Выпрямленное распределение Гаусса - Rectified Gaussian distribution

Не путать с усеченное распределение Гаусса.

В теория вероятности, то выпрямленное распределение Гаусса это модификация Гауссово распределение когда его отрицательные элементы сброшены на 0 (аналогично электронному выпрямитель ). По сути, это смесь дискретное распределение (постоянный 0) и a непрерывное распространение (а усеченное распределение Гаусса с интервалом ${\displaystyle (0,\infty )}$) в результате цензура.

Функция плотности

В функция плотности вероятности выпрямленного гауссова распределения, для которого случайные переменные Икс имеющий это распределение, полученное из нормального распределения ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),}$ отображаются как ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, дан кем-то

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$

Сравнение распределения Гаусса, выпрямленного распределения Гаусса и усеченного распределения Гаусса.

Здесь, ${\displaystyle \Phi (x)}$ это кумулятивная функция распределения (cdf) из стандартное нормальное распределение:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \delta (x)}$ это Дельта-функция Дирака

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

и, ${\displaystyle {\textrm {U}}(x)}$ это функция шага единицы:

${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Среднее и дисперсия

Поскольку неректированное нормальное распределение имеет иметь в виду ${\displaystyle \mu }$ и поскольку при преобразовании его в выпрямленное распределение некоторая вероятностная масса была сдвинута к более высокому значению (с отрицательных значений на 0), среднее значение выпрямленного распределения больше, чем ${\displaystyle \mu .}$

Поскольку исправленное распределение формируется путем перемещения некоторой части вероятностной массы к остальной части вероятностной массы, исправление представляет собой сокращение, сохраняющее средние в сочетании с жестким сдвигом распределения со средним изменением, и, следовательно, отклонение уменьшается; следовательно, дисперсия выпрямленного распределения меньше, чем ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

Создание ценностей

Чтобы генерировать значения вычислительным способом, можно использовать

${\displaystyle s\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\quad x={\textrm {max}}(0,s),}$

а потом

${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

Заявление

Исправленное гауссовское распределение полусопряжено к гауссовскому правдоподобию и недавно было применено к факторный анализ или, в частности, (неотрицательный) анализ ректифицированных факторов.^[1] предложил вариационное обучение алгоритм для модели выпрямленных факторов, где факторы следуют смеси выпрямленных гауссовских факторов; а позже Мэн^[2] предложила модель с бесконечным выпрямленным фактором в сочетании со своим решением выборки Гиббса, где факторы следуют Процесс Дирихле смесь выпрямленного гауссова распределения и применил его в вычислительная биология для реконструкции сети регуляции генов.

Расширение до общих оценок

Расширение выпрямленного гауссова распределения было предложено Палмером и др.^[3], позволяя исправить между произвольными нижними и верхними границами. Для нижней и верхней границ ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно, cdf, ${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})}$ дан кем-то:

${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})={\begin{cases}0,&x<a,\\\Phi (x|\mu ,\sigma ^{2}),&a\leq x<b,\\1,&x\geq b,\\\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \Phi (x|\mu ,\sigma ^{2})}$ это cdf нормального распределения со средним ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Среднее значение и дисперсия исправленного распределения вычисляются путем предварительного преобразования ограничений, действующих на стандартное нормальное распределение:

${\displaystyle c={\frac {a-\mu }{\sigma }},\qquad d={\frac {b-\mu }{\sigma }}.}$

Используя преобразованные ограничения, среднее значение и дисперсию, ${\displaystyle \mu _{R}}$ и ${\displaystyle \sigma _{R}^{2}}$ соответственно, тогда даются как:

${\displaystyle \mu _{t}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}-e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}\right)+{\frac {c}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {d}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{t}^{2}&={\frac {\mu _{t}^{2}+1}{2}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)-{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\left(d-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}-\left(c-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}\right)\\&+{\frac {\left(c-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {\left(d-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mu _{R}=\mu +\sigma \mu _{t},}$

${\displaystyle \sigma _{R}^{2}=\sigma ^{2}\sigma _{t}^{2},}$

куда Эрф это функция ошибки. Это распределение использовали Palmer et al. для моделирования уровней физических ресурсов, таких как количество жидкости в сосуде, которое ограничено как 0, так и вместимостью сосуда.

Смотрите также

• усеченное нормальное распределение
• полунормальное распределение

Рекомендации

1. Harva, M .; Кабан, А. (2007). «Вариационное обучение для ректифицированного факторного анализа ☆». Обработка сигналов. 87 (3): 509. Дои:10.1016 / j.sigpro.2006.06.006.
2. Мэн, Цзя; Чжан, Цзяньцю (Мишель); Чен, Идун; Хуанг, Юфэй (2011). «Байесовский неотрицательный факторный анализ для реконструкции регуляторных сетей, опосредованных транскрипционными факторами». Протеомная наука. 9 (Приложение 1): S9. Дои:10.1186 / 1477-5956-9-S1-S9. ISSN  1477-5956. ЧВК  3289087.
3. Палмер, Эндрю В .; Хилл, Эндрю Дж .; Шединг, Стивен Дж. (2017). «Методы оптимизации стохастического сбора и пополнения (SCAR) для постоянной автономии». Робототехника и автономные системы. 87: 51-65. Дои:10.1016 / j.robot.2016.09.011.