости, но исключает начало координат:

{displaystyle operatorname {Arg} (x + iy) = {egin {cases} 2arctan left ({frac {y} {{sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} ight) & { ext {if}} x> 0 {ext {или}} yeq 0, pi & {ext {if}} x <0 {ext {and}} y = 0, {ext {undefined}} & {ext { if}} x = 0 {ext {and}} y = 0.end {case}}}

Это основано на параметризации круга (за исключением отрицательного $Икс$ -ось) рациональными функциями. Эта версия $Arg$ недостаточно стабильна для плавающая точка вычислительное использование (так как он может переполняться вблизи области $Икс < 0, y = 0$ ), но может использоваться в символьный расчет.

Вариант последней формулы, позволяющий избежать переполнения, иногда используется в вычислениях с высокой точностью:

{displaystyle operatorname {Arg} (x + iy) = {egin {cases} 2arctan left ({frac {{sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - x} {y}} ight) & { ext {if}} yeq 0, 0 & {ext {if}} x> 0 {ext {and}} y = 0, pi & {ext {if}} x <0 {ext {and}} y = 0 , {ext {undefined}} & {ext {if}} x = 0 {ext {and}} y = 0.end {case}}}

Идентичности

Один из основных мотивов определения основной ценности $Arg$ уметь записывать комплексные числа в форме аргумента-модуля. Следовательно, для любого комплексного числа $z$ ,

{displaystyle z = left | zight | e ^ {ioperatorname {Arg} z}.}

Это действительно только если $z$ не равно нулю, но может считаться действительным для $z = 0$ если $Арг (0)$ рассматривается как неопределенная форма - а не как неопределенный.

Далее следуют некоторые дальнейшие идентичности. Если $z 1$ и $z 2$ два ненулевых комплексных числа, то

{displaystyle operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) эквивалентное operatorname {Arg} (z_ {1}) + operatorname {Arg} (z_ {2}) {pmod {(-pi, pi]}}, }

{displaystyle operatorname {Arg} {iggl (} {frac {z_ {1}} {z_ {2}}} {iggr)} эквивалентное имя оператора {Arg} (z_ {1}) - имя оператора {Arg} (z_ {2} ) {pmod {(-pi, pi]}}.}

Если $z \neq 0$ и $п$ любое целое число, то^[2]

{displaystyle operatorname {Arg} left (z ^ {n} ight) эквивалент noperatorname {Arg} (z) {pmod {(-pi, pi]}}.}

пример

{displaystyle operatorname {Arg} {iggl (} {frac {-1-i} {i}} {iggr)} = operatorname {Arg} (-1-i) -operatorname {Arg} (i) = - {frac { 3pi} {4}} - {frac {pi} {2}} = - {frac {5pi} {4}}}

Использование комплексного логарифма

От ${displaystyle z = | z | e ^ {i heta}}$ , легко следует, что ${displaystyle operatorname {Arg} (z) = - iln {frac {z} {| z |}}}$ . Это полезно, когда есть комплексный логарифм имеется в наличии.

использованная литература

^ ^а ^б ^c «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-31.
^ ^а ^б ^c ^d Вайсштейн, Эрик В. «Сложный аргумент». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-31.
^ «Чистая математика». internal.ncl.ac.uk. Получено 2020-08-31.
^ Математический словарь (2002). фаза.

Список используемой литературы

Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1.
Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4.
Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии. Чичестер: Вайли. ISBN 0-471-99671-8.
Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как Словарь по математике]. Математика. Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: ХарперКоллинз. ISBN 0-00-710295-X.

внешние ссылки

Аргумент в Энциклопедия математики.

[:0-1] а ^б ^c «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-31.

[:1-2] а ^б ^c ^d Вайсштейн, Эрик В. «Сложный аргумент». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-31.

[3] «Чистая математика». internal.ncl.ac.uk. Получено 2020-08-31.

[phase-4] Математический словарь (2002). фаза.

[1]

[2]

[3]

[4]