Дискретное преобразование Фурье - Discrete-time Fourier transform

Не путать с дискретное преобразование Фурье.

Преобразования Фурье
Непрерывное преобразование Фурье
Ряд Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье над кольцом
Преобразование Фурье на конечных группах
Фурье-анализ
Связанные преобразования

В математика, то преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) является формой Фурье-анализ это применимо к последовательности значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Период, термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных отсчетов он производит функцию частоты, которая является периодическое суммирование из непрерывное преобразование Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теорема выборки, исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена ​​из ДВПФ и, следовательно, из исходных дискретных выборок. Само ДВПФ является непрерывной функцией частоты, но ее дискретные отсчеты можно легко вычислить с помощью дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (см. § Выборка ДВПФ ), который является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное ДВПФ - это исходная последовательность дискретизированных данных. Обратное ДПФ - это периодическое суммирование исходной последовательности. В быстрое преобразование Фурье (БПФ) - это алгоритм для вычисления одного цикла ДПФ, а его обратный дает один цикл обратного ДПФ.

Определение

Дискретное преобразование Фурье дискретного набора действительных или комплексных чисел Икс[п], для всех целые числа п, это Ряд Фурье, который производит периодическую функцию частотной переменной. Когда частотная переменная ω имеет нормализованные единицы из радиан / образец, периодичность 2π, а ряд Фурье есть:^{[1]:стр.147}

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.}$

(Уравнение 1)

Полезность этой функции частотной области коренится в Формула суммирования Пуассона. Позволять Икс(ж) преобразование Фурье любой функции, Икс(т), чьи выборки на некотором интервале Т (секунды) равны (или пропорциональны) Икс[п] последовательность, т.е. Т⋅Икс(нТл) = Икс[п]. Тогда периодическая функция, представленная рядом Фурье, представляет собой периодическое суммирование Икс(ж) с точки зрения частоты ж в герц (циклов / сек):^[а]

${\displaystyle X_{1/T}(f)=X_{2\pi }(2\pi fT)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn}\;{\stackrel {\mathrm {Poisson\;f.} }{=}}\;\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).}$

(Уравнение 2)

Рис. 1. Изображение преобразования Фурье (вверху слева) и его периодического суммирования (DTFT) в нижнем левом углу. В нижнем правом углу изображены выборки ДВПФ, вычисленные с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Целое число k имеет единицы циклов / образец, и 1/Т это частота дискретизации, ж_s (выборок / сек). Так Икс_1/Т(ж) содержит точные копии Икс(ж) которые сдвинуты на кратные ж_s герц и сложены сложением. Для достаточно больших ж_s то k = 0 срок можно наблюдать в регионе [−ж_s/ 2, f_s/2] с небольшим искажением или без него (псевдоним ) с других терминов. На рисунке 1 крайние точки распределения в верхнем левом углу замаскированы сглаживанием при периодическом суммировании (нижний левый).

Отметим также, что е^−i2πfTn - преобразование Фурье δ(т − нТл). Следовательно, альтернативное определение DTFT:^[A]

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}}$

(Уравнение 3)

Модулированный Гребень Дирака функция - это математическая абстракция, которую иногда называют импульсный отбор.^[2]

Обратное преобразование

Операция, которая восстанавливает дискретную последовательность данных из функции DTFT, называется обратный ДВПФ. Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей Уравнение 3 производит последовательность в виде модулированной гребенчатой ​​функции Дирака:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Однако, отмечая, что Икс_1/Т(ж) является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины 1/Т. В обоих Уравнение 1 и Уравнение 2, суммирования по n равны Ряд Фурье, с коэффициентами Икс[п]. Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

(Уравнение 4)

Периодические данные

Когда последовательность входных данных Икс[п] является N-периодический, Уравнение 2 вычислительно может быть сведено к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), поскольку:

• Вся доступная информация содержится в N образцы.
• Икс_1/Т(ж) сходится к нулю везде, кроме целых кратных 1/(NT), известный как гармонический частоты. На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости даются ДПФ одного цикла Икс[п] последовательность.
• ДВПФ является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник равно (1/Т) / (1/(NT)) = N

Коэффициенты ДПФ даются как:

${\displaystyle X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},}$ и DTFT:

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right).}$      ^[b]

Подстановка этого выражения в формулу обратного преобразования подтверждает:

${\displaystyle \int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\ =\ {\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}} _{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv \ x(nT),\quad n\in \mathbb {Z} \,}$ (все целые числа )

как и ожидалось. Обратное ДПФ в строке выше иногда называют Дискретный ряд Фурье (DFS).^{[1]:542 с.}

Выборка DTFT

Когда ДВПФ является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок (N) одного цикла периодической функции Икс_1/Т: ^{[1]:стр. 557–559 и 703}

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x_{_{N}}}$ это периодическое суммирование:

${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$ (видеть Дискретный ряд Фурье )

В ${\displaystyle x_{_{N}}}$ последовательность - обратное ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив |Икс_k|² значения известны как периодограмма, а параметр N называется NFFT в одноименной функции Matlab.^[3]

Чтобы оценить один цикл ${\displaystyle x_{_{N}}}$ численно мы требуем конечной длины Икс[п] последовательность. Например, длинная последовательность может быть усечена оконная функция длины L в результате мы получили три случая, заслуживающих особого упоминания. Для простоты обозначений рассмотрим Икс[п] значения ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией.

Случай: Прореживание частоты. L = N ⋅ я, для некоторого целого числа я (обычно 6 или 8)

Цикл ${\displaystyle x_{_{N}}}$ сводится к суммированию я отрезки длины N. Затем ДПФ имеет различные названия, например:

• оконная презумпция БПФ^[4]
• Вес, перекрытие, прибавление (WOLA)^{[5][6][7][8][9][10][B][C]}

• многофазная ДПФ^[8][9]
• банк многофазных фильтров^[11]
• многоблочное управление окнами и временная привязка.^[12]

Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда известному как псевдоним ) в другом, и наоборот. По сравнению с L-длина ДПФ, ${\displaystyle x_{_{N}}}$ суммирование / перекрытие вызывает прореживание по частоте,^{[1]:стр.558} оставляя только образцы DTFT, наименее подверженные влиянию спектральная утечка. Обычно это приоритет при реализации БПФ. банк фильтров (ченнелинг). С обычной оконной функцией длины L, гребешковая потеря было бы неприемлемо. Итак, многоблочные окна создаются с использованием КИХ-фильтр инструменты дизайна.^[13][14] Их частотный профиль плоский в верхней точке и быстро спадает в средней точке между оставшимися отсчетами DTFT. Чем больше значение параметра я, тем лучше потенциальная производительность.

Дело: L = N+1.

Когда симметричный, L-длина оконная функция (${\displaystyle x}$) усекается на 1 коэффициент и называется периодический или же DFT-даже. Усечение влияет на DTFT. ДПФ усеченной последовательности дискретизирует ДВПФ с частотными интервалами 1/N. Пробовать ${\displaystyle x}$ на тех же частотах для сравнения вычисляется ДПФ за один цикл периодического суммирования, ${\displaystyle x_{_{N}}.}$^[D]

Рис 2. ДПФ е^{i2πn / 8} за L = 64 и N = 256

Рис 3. ДПФ е^{i2πn / 8} за L = 64 и N = 64

Случай: частотная интерполяция. L ≤ N

В этом случае ДПФ упрощается до более знакомой формы:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Чтобы воспользоваться преимуществами алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем N условия, хотя N − L из них нули. Следовательно, случай L < N часто упоминается как заполнение нулями.

Спектральная утечка, которая увеличивается при L уменьшается, наносит ущерб определенным важным показателям производительности, таким как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но это не всегда имеет значение, например, когда Икс[п] последовательность - это бесшумная синусоида (или константа), сформированная оконной функцией. Тогда обычной практикой является использование заполнение нулями для графического отображения и сравнения подробных схем утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:

${\displaystyle x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$ и ${\displaystyle L=64.}$

Рисунки 2 и 3 представляют собой графики величины двух ДПФ разного размера, как указано на их метках. В обоих случаях преобладающий компонент находится на частоте сигнала: ж = 1/8 = 0.125. Также виден в Рис 2 спектральная картина утечки L = 64 прямоугольное окно. Иллюзия в Рис 3 является результатом выборки ДВПФ только в точках пересечения нуля. Вместо ДВПФ последовательности конечной длины он производит впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) с ровно 8 (целыми) циклами на 64 выборки. А Окно Ханна даст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 отсчетов (см. DFT-даже окно Ханна ).

Свертка

Основная статья: Теорема свертки § Функции_дискретных_переменных_последовательностей

В теорема свертки для последовательностей:

${\displaystyle x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[16]:стр.297[c]}

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей Икс и y определяется ${\displaystyle x_{_{N}}*y,}$ куда ${\displaystyle x_{_{N}}}$ является периодическим суммированием. Дискретно-частотный характер ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}}$ означает, что произведение с непрерывной функцией ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$ также дискретна, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования:

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[17][1]:стр.548}

За Икс и y последовательности, ненулевая длительность которых меньше или равна N, окончательное упрощение:

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

Значение этого результата объясняется в Круговая свертка и Алгоритмы быстрой свертки.

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четные и нечетные части, имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие.:^{[16]:стр.291}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}}$

Отсюда очевидны различные отношения, например:

• Преобразование вещественной функции (Икс_RE+ Икс_RO) это даже симметричный функция Икс_RE+ я X_IO. И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции (я Икс_IE+ я Икс_IO) это нечетно симметричный функция Икс_RO+ я X_IE, и верно обратное.
• Преобразование четно-симметричной функции (Икс_RE+ я Икс_IO) - вещественная функция Икс_RE+ X_RO, и верно обратное.
• Преобразование нечетно-симметричной функции (Икс_RO+ я Икс_IE) - мнимозначная функция я X_IE+ я X_IO, и верно обратное.

Связь с Z-преобразованием

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$ это Ряд Фурье что также может быть выражено в терминах двустороннего Z-преобразование. То есть:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),}$

где ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что когда параметр Т изменения, условия ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$ оставаться постоянным разделением ${\displaystyle 2\pi }$ друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Условия Икс_1/Т(ж) остаются постоянной шириной и их разделение 1/Т масштабируется вверх или вниз.

Таблица дискретных преобразований Фурье

Некоторые общие пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$ - действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). (${\displaystyle f}$ циклов в секунду, а ${\displaystyle T}$ выражается в секундах / отсчет.) Во всех случаях в таблице ДВПФ является 2π-периодическим (в ${\displaystyle \omega }$).
• ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$ обозначает функцию, определенную на ${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$.
• ${\displaystyle X_{o}(\omega )}$ обозначает функцию, определенную на ${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$и ноль в других местах. Потом:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).}$

• ${\displaystyle \delta (\omega )}$ это Дельта-функция Дирака
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ нормализованный функция sinc
• ${\displaystyle \operatorname {rect} (t)}$ это функция прямоугольника
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$ это функция треугольника
• п является целым числом, представляющим дискретную временную область (в выборках)
• ${\displaystyle u[n]}$ дискретное время функция шага единицы
• ${\displaystyle \delta [n]}$ это Дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Область времени Икс[п]	Частотная область Икс2π(ω)	Замечания	Ссылка
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=1}$		[16]:стр.305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	целое число ${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ странный M ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ четное M	целое число ${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	В ${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$ термин должен толковаться как распределение в смысле Главное значение Коши вокруг его полюса в ${\displaystyle \omega =2\pi k}$.
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[16]:стр.305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$ -π ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\sin[N\omega /2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	целые числа ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	действительные числа ${\displaystyle W,a}$ с ${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	настоящий номер ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=j\omega }$	он работает как дифференциатор фильтр
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	действительные числа ${\displaystyle W,a}$ с ${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	Преобразование Гильберта
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=}$	действительные числа ${\displaystyle A,B}$ сложный ${\displaystyle C}$

Характеристики

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

• ${\displaystyle *\!}$ это дискретная свертка двух последовательностей
• ${\displaystyle x[n]^{*}}$ это комплексно сопряженный из Икс[п].

Свойство	Область времени Икс[п]	Частотная область ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$	Замечания	Ссылка
Линейность	${\displaystyle a\cdot x[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	сложные числа ${\displaystyle a,b}$	[16]:стр.294
Обратное время / изменение частоты	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )\!}$		[16]:стр.297
Сопряжение времени	${\displaystyle x[n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!}$		[16]:стр.291
Обращение времени и спряжение	${\displaystyle x[-n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )^{*}\!}$		[16]:стр.291
Реальная часть времени	${\displaystyle \Re {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[16]:стр.291
Воображаемая часть времени	${\displaystyle \Im {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[16]:стр.291
Действительная часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Re {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[16]:стр.291
Мнимая часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Im {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[16]:стр.291
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	целое число k	[16]:стр.296
Сдвиг частоты / модуляция во времени	${\displaystyle x[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega -a)\!}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$	[16]:стр.300
Децимация	${\displaystyle x[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [E]	целое число ${\displaystyle M}$
Расширение времени	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(M\omega )\!}$	целое число ${\displaystyle M}$	[1]:стр.172
Производная по частоте	${\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[16]:стр.303
Интеграция по частоте	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
Разница во времени	${\displaystyle x[n]-x[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!}$
Суммирование во времени	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
Свертка по времени / Умножение по частоте	${\displaystyle x[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[16]:стр.297
Умножение по времени / Свертка по частоте	${\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	Периодическая свертка	[16]:стр.302
Взаимная корреляция	${\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
Теорема Парсеваля	${\displaystyle E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!}$	${\displaystyle E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!}$		[16]:стр.302

Смотрите также

• Многомерное преобразование
• Зак преобразовать

Примечания

1. Фактически Уравнение 2 часто оправдывается следующим:^{[1]:стр.143}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}$

2. WOLA не следует путать с Метод перекрытия-добавления кусочной свертки.
3. Пример WOLA: Файл: WOLA channelizer example.png
4. Примером является фигура Выборка DTFT. Выборки ДПФ с действительным знаком являются результатом DFT-четная симметрия^{[15]:стр.52}
5. Это выражение выводится следующим образом:^{[1]:стр.168}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}$

Цитирование страниц

1. Оппенгейм и Шафер, стр 147 (4.20), стр 694 (10.1), и Прандони и Веттерли, p 255, (9.33), где:${\displaystyle T\cdot X(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$   ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$ и${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
2. Оппенгейм и Шафер, p 551 (8.35), и Прандони и Веттерли, p 82, (4.43), где:  ${\displaystyle T\cdot {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),}$  ${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}$  ${\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],}$ и${\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T).}$
3. Оппенгейм и Шафер, стр. 60, (2.169) и Прандони и Веттерли, стр 122, (5.21)

Рекомендации

1. Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4,2, 8,4». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN  0-13-754920-2. выборки преобразования Фурье апериодической последовательности x [n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные суммированием периодических копий x [n]. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
2. Рао, Р. (2008). Сигналы и системы. Prentice-Hall Of India Pvt. Ограничено. ISBN  9788120338593.
3. «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB».
4. Гума, Чарльз Константин (июль 1997 г.). «Window-presum FFT обеспечивает высокий динамический диапазон, разрешение». Новости личной инженерии и приборостроения: 58–64. Архивировано 10 февраля 2001 года.
5. Crochiere, R.E .; Рабинер, Л. (1983). «7.2». Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 313–326. ISBN  0136051626.
6. Ван, Хун; Лу, Юксин; Ван, Сюэган (16 октября 2006 г.). "Канальный приемник с WOLA Filterbank". 2006 Международная конференция CIE по радарам. Шанхай, Китай: IEEE: 1–3. Дои:10.1109 / ICR.2006.343463. ISBN  0-7803-9582-4.
7. Лайонс, Ричард Г. (июнь 2008 г.). «Уловки DSP: создание практического анализатора спектра». EE Times. Получено 2020-02-20. Однако обратите внимание, что он содержит ссылку с надписью взвешенная структура с перекрытием и сложением который неправильно идет в Метод перекрытия-добавления.
8. Лиллингтон, Джон (март 2003 г.). «Сравнение архитектур широкополосной канализации» (PDF). Даллас: Международная конференция по обработке сигналов. п. 4 (рис 7). Получено 2020-09-06. Метод «Весовое перекрытие и сложение» или WOLA или его подмножество «Многофазный ДПФ» становится все более популярным и, безусловно, очень эффективен там, где требуются большие высококачественные банки фильтров.
9. Лиллингтон, Джон. «Обзор методов банка фильтров - RF и цифровой» (PDF). armms.org. Остров Уайт, Великобритания: Libra Design Associates Ltd. стр. 11. Получено 2020-09-06. К счастью, существует гораздо более элегантное решение, показанное на рисунке 20 ниже, известное как многофазное или WOLA (вес, перекрытие и сложение) БПФ.
10. Хохгюртель, Стефан (2013). «Эффективные реализации широкополосных БПФ-спектрометров высокого разрешения и их применение для обзора линий центра Галактики APEX» (PDF). hss.ulb.uni-bonn.de. Бонн: Рейнский университет им. Фридриха Вильгельма в Бонне. стр. 26–27. Получено 2020-09-06. Чтобы выполнить M-кратный WOLA для N-точечного ДПФ, M · N реальных входных выборок a_j сначала умножается на оконную функцию w_j такого же размера
11. Ченнамангалам, Джаянт (2016-10-18). "Техника банка многофазных фильтров". Группа КАСПЕР. Получено 2016-10-30.
12. Даль, Джейсон Ф. (06.02.2003). Методы временного наложения для оценки спектра (Кандидат наук.). Университет Бригама Янга. Получено 2016-10-31.
13. Линь Юань-Пей; Вайдьянатан, П. (Июнь 1998 г.). "Подход окна Кайзера для разработки прототипов фильтров наборов фильтров с косинусной модуляцией" (PDF). Письма об обработке сигналов IEEE. 5 (6): 132–134. Bibcode:1998ISPL .... 5..132L. Дои:10.1109/97.681427. Получено 2017-03-16.
14. Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «9». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. С. 226–253. ISBN  0131465112.
15. Харрис, Фредрик Дж. (Январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF). Труды IEEE. 66 (1): 51–83. Bibcode:1978IEEEP..66 ... 51H. CiteSeerX  10.1.1.649.9880. Дои:10.1109 / PROC.1978.10837.
16. Proakis, John G .; Манолакис, Дмитрий Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Нью-Джерси: Prentice-Hall International. Bibcode:1996dspp.book ..... P. ISBN  9780133942897. sAcfAQAAIAAJ.
17. Рабинер, Лоуренс Р.; Золото, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 59 (2,163). ISBN  978-0139141010.

18. Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 72, 76. ISBN  978-1-4200-7046-0. Получено 4 октября 2020. коэффициенты DFS для периодизированного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT

дальнейшее чтение

• Порат, Боаз (1996). Курс цифровой обработки сигналов. Джон Уайли и сыновья. С. 27–29 и 104–105. ISBN  0-471-14961-6.
• Зиберт, Уильям М. (1986). Цепи, сигналы и системы. Серия "Электротехника и информатика Массачусетского технологического института". Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0262690950.
• Лайонс, Ричард Г. (2010). Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0137027415.