Гребень Дирака - Dirac comb

Гребень Дирака представляет собой бесконечную серию Дельта-функции Дирака через интервалы Т

В математика, а Гребень Дирака (также известный как импульсный поезд и функция выборки в электротехника ) это периодический умеренное распределение^[1][2] построен из Дельта-функции Дирака

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

на определенный период Т. Символ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t)}$, где период опущен, представляет гребенку Дирака с единичным периодом. Некоторые авторы, в частности Bracewell, а также некоторые авторы учебников по электротехнике и теории цепей называют его Функция Шаха (возможно, потому, что его график напоминает форму Кириллица письмо ша Ш). Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде Ряд Фурье:

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Гребневая функция Дирака позволяет представлять как непрерывные, так и дискретные явления, такие как дискретизация и наложение спектров, в единой структуре непрерывного анализа Фурье на распределениях Шварца, без какой-либо ссылки на ряды Фурье. Благодаря Формула суммирования Пуассона, в обработка сигнала, гребень Дирака позволяет моделировать отбор проб к умножение с ним, но также позволяет моделировать периодизацию с помощью свертка с этим.^[3]

Тождество Дирака-гребня

Гребень Дирака может быть построен двумя способами, либо с помощью гребень оператор (выполняющий отбор проб ) применяется к функции, которая постоянно ${\displaystyle 1}$или, альтернативно, используя представитель оператор (выполняющий периодизация ) применяется к Дельта Дирака ${\displaystyle \delta }$. Формально это дает (Вудворд 1953; Брэндвуд 2003 )

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$

где

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$ и ${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$

В обработка сигнала, это свойство с одной стороны позволяет отбор проб функция ${\displaystyle f(t)}$ к умножение с ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$, а с другой стороны, это также позволяет периодизация из ${\displaystyle f(t)}$ к свертка с ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ (Bracewell 1986 Тождество гребенки Дирака является частным случаем Теорема свертки для умеренных дистрибутивов.

Масштабирование

Свойство масштабирования гребенки Дирака следует из свойств гребенки. Дельта-функция Дирака. С ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\delta \left({\frac {t}{a}}\right)}$^[4] для положительных действительных чисел ${\displaystyle a}$, это следует из того:

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{T}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}\left({\frac {t}{a}}\right).}$

Обратите внимание, что требуются положительные числа масштабирования ${\displaystyle a}$ вместо отрицательных не является ограничением, потому что отрицательный знак только изменит порядок суммирования в пределах ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$, что не влияет на результат.

Ряд Фурье

Ясно, что ${\displaystyle \ \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$ периодичен с периодом ${\displaystyle T}$. Это,

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$

для всех т. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции есть

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$

где коэффициенты Фурье (символически)

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$

Все коэффициенты Фурье равны 1 /Т в результате чего

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Когда период равен одной единице, это упрощается до

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nx}.}$

Замечание: Строго говоря, интегрирование Римана или Лебега по любым продуктам, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине приведенное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененного к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла, см. Лайтхилл 1958 Подробности см. на стр.62, теорема 22.

преобразование Фурье

В преобразование Фурье гребня Дирака также является гребнем Дирака. Это очевидно, если учесть, что все компоненты Фурье конструктивно складываются всякий раз, когда ${\displaystyle f}$ является целым числом, кратным ${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$.

Унитарное преобразование в обычную частотную область (Гц):

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}.}$

Примечательно, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется сама в себя:

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} (f).}$

Конкретное правило зависит от формы используемого преобразования Фурье. При использовании унитарного преобразования угловой частоты (радиан / с) правило

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}.}$

Выборка и наложение

Умножение любой функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки.

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(kT)\delta (t-kT).}$

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теорема свертки, это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области.

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$

Поскольку свертка с дельта-функцией ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ эквивалентно сдвигу функции на ${\displaystyle kT}$свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическое суммирование:

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X)(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Это приводит к естественной формулировке Теорема выборки Найквиста – Шеннона. Если спектр функции ${\displaystyle x}$ не содержит частот выше B (т.е. его спектр отличен от нуля только в интервале ${\displaystyle (-B,B)}$), то выборки исходной функции через интервалы ${\displaystyle 1/2B}$ достаточны для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр дискретизированной функции на подходящий функция прямоугольника, что эквивалентно установке кирпичной стены фильтр нижних частот.

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{2B}}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {t}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X)=X}$

Во временной области это «умножение на функцию rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» (Вудворд 1953, с.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию из своих образцов. Это известно как Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона.

Замечание: Строго говоря, умножение прямой функции на обобщенную функцию, такую ​​как гребешок Дирака, не удается. Это связано с неопределенными результатами произведения умножения на границах интервала. В качестве обходного пути можно использовать унитарную функцию Lighthill вместо функции rect. Он гладкий на границах интервалов, поэтому везде дает определенные произведения умножения, см. Лайтхилл 1958 Подробности см. на стр.62, теорема 22.

Использование в направленной статистике

В направленная статистика, гребешок Дирака периода 2π эквивалентно завернутый Дельта-функция Дирака и является аналогом Дельта-функция Дирака в линейной статистике.

В линейной статистике случайная величина (Икс) обычно распределяется по строке действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности Икс - функция, областью определения которой является множество действительных чисел, а интеграл от ${\displaystyle -\infty }$ к ${\displaystyle +\infty }$ это единство. В направленной статистике случайная величина (θ) распределена по единичной окружности, а плотность вероятности θ - это функция, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длиной 2π и интеграл которого на этом интервале равен единице. Подобно тому, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по прямой с действительными числами дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки Дирака периода 2π с произвольной функцией периода 2π над единичным кругом дает значение этой функции в нуле.

Смотрите также

• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона

Рекомендации

1. Шварц, Л. (1951), Теория распределений, Том I, Том II, Герман, Париж
2. Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье, CRC Press, ISBN  0-8493-8273-4
3. Брейсуэлл, Р. Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (отредактированная ред.), McGraw-Hill; 1-е изд. 1965, 2-е изд. 1978 г.
4. Рахман, М. (2011), Приложения преобразований Фурье к обобщенным функциям, ВИТ Пресс Саутгемптон, Бостон, ISBN  978-1-84564-564-9.

дальнейшее чтение

• Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радарах и обработке сигналов, Artech House, Бостон, Лондон.
• Кордова, A (1989), "гребни Дирака", Письма по математической физике, 17 (3): 191–196, Bibcode:1989LMaPh..17..191C, Дои:10.1007 / BF00401584
• Вудворд, П. М. (1953), Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам, Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт.
• Лайтхилл, М.Дж. (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания.