Неопределенная форма - Indeterminate form

«0/0» перенаправляется сюда. Для обозначения см. Знак процента.

В исчисление и другие отрасли математический анализ, пределы, включающие алгебраическую комбинацию функций в независимой переменной, часто можно оценить, заменив эти функции их пределы; если выражение, полученное после этой замены, не предоставляет достаточной информации для определения исходного предела, то говорят, что оно предполагает неопределенная форма. Более конкретно, неопределенная форма - это математическое выражение, включающее ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle \infty }$, полученный применением алгебраическая предельная теорема в процессе попытки определить предел, который не может ограничить этот предел одним конкретным значением или бесконечностью (если предел подтвержден как бесконечность, то он не является бесконечным, поскольку предел определяется как бесконечность) и, таким образом, еще не определяет искомый предел.^[1][2] Термин был первоначально введен Коши студент Moigno в середине 19 века.

В литературе обычно рассматриваются семь неопределенных форм:^[2]

${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ and }}\infty ^{0}.}$

Наиболее распространенный пример неопределенной формы возникает при определении предела отношения двух функций, в котором обе эти функции стремятся к нулю в пределе, и упоминается как "неопределенная форма ${\displaystyle 0/0}$". Например, как ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle 0}$, отношения ${\displaystyle x/x^{3}}$, ${\displaystyle x/x}$, и ${\displaystyle x^{2}/x}$ идти к ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle 1}$, и ${\displaystyle 0}$ соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результирующее выражение будет ${\displaystyle 0/0}$, который не определен. Грубо говоря, ${\displaystyle 0/0}$ может принимать значения ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, или же ${\displaystyle \infty }$, и легко построить аналогичные примеры, для которых пределом является любое конкретное значение.

Итак, учитывая, что два функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ оба приближаются ${\displaystyle 0}$ в качестве ${\displaystyle x}$ подходит к некоторым предельная точка ${\displaystyle c}$, сам по себе этот факт не дает достаточно информации для оценки предел

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

Не всякое неопределенное алгебраическое выражение соответствует неопределенной форме. Например, выражение ${\displaystyle 1/0}$ не определен как настоящий номер но не соответствует неопределенной форме, потому что любой предел, который приводит к этой форме, будет расходятся до бесконечности если знаменатель приближается к 0, но никогда не будет 0.^[3]

Выражение, которое возникает другими способами, кроме применения алгебраической предельной теоремы, может иметь ту же неопределенную форму. Однако неуместно называть выражение «неопределенной формой», если выражение сделано вне контекста определения пределов. Например, ${\displaystyle 0/0}$ которые возникают в результате подстановки ${\displaystyle 0}$ за ${\displaystyle x}$ в уравнении ${\displaystyle f(x)=|x|/(|x-1|-1)}$ не является неопределенной формой, поскольку это выражение не используется при определении предела (на самом деле оно не определено как деление на ноль Другой пример - выражение ${\displaystyle 0^{0}}$. Оставлено ли это выражение неопределенным или определено как равное ${\displaystyle 1}$, зависит от области применения и может отличаться у разных авторов. Подробнее читайте в статье Ноль в степени нуля. Обратите внимание, что ${\displaystyle 0^{\infty }}$ и другие выражения, содержащие бесконечность не неопределенные формы.

Некоторые примеры и не примеры

Неопределенная форма 0/0

• 

  Рисунок 1: у = Икс/Икс

• 

  Рис. 2: у = Икс²/Икс

• 

  Рис. 3: у = грехИкс/Икс

• 

  Рис. 4: у = х - 49/√Икс − 7

• 

  Рис. 5: у = аИкс/Икс куда а = 2

• 

  Рис. 6: у = Икс/Икс³

Неопределенная форма ${\displaystyle 0/0}$ особенно часто встречается в исчисление, потому что часто возникает при оценке производные используя их определение в терминах лимита.

Как уже упоминалось выше,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$ (см. рис.1)

пока

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$ (см. рис.2)

Этого достаточно, чтобы показать, что ${\displaystyle 0/0}$ - неопределенная форма. Другие примеры с этой неопределенной формой включают

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$ (см. рис. 3)

и

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$ (см. рис.4)

Прямая подстановка числа, которое ${\displaystyle x}$ подходов к любому из этих выражений показывает, что эти примеры соответствуют неопределенной форме ${\displaystyle 0/0}$, но эти пределы могут принимать множество различных значений. Любое желаемое значение ${\displaystyle a}$ для этой неопределенной формы можно получить следующим образом:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$ (см. рис.5)

Значение ${\displaystyle \infty }$ также можно получить (в смысле расходимости на бесконечность):

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$ (см. рис.6)

Неопределенная форма 0⁰

Основная статья: Ноль в степени нуля

• 

  Рис.7: у = Икс⁰

• 

  Рис. 8: у = 0^Икс

Следующие ограничения показывают, что выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ неопределенная форма:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad }$ (см. рис.7)

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad }$ (см. рис.8)

Таким образом, в общем, зная, что ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!}$ и ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$ недостаточно, чтобы оценить предел

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$

Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ находятся аналитический в ${\displaystyle c}$, и ${\displaystyle f}$ положительно для ${\displaystyle x}$ достаточно близко (но не равно) к ${\displaystyle c}$, то предел ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ будет ${\displaystyle 1}$.^[4] В противном случае используйте преобразование в стол ниже, чтобы оценить предел.

Выражения, не являющиеся неопределенными формами

Выражение ${\displaystyle 1/0}$ обычно не рассматривается как неопределенная форма, потому что не существует бесконечного диапазона значений, которые ${\displaystyle f/g}$ мог подойти. В частности, если ${\displaystyle f}$ подходы ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle g}$ подходы ${\displaystyle 0}$, тогда ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ можно выбрать так, чтобы:

1. ${\displaystyle f/g}$ подходы ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$ подходы ${\displaystyle -\infty }$
3. Лимита не существует.

В каждом случае абсолютное значение ${\displaystyle |f/g|}$ подходы ${\displaystyle +\infty }$, поэтому частное ${\displaystyle f/g}$ должны расходиться в смысле расширенные действительные числа (в рамках проективно расширенная действительная линия, предел - это беззнаковая бесконечность ${\displaystyle \infty }$ во всех трех случаях^[3]). Точно так же любое выражение формы ${\displaystyle a/0}$ с ${\displaystyle a\neq 0}$ (включая ${\displaystyle a=+\infty }$ и ${\displaystyle a=-\infty }$) не является неопределенной формой, так как частное, порождающее такое выражение, всегда будет расходиться.

Выражение ${\displaystyle 0^{\infty }}$ не является неопределенной формой. Выражение ${\displaystyle 0^{+\infty }}$ получено из рассмотрения ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$ дает предел ${\displaystyle 0}$, при условии, что ${\displaystyle f(x)}$ остается неотрицательным, поскольку ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle c}$. Выражение ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ аналогично эквивалентно ${\displaystyle 1/0}$; если ${\displaystyle f(x)>0}$ в качестве ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle c}$, предел получается как ${\displaystyle +\infty }$.

Чтобы понять почему, позвольте ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ куда ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ Взяв натуральный логарифм от обеих сторон и используя ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ мы получаем это ${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ что обозначает ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Оценка неопределенных форм

Прилагательное неопределенный делает нет подразумевают, что ограничение не существует, как показывают многие из приведенных выше примеров. Во многих случаях алгебраическое исключение, Правило L'Hôpital, или другие методы могут использоваться для управления выражением, чтобы можно было оценить предел.^[1]

Эквивалент бесконечно малой

Когда две переменные ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ сходятся к нулю в той же предельной точке и ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$, они называются эквивалент бесконечно малой (эквивалент. ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$).

Более того, если переменные ${\displaystyle \alpha '}$ и ${\displaystyle \beta '}$ такие, что ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ и ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$, тогда:

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Вот краткое доказательство:

Предположим, что есть две эквивалентные бесконечно малые ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ и ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$.

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Для оценки неопределенной формы ${\displaystyle 0/0}$, можно использовать следующие факты об эквивалентных бесконечно малые (например., ${\displaystyle x\sim \sin x}$ если Икс становится ближе к нулю):^[5]

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$

В 2^nd равенство, ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ куда ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ в качестве у становится ближе к 0, и ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ куда ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ используется в 4^th равенство и ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$ используется в 5^th равенство.

Правило L'Hôpital

Основная статья: Правило L'Hôpital

Правило L'Hôpital - это общий метод оценки неопределенных форм ${\displaystyle 0/0}$ и ${\displaystyle \infty /\infty }$. Это правило гласит, что (при соответствующих условиях)

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

куда ${\displaystyle f'}$ и ${\displaystyle g'}$ являются производные из ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$. (Обратите внимание, что это правило нет применять к выражениям ${\displaystyle \infty /0}$, ${\displaystyle 1/0}$и так далее, поскольку эти выражения не являются неопределенными формами.) Эти производные позволят выполнить алгебраическое упрощение и в конечном итоге оценить предел.

Правило L'Hôpital может также применяться к другим неопределенным формам, используя сначала соответствующее алгебраическое преобразование. Например, чтобы оценить форму 0⁰:

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

Правая часть имеет вид ${\displaystyle \infty /\infty }$, поэтому к нему применяется правило L'Hôpital. Обратите внимание, что это уравнение действительно (пока определена правая часть), потому что натуральный логарифм (ln) - это непрерывная функция; неважно, насколько хорошо себя вели ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ может (или не может) быть до тех пор, пока ${\displaystyle f}$ асимптотически положительна. (область логарифмов - это набор всех положительных действительных чисел.)

Хотя правило L'Hôpital применяется к обоим ${\displaystyle 0/0}$ и ${\displaystyle \infty /\infty }$, одна из этих форм может быть более полезной, чем другая в конкретном случае (из-за возможности алгебраического упрощения впоследствии). При необходимости можно переключаться между этими формами, преобразовывая ${\displaystyle f/g}$ к ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$.

Список неопределенных форм

В следующей таблице перечислены наиболее распространенные неопределенные формы и преобразования для применения правила Л'Опиталя.

Неопределенная форма	Условия	Преобразование в ${\displaystyle 0/0}$	Преобразование в ${\displaystyle \infty /\infty }$
0/0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty }$/${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

Смотрите также

• Определенный и неопределенный
• Деление на ноль
• Расширенная строка действительных чисел
• Неопределенное уравнение
• Неопределенная система
• Неопределенный (переменный)
• Правило L'Hôpital

Рекомендации

1. "Окончательный словарь высшего математического жаргона - неопределенный". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-02.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Неопределенный". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-02.
3. «Неопределенное против неопределенного в математике». www.cut-the-knot.org. Получено 2019-12-02.
4. Луи М. Ротандо; Генри Корн (январь 1977 г.). «Неопределенная форма 0⁰". Математический журнал. 50 (1): 41–42. Дои:10.2307/2689754.
5. «Таблица эквивалентных бесконечно малых» (PDF). Программное обеспечение Vaxa.