Идеальный газ - Ideal gas

An идеальный газ теоретический газ состоит из множества беспорядочно движущихся точечные частицы которые не подлежат межчастичные взаимодействия.^[1] Концепция идеального газа полезна, потому что она подчиняется закон идеального газа, упрощенный уравнение состояния, и поддается анализу под статистическая механика. Требование нулевого взаимодействия часто можно ослабить, если, например, взаимодействие является совершенно упругим или рассматривается как точечное столкновение.

В различных условиях температуры и давления многие настоящие газы качественно ведут себя как идеальный газ, в котором молекулы газа (или атомы для одноатомного газа) играют роль идеальных частиц. Многие газы, такие как азот, кислород, водород, благородные газы, некоторые более тяжелые газы, такие как углекислый газ и смеси, такие как воздух, можно рассматривать как идеальные газы с разумными допусками.^[2] в значительном диапазоне параметров около стандартная температура и давление. Как правило, газ ведет себя больше как идеальный газ при более высоких температура и ниже давление,^[2] как потенциальная энергия из-за межмолекулярных сил становится менее значительным по сравнению с частицей. кинетическая энергия, и размер молекул становится менее значительным по сравнению с пустым пространством между ними. Один моль идеального газа имеет емкость 22,7 · 10 947 (13) литров^[3] при стандартной температуре и давлении (a температура из 273,15K и абсолютное давление ровно 10⁵ Па ) как определено ИЮПАК с 1982 г.^{[примечание 1]}

Модель идеального газа имеет тенденцию терпеть неудачу при более низких температурах или более высоких давлениях, когда становятся важными межмолекулярные силы и размер молекул. Он также не подходит для большинства тяжелых газов, таких как многие хладагенты,^[2] и для газов с сильными межмолекулярными силами, особенно водяной пар. При высоких давлениях объем реального газа часто значительно превышает объем идеального газа. При низких температурах давление реального газа часто значительно меньше, чем у идеального газа. В какой-то момент при низкой температуре и высоком давлении реальные газы подвергаются фаза перехода, например, жидкость или твердый. Однако модель идеального газа не описывает и не допускает фазовых переходов. Они должны моделироваться более сложными уравнениями состояния. Отклонение от поведения идеального газа можно описать как безразмерная величина, то коэффициент сжимаемости, Z.

Модель идеального газа исследовалась как в Ньютоновская динамика (как в "кинетическая теория ") И в квантовая механика (как "газ в коробке Модель идеального газа также использовалась для моделирования поведения электронов в металле (в Модель Друде и модель свободных электронов ), и это одна из важнейших моделей статистической механики.

Если давление идеального газа уменьшается в процесс дросселирования температура газа не меняется. (Если давление реального газа понижается в процессе дросселирования, его температура либо падает, либо повышается, в зависимости от того, Коэффициент Джоуля – Томсона положительный или отрицательный.)

Виды идеального газа

Есть три основных класса идеального газа:^{[нужна цитата ]}

• классический или Максвелл – Больцманн идеальный газ,
• идеальный квант Бозе-газ, состоящий из бозоны, и
• идеальный квант Ферми газ, состоящий из фермионы.

Классический идеальный газ можно разделить на два типа: классический термодинамический идеальный газ и идеальный квантовый газ Больцмана. Оба по существу одинаковы, за исключением того, что классический термодинамический идеальный газ основан на классическом статистическая механика, а также некоторые термодинамические параметры, такие как энтропия указаны только с точностью до неопределенной аддитивной константы. Идеальный квантовый газ Больцмана преодолевает это ограничение, принимая предел квантового бозе-газа и квантового ферми-газа в пределе высокой температуры для определения этих аддитивных констант. Поведение квантового газа Больцмана такое же, как у классического идеального газа, за исключением указания этих констант. Результаты квантового газа Больцмана используются в ряде случаев, включая Уравнение Сакура – ​​Тетрода для энтропии идеального газа и Уравнение ионизации Саха для слабоионизированного плазма.

Классический термодинамический идеальный газ

Классические термодинамические свойства идеального газа можно описать двумя уравнения состояния:^[6][7]

Закон идеального газа

Отношения между Бойля, Чарльза, Гей-Люссака, Авогадро, комбинированный и законы идеального газа, с Постоянная Больцмана k_B = р/N_А = п R/N  (в каждом законе свойства обведены переменные, а свойства, не обведенные кружком, остаются постоянными)

Основная статья: Закон идеального газа

В закон идеального газа уравнение состояния идеального газа, определяемое по формуле:

$${\displaystyle PV=nRT\,}$$

где

• п это давление
• V это объем
• п это количество вещества газа (в родинки )
• р это газовая постоянная (0.08206 L ·банкомат ·K⁻¹·моль⁻¹)
• Т это абсолютная температура.

Закон идеального газа - это расширение экспериментально обнаруженных газовые законы. Это также может быть получено из микроскопических соображений.

Реальный жидкости на низком уровне плотность и высокий температура аппроксимируют поведение классического идеального газа. Однако при более низких температурах или более высокой плотности реальная жидкость сильно отличается от поведения идеального газа, особенно если она конденсируется из газа в жидкость или как это депозиты из газа в твердое тело. Это отклонение выражается как коэффициент сжимаемости.

Это уравнение получено из

• Закон Бойля: ${\displaystyle V\propto {\frac {1}{P}}}$;
• Закон Чарльза: ${\displaystyle V\propto T}$;
• Закон Авогадро: ${\displaystyle V\propto n}$.

Объединив три закона, получим

${\displaystyle V\propto {\frac {nT}{P}}}$

Это:

${\displaystyle V=R\left({\frac {nT}{P}}\right)}$

${\displaystyle PV=nRT}$.

Внутренняя энергия

Другое уравнение состояния идеального газа должно выражать Второй закон Джоуля, что внутренняя энергия фиксированной массы идеального газа является функцией только его температуры. Для настоящих целей удобно постулировать примерную версию этого закона, написав:

${\displaystyle U={\hat {c}}_{V}nRT}$

где

• U это внутренняя энергия
• ĉ_V безразмерный удельный теплоемкость при постоянной громкости примерно 3/2 для одноатомный газ, 5/2 для двухатомный газа и 3 для нелинейных молекул, если не учитывать квантовый колебательный вклад. Эти формулы являются результатом применения классического теорема о равнораспределении.^[8]

Это U для идеального газа зависит только от температуры является следствием закона идеального газа, хотя в общем случае ĉ_V зависит от температуры, и для вычисления необходим интеграл U.

Микроскопическая модель

Чтобы перейти от макроскопических величин (левая часть следующего уравнения) к микроскопическим (правая часть), мы используем

${\displaystyle nR=Nk_{\mathrm {B} }}$

где

• ${\displaystyle N}$ количество частиц газа
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ это Постоянная Больцмана (1.381×10⁻²³ Дж · К⁻¹).

Распределение вероятностей частиц по скорости или энергии определяется выражением Распределение скорости Максвелла.

Модель идеального газа зависит от следующих предположений:

• Молекулы газа неразличимы, маленькие, твердые сферы.
• Все столкновения упругие, и все движения происходят без трения (без потерь энергии при движении или столкновении)
• Применяются законы Ньютона
• Среднее расстояние между молекулами намного больше, чем размер молекул.
• Молекулы постоянно движутся в случайных направлениях с распределением скоростей
• Между молекулами нет сил притяжения или отталкивания, кроме тех, которые определяют их точечные столкновения.
• Единственные силы между молекулами газа и окружающей средой - это те, которые определяют точечные столкновения молекул со стенками.
• В простейшем случае нет дальнодействующих сил между молекулами газа и окружающей средой.

Предположение о сферических частицах необходимо, чтобы не было разрешенных вращательных мод, в отличие от двухатомного газа. Следующие три предположения очень взаимосвязаны: молекулы твердые, столкновения упругие, межмолекулярные силы отсутствуют. Предположение, что пространство между частицами намного больше, чем сами частицы, имеет первостепенное значение и объясняет, почему приближение идеального газа не работает при высоких давлениях.

Теплоемкость

Безразмерный теплоемкость при постоянном объеме обычно определяется

${\displaystyle {\hat {c}}_{V}={\frac {1}{nR}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {1}{nR}}\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}$

где S это энтропия. Эта величина обычно является функцией температуры из-за межмолекулярных и внутримолекулярных сил, но при умеренных температурах она приблизительно постоянна. В частности, Теорема о равнораспределении предсказывает, что константа для одноатомного газа равна ĉ_V = 3/2 в то время как для двухатомного газа это ĉ_V = 5/2 если пренебречь вибрациями (что часто является отличным приближением). Поскольку теплоемкость зависит от атомной или молекулярной природы газа, макроскопические измерения теплоемкости предоставляют полезную информацию о микроскопической структуре молекул.

Безразмерная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении составляет:

${\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\frac {1}{nR}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{nR}}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}={\hat {c}}_{V}+1}$

где ЧАС = U + PV это энтальпия газа.

Иногда проводят различие между идеальным газом, где ĉ_V и ĉ_п может меняться в зависимости от температуры, а идеальный газ, для которого это не так.

Отношение теплоемкости постоянного объема и постоянного давления равно индекс адиабаты

${\displaystyle \gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}}$

Для воздуха, представляющего собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4.

Энтропия

Используя результаты термодинамика только мы можем пройти долгий путь в определении выражения для энтропия идеального газа. Это важный шаг, поскольку, согласно теории термодинамические потенциалы, если мы можем выразить энтропию как функцию U (U - термодинамический потенциал), объем V и количество частиц N, то мы будем иметь полное изложение термодинамического поведения идеального газа. Мы сможем вывести как закон идеального газа, так и выражение для внутренней энергии.

Поскольку энтропия - это точный дифференциал, с использованием Правило цепи, изменение энтропии при переходе из эталонного состояния 0 в какое-либо другое состояние с энтропией S можно записать как ΔS где:

${\displaystyle \Delta S=\int _{S_{0}}^{S}dS=\int _{T_{0}}^{T}\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\!dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\!dV}$

где ссылочные переменные могут быть функциями количество частиц N. Используя определение теплоемкость при постоянной громкости для первого дифференциала и соответствующего Отношение Максвелла для второго имеем:

${\displaystyle \Delta S=\int _{T_{0}}^{T}{\frac {C_{V}}{T}}\,dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV.}$

Выражая C_V с точки зрения ĉ_V как описано в предыдущем разделе, дифференцируя уравнение состояния идеального газа и интегрируя, получаем:

${\displaystyle \Delta S={\hat {c}}_{V}Nk\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)+Nk\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)}$

откуда следует, что энтропия может быть выражена как:

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{f(N)}}\right)}$

где все константы включены в логарифм как ж(N) которая является некоторой функцией числа частиц N имеющий такие же размеры как VT^ĉ_V для того, чтобы аргумент логарифма был безразмерным. Теперь мы накладываем ограничение на то, чтобы энтропия была обширной. Это будет означать, что при расширенных параметрах (V и N) умножаются на константу, энтропия умножается на ту же константу. Математически:

${\displaystyle S(T,aV,aN)=aS(T,V,N).\,}$

Отсюда находим уравнение для функции ж(N)

${\displaystyle af(N)=f(aN).\,}$

Дифференцируя это относительно а, установка а равным 1, а затем решение дифференциального уравнения дает ж(N):

${\displaystyle f(N)=\Phi N\,}$

где Φ может различаться для разных газов, но не зависит от термодинамического состояния газа. Он будет иметь размеры VT^ĉ_V/N. Подставляя в уравнение для энтропии:

${\displaystyle {\frac {S}{Nk}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right).\,}$

и используя выражение для внутренней энергии идеального газа, энтропию можно записать:

${\displaystyle {\frac {S}{Nk}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\,\left({\frac {U}{{\hat {c}}_{V}kN}}\right)^{{\hat {c}}_{V}}\,{\frac {1}{\Phi }}\right]}$

Поскольку это выражение для энтропии через U, V, и N, это фундаментальное уравнение, из которого могут быть выведены все остальные свойства идеального газа.

Это все, что мы можем сделать, используя только термодинамику. Обратите внимание, что приведенное выше уравнение некорректно - когда температура приближается к нулю, энтропия приближается к отрицательной бесконечности, в отличие от третий закон термодинамики. В вышеупомянутом «идеальном» развитии есть критическая точка, а не абсолютный ноль, в которой аргумент логарифма становится единицей, а энтропия становится равной нулю. Это нефизично. Вышеприведенное уравнение является хорошим приближением только тогда, когда аргумент логарифма намного больше единицы - концепция идеального газа не работает при низких значениях V/N. Тем не менее, будет «наилучшее» значение константы в том смысле, что предсказанная энтропия будет как можно ближе к реальной энтропии, учитывая ошибочное предположение об идеальности. Квантово-механический вывод этой постоянной развит при выводе Уравнение Сакура – ​​Тетрода который выражает энтропию одноатомного (ĉ_V = 3/2) идеальный газ. В теории Сакура – ​​Тетрода постоянная зависит только от массы газовой частицы. Уравнение Сакура – ​​Тетрода также страдает от расходящейся энтропии при абсолютном нуле, но является хорошим приближением для энтропии одноатомного идеального газа при достаточно высоких температурах.

Альтернативный способ выражения изменения энтропии:

${\displaystyle {\frac {\Delta S}{Nk{\hat {c}}_{V}}}=\ln \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)+\gamma \ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)=\ln \left({\frac {PV^{\gamma }}{P_{0}V_{0}^{\gamma }}}\right)\implies PV^{\gamma }=const.\;{\text{for isentropic process}}}$

Термодинамические потенциалы

Основная статья: Термодинамический потенциал

Выражая энтропию как функцию Т, V, и N:

${\displaystyle {\frac {S}{kN}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)}$

В химический потенциал идеального газа рассчитывается из соответствующего уравнения состояния (см. термодинамический потенциал ):

${\displaystyle \mu =\left({\frac {\partial G}{\partial N}}\right)_{T,P}}$

где г это Свободная энергия Гиббса и равен U + PV − TS так что:

${\displaystyle \mu (T,P)=kT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)}$

Химический потенциал обычно относится к потенциалу при некотором стандартном давлении. п^о так что, с ${\displaystyle \mu ^{o}(T)=\mu (T,P^{o})}$:

${\displaystyle \mu (T,P)=\mu ^{o}(T)+kT\ln \left({\frac {P}{Po}}\right)}$

Для смеси (j= 1,2, ...) идеальных газов, каждый при парциальном давлении п_j, можно показать, что химический потенциал μ_j будет дано приведенным выше выражением с давлением п заменяется п_j.

Теперь термодинамические потенциалы идеального газа можно записать как функции Т, V, и N так как:

${\displaystyle U\,}$		${\displaystyle ={\hat {c}}_{V}NkT\,}$
${\displaystyle A\,}$	${\displaystyle =U-TS\,}$	${\displaystyle =\mu N-NkT\,}$
${\displaystyle H\,}$	${\displaystyle =U+PV\,}$	${\displaystyle ={\hat {c}}_{P}NkT\,}$
${\displaystyle G\,}$	${\displaystyle =U+PV-TS\,}$	${\displaystyle =\mu N\,}$

где, как и раньше,

${\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\hat {c}}_{V}+1}$.

Наиболее информативный способ записи потенциалов - в терминах их естественных переменных, поскольку каждое из этих уравнений можно использовать для получения всех других термодинамических переменных системы. В терминах естественных переменных термодинамические потенциалы однокомпонентного идеального газа равны:

${\displaystyle U(S,V,N)={\hat {c}}_{V}Nk\left({\frac {N\Phi }{V}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{V}}}$

${\displaystyle A(T,V,N)=NkT\left({\hat {c}}_{V}-\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right)\right)}$

${\displaystyle H(S,P,N)={\hat {c}}_{P}Nk\left({\frac {P\Phi }{k}}\,e^{S/Nk}\right)^{1/{\hat {c}}_{P}}}$

${\displaystyle G(T,P,N)=NkT\left({\hat {c}}_{P}-\ln \left({\frac {kT^{{\hat {c}}_{P}}}{P\Phi }}\right)\right)}$

В статистическая механика, отношения между Свободная энергия Гельмгольца и функция распределения является фундаментальным и используется для расчета термодинамические свойства материи; увидеть интеграл конфигурации Больше подробностей.

Скорость звука

В скорость звука в идеальном газе дается формулой Ньютона-Лапласа:

${\displaystyle c_{\text{sound}}={\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}},}$

где изоэнтропический Объемный модуль ${\displaystyle K_{s}=\rho \left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}$.

Для изэнтропического процесса идеального газа ${\displaystyle PV^{\gamma }=const\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma }}$, следовательно

${\displaystyle c_{\text{sound}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}}$

Вот,

γ это индекс адиабаты (ĉ_п/ĉ_V)

s это энтропия на частицу газа.

ρ это плотность вещества газа.

п это давление газа.

р это универсальная газовая постоянная

Т это температура

M это молярная масса газа.

Таблица уравнений идеального газа

Основная статья: Таблица термодинамических уравнений § Идеальный газ

Идеальные квантовые газы

В вышеупомянутом Уравнение Сакура – ​​Тетрода, лучший выбор константы энтропии оказался пропорционален квантовой длина тепловой волны частицы, и точка, в которой аргумент логарифма становится равным нулю, примерно равна точке, в которой среднее расстояние между частицами становится равным тепловой длине волны. По факту, квант сама теория предсказывает то же самое. Любой газ ведет себя как идеальный газ при достаточно высокой температуре и достаточно низкой плотности, но в момент, когда уравнение Сакура – ​​Тетрода начинает разрушаться, газ начинает вести себя как квантовый газ, состоящий из любого бозоны или фермионы. (См. газ в коробке статья о выводе идеальных квантовых газов, включая идеальный газ Больцмана.)

Газы, как правило, ведут себя как идеальный газ в более широком диапазоне давлений, когда температура достигает Температура Бойля.

Идеальный газ Больцмана

Идеальный газ Больцмана дает те же результаты, что и классический термодинамический газ, но делает следующую идентификацию для неопределенной постоянной Φ:

${\displaystyle \Phi ={\frac {T^{\frac {3}{2}}\Lambda ^{3}}{g}}}$

где Λ это тепловая длина волны де Бройля газа и г это вырождение штатов.

Идеальные бозе- и ферми-газы

Идеальный газ бозонов (например, фотонный газ ) будет регулироваться Статистика Бозе – Эйнштейна а распределение энергии будет в виде Распределение Бозе – Эйнштейна. Идеальный газ фермионов будет регулироваться Статистика Ферми – Дирака а распределение энергии будет в виде Распределение Ферми – Дирака.

Смотрите также

• Коэффициент сжимаемости - Поправочный коэффициент, который описывает отклонение реального газа от поведения идеального газа.
• Динамический бильярд - Динамическая система абстрагируется от идеальной игры в бильярд с упругими столкновениями за границами - бильярдные шары как модель идеального газа
• Таблица термодинамических уравнений
• Идеальный газ без накипи

использованная литература

Заметки

1. До 1982 года STP определялась как температура 273,15K и абсолютное давление ровно 1банкомат. Объем одного моля идеального газа при этой температуре и давлении составляет 22,413962 (13) литра.^[4] ИЮПАК рекомендует прекратить прежнее использование этого определения;^[5] однако в некоторых учебниках все еще используются эти старые значения.

использованная литература

1. Такерман, Марк Э. (2010). Статистическая механика: теория и молекулярное моделирование (1-е изд.). п. 87. ISBN  978-0-19-852526-4.
2. Cengel, Yunus A .; Болес, Майкл А. Термодинамика: инженерный подход (4-е изд.). п.89. ISBN  0-07-238332-1.
3. «CODATA Value: молярный объем идеального газа (273,15 K, 100 кПа)». Получено 2017-02-07.
4. «CODATA Value: молярный объем идеального газа (273,15 K, 101,325 кПа)». Получено 2017-02-07.
5. Калверт, Дж. Г. (1990). «Глоссарий терминов по химии атмосферы (Рекомендации 1990 г.)». Чистая и прикладная химия. 62 (11): 2167–2219. Дои:10.1351 / pac199062112167.
6. Адкинс, К. Дж. (1983). Равновесная термодинамика (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 116–120. ISBN  0-521-25445-0.
7. Tschoegl, N. W. (2000). Основы равновесной и стационарной термодинамики. Амстердам: Эльзевир. п. 88. ISBN  0-444-50426-5.
8. Аттард, Фил (2012). Неравновесная термодинамика и статистическая механика: основы и приложения. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780191639760. OCLC  810281588.