Распределение Ци - Chi distribution

Смотрите также: Распределение хи-квадрат

чи

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle k>0\,}$ (степени свободы)
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}$
CDF	${\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Медиана	${\displaystyle \approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}}$
Режим	${\displaystyle {\sqrt {k-1}}\,}$ за ${\displaystyle k\geq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$
Асимметрия	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}$
MGF	Сложный (см. Текст)
CF	Сложный (см. Текст)

В теория вероятности и статистика, то распределение ци является непрерывным распределение вероятностей. Это распределение положительного квадратного корня из суммы квадратов набора независимых случайных величин, каждая из которых соответствует стандартной нормальное распределение, или, что то же самое, распределение Евклидово расстояние случайных величин из начала координат. Таким образом, это связано с распределение хи-квадрат путем описания распределения положительных квадратных корней переменной, подчиняющейся распределению хи-квадрат.

Если ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ находятся ${\displaystyle k}$ независимый, нормально распределенный случайные величины со средним 0 и стандартное отклонение 1, то статистика

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

распределяется согласно распределению ци. Распределение хи имеет один параметр, ${\displaystyle k}$, который определяет количество степени свободы (т.е. количество ${\displaystyle Z_{i}}$).

Наиболее известные примеры: Распределение Рэлея (распределение ци с двумя степени свободы ) и Распределение Максвелла – Больцмана молекулярных скоростей в идеальный газ (распределение ци с тремя степенями свободы).

Определения

Функция плотности вероятности

В функция плотности вероятности (pdf) хи-распределения

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \Gamma (z)}$ это гамма-функция.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения определяется как:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

куда ${\displaystyle P(k,x)}$ это регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

В момент-производящая функция дан кем-то:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

куда ${\displaystyle M(a,b,z)}$ Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция. В характеристическая функция дан кем-то:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

Характеристики

Моменты

Сырье моменты тогда даются:

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

куда ${\displaystyle \Gamma (z)}$ это гамма-функция. Итак, первые несколько сырых моментов:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,}$

где крайние правые выражения получены с использованием повторяющегося отношения для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

Из этих выражений мы можем вывести следующие отношения:

Иметь в виду: ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

Разница: ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\,}$

Асимметрия: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

Превышение эксцесса: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

Энтропия

Энтропия определяется как:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

куда ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$ это полигамма функция.

Большое n-приближение

Мы находим большое n = k + 1 приближение среднего и дисперсии распределения chi. Это имеет приложение, например при нахождении распределения стандартного отклонения выборки из нормально распределенной совокупности, где n - размер выборки.

Тогда среднее значение:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

Мы используем Формула дублирования Лежандра написать:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$,

так что:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

С помощью Приближение Стирлинга для гамма-функции мы получаем следующее выражение для среднего:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

Таким образом, разница составляет:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$

Связанные дистрибутивы

• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ тогда ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$ (распределение хи-квадрат )
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$ (Нормальное распределение )
• Если ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$ тогда ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{1}\,}$ тогда ${\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,}$ (полунормальное распределение ) для любого ${\displaystyle \sigma >0\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$ (Распределение Рэлея )
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$ (Распределение Максвелла )
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$ (The 2-норма из ${\displaystyle k}$ стандартные нормально распределенные переменные - это распределение хи с ${\displaystyle k}$ степени свободы )
• Распределение чи - это частный случай обобщенное гамма-распределение или Распределение Накагами или нецентральное распределение ци
• Среднее значение распределения хи (масштабируется на квадратный корень из ${\displaystyle n-1}$) дает поправочный коэффициент в несмещенная оценка стандартного отклонения нормального распределения.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Смотрите также

• Распределение Накагами

Рекомендации

• Марта Л. Абелл, Джеймс П. Брэсселтон, Джон Артур Рэфтер, Джон А. Рэфтер, Статистика с помощью Mathematica (1999), 237f.
• Ян В. Гуч, Энциклопедический словарь полимеров т. 1 (2010 г.), Приложение E, п. 972.

внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html