U-квадратичное распределение - U-quadratic distribution

U-квадратичный

Функция плотности вероятности
Параметры	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~b\in (a,\infty )}$ или же ${\displaystyle \alpha :~\alpha \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \beta :~\beta \in (-\infty ,\infty ),}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [a,b]\!}$
PDF	${\displaystyle \alpha \left(x-\beta \right)^{2}}$
CDF	${\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}+(\beta -a)^{3}\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {a+b \over 2}}$
Медиана	${\displaystyle {a+b \over 2}}$
Режим	${\displaystyle a{\text{ and }}b}$
Дисперсия	${\displaystyle {3 \over 20}(b-a)^{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle 0}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {3 \over 112}(b-a)^{4}}$
Энтропия	TBD
MGF	См. Текст
CF	См. Текст

В теория вероятности и статистика, то U-квадратичное распределение является непрерывным распределение вероятностей определяется уникальным выпуклый квадратичная функция с нижним пределом а и верхний предел б.

${\displaystyle f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].}$

Отношения параметров

Это распределение фактически имеет только два параметра а, б, поскольку два других являются явными функциями опоры, определяемой двумя первыми параметрами:

${\displaystyle \beta ={b+a \over 2}}$

(центр гравитационного баланса, смещение), и

${\displaystyle \alpha ={12 \over \left(b-a\right)^{3}}}$

(вертикальный масштаб).

Связанные дистрибутивы

Можно ввести вертикально перевернутый (${\displaystyle \cap }$) -квадратичное распределение аналогичным образом.

Приложения

Это распределение является полезной моделью для симметричных бимодальный процессы. Другие непрерывные распределения допускают большую гибкость с точки зрения ослабления симметрии и квадратичной формы функции плотности, которые применяются в U-квадратичном распределении - например, бета-распространение и гамма-распределение.

Функция создания момента

${\displaystyle M_{X}(t)={-3\left(e^{at}(4+(a^{2}+2a(-2+b)+b^{2})t)-e^{bt}(4+(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (a-b)^{3}t^{2}}}$

Характеристическая функция

${\displaystyle \phi _{X}(t)={3i\left(e^{iate^{ibt}}(4i-(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (a-b)^{3}t^{2}}}$