Ферми газ - Fermi gas

Идеальный Ферми газ это состояние дела который представляет собой ансамбль многих невзаимодействующих фермионы. Фермионы частицы что подчиняться Статистика Ферми – Дирака, подобно электроны, протоны, и нейтроны, и, вообще говоря, частицы с полуцелое число вращение. Эта статистика определяет энергетическое распределение фермионов в ферми-газе в тепловое равновесие, и характеризуется их числовая плотность, температура, и набор доступных энергетических состояний. Модель названа в честь итальянского физика. Энрико Ферми.^[1]

Эта физическая модель может быть точно применена ко многим системам с большим количеством фермионов. Некоторые ключевые примеры - это поведение носители заряда в металле, нуклоны в атомное ядро, нейтроны в нейтронная звезда, а электроны в белый Гном.

Описание

Иллюстрация энергетических состояний: диаграмма заполнения энергии для системы с 7 уровнями энергии, энергия ${\displaystyle E_{i}}$ вырожденный ${\displaystyle D_{i}}$ раз (есть ${\displaystyle D_{i}}$ состояния, которые имеют энергию ${\displaystyle E_{i}}$) и имеет заполняемость, указанную ${\displaystyle N_{i}}$, с ${\displaystyle i=1,2,3,4,5,6,7}$. Посредством Принцип исключения Паули, вплоть до ${\displaystyle (2j+1)\cdot D_{i}}$ фермионы могут занимать уровень энергии ${\displaystyle E_{i}}$ системы, где ${\displaystyle j}$ это Вращение фермионов.

Идеальный ферми-газ или свободный ферми-газ - это физическая модель предполагая набор невзаимодействующих фермионов в постоянном потенциальная яма. Фермионы - это элементарные или составные частицы с полуцелое число вращать, таким образом следовать Статистика Ферми-Дирака. Эквивалентная модель для целочисленных спиновых частиц называется Бозе-газ (ансамбль невзаимодействующих бозоны ). При достаточно низком уровне частиц числовая плотность и высокой температуре, и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ.^[2]

Посредством Принцип исключения Паули, нет квантовое состояние может быть занято более чем одним фермионом с одинаковым набором квантовые числа. Таким образом, невзаимодействующий ферми-газ, в отличие от бозе-газа, концентрирует небольшое количество частиц на одну энергию. Таким образом, ферми-газу запрещено конденсироваться в Конденсат Бозе – Эйнштейна, хотя слабовзаимодействующие ферми-газы могут образовывать Купер пара и конденсат (также известный как БКС -BEC режим кроссовера).^[3] Полная энергия ферми-газа при абсолютный ноль больше суммы одночастичных основные состояния потому что принцип Паули подразумевает своего рода взаимодействие или давление, которое удерживает фермионы разделенными и перемещающимися. По этой причине давление ферми-газа отлична от нуля даже при нулевой температуре, в отличие от классического идеального газа. Например, это так называемое давление вырождения стабилизирует нейтронная звезда (ферми-газ нейтронов) или белый Гном звезда (ферми-газ электронов) против притяжения внутрь сила тяжести, который якобы разрушил бы звезду в черная дыра. Только когда звезда достаточно массивна, чтобы преодолеть давление вырождения, она может схлопнуться в сингулярность.

Можно определить температуру Ферми, ниже которой газ можно считать вырожденным (его давление определяется почти исключительно принципом Паули). Эта температура зависит от массы фермионов и плотность энергетических состояний.

Основное предположение модель свободных электронов для описания делокализованных электронов в металле можно использовать ферми-газ. Поскольку взаимодействия игнорируются из-за экранирующий эффект, проблема рассмотрения равновесных свойств и динамики идеального ферми-газа сводится к изучению поведения отдельных независимых частиц. В этих системах температура Ферми обычно составляет многие тысячи кельвины, поэтому в приложениях для человека электронный газ можно считать вырожденным. Максимальная энергия фермионов при нулевой температуре называется Энергия Ферми. Поверхность энергии Ферми в взаимное пространство известен как Поверхность Ферми.

В модель почти свободных электронов адаптирует модель ферми-газа для учета Кристальная структура из металлы и полупроводники, где электроны в кристаллической решетке заменены на Блоховские электроны с соответствующим импульс кристалла. Таким образом, периодические системы по-прежнему относительно податливы, и модель является отправной точкой для более продвинутых теорий, которые имеют дело с взаимодействиями, например с использованием теория возмущений.

1D однородный газ

Одномерный бесконечный квадратный колодец длины L представляет собой модель одномерного ящика с потенциальной энергией:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это стандартная модельная система в квантовой механике, для которой хорошо известно решение для отдельной частицы. Поскольку потенциал внутри ящика однороден, эту модель называют одномерным однородным газом,^[4] даже при том, что фактический профиль числовой плотности газа может иметь узлы и пучности, когда общее количество частиц невелико.

Уровни помечены одним квантовым числом п и энергии даны как:

${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.\,}$

куда ${\displaystyle E_{0}}$ - энергия нулевой точки (которую можно произвольно выбрать в виде крепление датчика ), ${\displaystyle m}$ масса одного фермиона, и ${\displaystyle \hbar }$ сокращенный Постоянная Планка.

За N фермионы с спин-½ в ящике не более двух частиц могут иметь одинаковую энергию, т.е. две частицы могут иметь энергию ${\textstyle E_{1}}$, две другие частицы могут иметь энергию ${\textstyle E_{2}}$ и так далее. Две частицы с одинаковой энергией имеют спин ½ (спин вверх) или −½ (спин вниз), что приводит к двум состояниям для каждого уровня энергии. В конфигурации, для которой полная энергия самая низкая (основное состояние), все уровни энергии до п = N/ 2 заняты, а все более высокие уровни пусты.

Определение эталона для энергии Ферми как ${\displaystyle E_{0}}$, поэтому энергия Ферми определяется выражением

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$

куда ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$ это функция пола оценивается в п = N/2.

Термодинамический предел

в термодинамический предел, общее количество частиц N настолько велики, что квантовое число п можно рассматривать как непрерывную переменную. В этом случае общий профиль числовой плотности в ящике действительно однороден.

Количество квантовые состояния В диапазоне ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n}$ является:

${\displaystyle D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2\operatorname {d} \!n\,.}$

Не теряя общий смысл, энергия нулевой точки выбирается равной нулю, со следующим результатом:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies \operatorname {d} \!E={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\operatorname {d} \!n={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}\operatorname {d} \!n\,.}$

Поэтому в ассортименте:

${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+\operatorname {d} \!E\,,}$

количество квантовых состояний:

${\displaystyle D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2{\frac {\operatorname {d} \!E}{\operatorname {d} \!E/\operatorname {d} \!n}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\operatorname {d} \!E\equiv D(E_{1})\operatorname {d} \!E\,.}$

Здесь степень вырождения является:

${\displaystyle D(E)={\frac {2}{\operatorname {d} \!E/\operatorname {d} \!n}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$

И плотность состояний является:

${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$

В современной литературе^[4] вышесказанное ${\displaystyle D(E)}$ иногда также называют «плотностью состояний». Тем не мение, ${\displaystyle g(E)}$ отличается от ${\displaystyle D(E)}$ на коэффициент объема системы (который ${\displaystyle L}$ в этом одномерном случае).

На основе следующей формулы:

${\displaystyle \int _{0}^{E_{F}}D(E)dE=N\,,}$

энергия Ферми в термодинамическом пределе может быть вычислена как:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$

3D однородный газ

Модель атомного ядра, показывающая его как компактный пучок двух типов нуклоны: протоны (красный) и нейтроны (синий). В первом приближении ядро ​​можно рассматривать как состоящее из невзаимодействующих протонных и нейтронных газов.

Трехмерный изотропный и нерелятивистский случай однородного ферми-газа известен как Сфера Ферми.

Трехмерный бесконечный квадратный колодец (т. Е. Кубическая коробка со стороной L) имеет потенциальную энергию

${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Теперь состояния помечены тремя квантовыми числами. п_Икс, п_у, и п_z. Энергии одиночных частиц равны

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,}$,

куда п_Икс, п_у, п_z положительные целые числа. В этом случае несколько состояний имеют одинаковую энергию (известную как вырожденные уровни энергии ), Например ${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$.

Термодинамический предел

Когда коробка содержит N невзаимодействующие фермионы со спином 1/2, интересно вычислить энергию в термодинамическом пределе, где N настолько велико, что квантовые числа п_Икс, п_у, п_z можно рассматривать как непрерывные переменные.

С вектором ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$, каждое квантовое состояние соответствует точке в n-пространстве с энергией

${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$

С ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$обозначающий квадрат обычной евклидовой длины ${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$.Количество состояний с энергией меньше E_F +  E₀ равно количеству состояний, лежащих в сфере радиуса ${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$ в области n-пространства, где п_Икс, п_у, п_z положительные. В основном состоянии это количество равно количеству фермионов в системе:

${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}\,}$

Свободные фермионы, занимающие низшие энергетические состояния, образуют сфера в взаимное пространство. Поверхность этой сферы - это Поверхность Ферми.

Фактор два выражает два спиновых состояния, а коэффициент 1/8 выражает долю сферы, которая находится в области, где все п положительные.

${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$

В Энергия Ферми дан кем-то

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$

Это приводит к связи между энергией Ферми и количество частиц в объеме (когда L² заменяется на V^2/3):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}\,}$

Это также энергия частицы с самой высокой энергией ( ${\displaystyle N}$-я частица), выше нулевой энергии ${\displaystyle E_{0}}$. В ${\displaystyle N'}$-я частица имеет энергию

${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$

Полная энергия сферы Ферми ${\displaystyle N}$ фермионы (занимающие все ${\displaystyle N}$ энергетические состояния в сфере Ферми) определяется как:

${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N^{\prime }}\,\mathrm {d} N^{\prime }=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$

Следовательно, средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, определяется как:

${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$

Плотность состояний

Плотность состояний (DOS) ферми-газа в 3-х измерениях

Для трехмерного однородного ферми-газа с фермионами со спином 1/2 число частиц как функция энергии ${\textstyle N(E)}$ получается заменой энергии Ферми переменной энергией ${\textstyle (E-E_{0})}$:

${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2}}$,

откуда плотность состояний (количество энергетических состояний на энергию на объем) ${\displaystyle g(E)}$ может быть получен. Его можно вычислить, дифференцируя количество частиц по энергии:

${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}}$.

Этот результат дает альтернативный способ вычисления полной энергии сферы Ферми ${\displaystyle N}$ фермионы (занимающие все ${\displaystyle N}$ энергетические состояния в сфере Ферми):

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$

Термодинамические величины

Давление вырождения

Кривые зависимости давления от температуры классических и квантовых идеальных газов (Ферми газ, Бозе-газ ) в трех измерениях. Отталкивание Паули в фермионах (таких как электроны) дает им дополнительное давление по сравнению с эквивалентным классическим газом, особенно при низкой температуре.

Используя первый закон термодинамики, эту внутреннюю энергию можно выразить как давление, т. е.

${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$

где это выражение сохраняется при температурах много меньших, чем температура Ферми. Это давление известно как давление вырождения. В этом смысле системы, состоящие из фермионов, также называют дегенеративная материя.

Стандарт звезды избежать обрушения, уравновешивая тепловое давление (плазма и радиация) против гравитационных сил. В конце жизни звезды, когда тепловые процессы ослабевают, некоторые звезды могут стать белыми карликами, которые против силы тяжести выдерживают только давление электронного вырождения. Используя ферми-газ в качестве модели, можно рассчитать Предел Чандрасекара, то есть максимальную массу, которую может приобрести любая звезда (без значительного термически генерируемого давления) перед коллапсом в черную дыру или нейтронную звезду. Последняя представляет собой звезду, в основном состоящую из нейтронов, коллапс которой также предотвращается давлением нейтронного вырождения.

В случае металлов давление электронного вырождения способствует сжимаемости или объемный модуль материала.

Химический потенциал

Смотрите также: Уровень Ферми

Если предположить, что концентрация фермионов не меняется с температурой, то общий химический потенциал µ (Уровень Ферми) трехмерного идеального ферми-газа связана с нулевой температурой энергии Ферми E_F по Расширение Зоммерфельда (при условии ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$):

${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right]}$,

куда Т это температура.^[5][6]

Следовательно внутренний химический потенциал, µ-E₀, примерно равна энергии Ферми при температурах, которые много ниже характерной температуры Ферми Т_F. Эта характерная температура порядка 10⁵ K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 К) энергия Ферми и внутренний химический потенциал по существу эквивалентны.

Типичные значения

Металлы

Под модель свободных электронов, электроны в металле можно рассматривать как однородный ферми-газ. Числовая плотность ${\displaystyle N/V}$ электронов проводимости в металлах составляет примерно 10²⁸ и 10²⁹ электронов на м³, что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m} ^{-3}\right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} }$,

куда м_е это масса покоя электрона.^[7] Эта энергия Ферми соответствует температуре Ферми порядка 10⁶ кельвинов, намного выше, чем температура солнце поверхность. Любой металл закипит, не достигнув этой температуры при атмосферном давлении. Таким образом, для любой практической цели металл можно рассматривать как ферми-газ при нулевой температуре в первом приближении (нормальные температуры малы по сравнению с Т_F).

Белые карлики

Звезды, известные как белые карлики иметь массу сопоставимую с нашей солнце, но иметь примерно одну сотую его радиуса. Высокая плотность означает, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Плотность электронов в белом карлике порядка 10³⁶ электронов / м³. Это означает, что их энергия Ферми равна:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$

Ядро

Другой типичный пример - это частицы в ядре атома. В радиус ядра примерно:

${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$

куда А это количество нуклоны.

Таким образом, плотность нуклонов в ядре равна:

${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m} ^{-3}}$

Эта плотность должна быть разделена на два, потому что энергия Ферми относится только к фермионам одного и того же типа. Наличие нейтроны не влияет на энергию Ферми протоны в ядре, и наоборот.

Энергия Ферми ядра приблизительно равна:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} }$,

куда м_п - масса протона.

В радиус ядра допускает отклонения около указанного выше значения, поэтому типичное значение энергии Ферми обычно дается как 38 МэВ.

Однородный газ произвольных размеров

Плотность состояний

Используя интеграл объема на ${\textstyle d}$ размеры, плотность состояний составляет:

${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ {\frac {d}{2}}\left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2+1)}}}$

Энергия Ферми получается путем поиска числовая плотность частиц:

${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,\mathrm {d} E}$

Получить:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$

куда ${\textstyle V}$ соответствующий d-размерный объем, ${\textstyle g_{s}}$ - размерность внутреннего гильбертова пространства. В случае спина 1/2 каждая энергия дважды вырождена, поэтому в этом случае ${\textstyle g_{s}=2}$.

Частный результат получен для ${\displaystyle d=2}$, где плотность состояний становится постоянной (не зависит от энергии):

${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

Ферми-газ в гармонической ловушке

Основная статья: Газ в ловушке гармоник

В гармонический потенциал ловушки:

${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$

это модельная система с множеством приложений^[4] в современной физике. Плотность состояний (или, точнее, степень вырождения) для данного вида спина равна:

${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$

куда ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$ - частота гармонических колебаний.

Энергия Ферми для данного вида спина равна:

${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$

Связанные величины Ферми

Некоторые полезные величины, связанные с энергией Ферми, также часто встречаются в современной литературе.

В Температура Ферми определяется как ${\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$, куда ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ это Постоянная Больцмана. Температуру Ферми можно рассматривать как температуру, при которой тепловые эффекты сравнимы с квантовыми эффектами, связанными со статистикой Ферми.^[8] Температура Ферми для металла на пару порядков выше комнатной. Другие количества, определенные в этом контексте: Импульс Ферми ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$, и Скорость Ферми^[9] ${\displaystyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$, которые являются импульс и групповая скорость соответственно фермион на Поверхность Ферми. Импульс Ферми также можно описать как ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$, куда ${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$ - радиус сферы Ферми и называется Волновой вектор Ферми.^[10]

Обратите внимание, что эти количества нет хорошо определен в случаях, когда поверхность Ферми не является сферической.

Обработка при конечной температуре

Большой канонический ансамбль

Большинство приведенных выше вычислений точны при нулевой температуре, но остаются хорошими приближениями для температур ниже температуры Ферми. Для других термодинамических переменных необходимо написать термодинамический потенциал. Для ансамбля идентичные фермионы, лучший способ раскрыть потенциал - это большой канонический ансамбль с фиксированной температурой, объемом и химический потенциал µ. Причина связана с принципом исключения Паули, поскольку числа заполнения каждого квантового состояния задаются либо 1, либо 0 (либо есть электрон, занимающий это состояние, либо нет), поэтому (grand) функция распределения ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

куда ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$, ${\displaystyle \{q\}}$ индексирует ансамбли всех возможных микросостояний, которые дают одинаковую полную энергию ${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$ и количество частиц ${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$, ${\textstyle \varepsilon _{q}}$ - одночастичная энергия состояния ${\textstyle q}$ (считается дважды, если энергия состояния вырождена) и ${\textstyle n_{q}=0,1}$, его заполняемость. Таким образом большой потенциал записывается как

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right)}$.

Такой же результат можно получить в канонический и микроканонический ансамбль, поскольку результат каждого ансамбля должен давать одно и то же значение при термодинамический предел ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$. В большой канонический ансамбль здесь рекомендуется, так как он позволяет избежать использования комбинаторика и факториалы.

Как исследовалось в предыдущих разделах, в макроскопическом пределе мы можем использовать непрерывное приближение (Приближение Томаса – Ферми ), чтобы преобразовать эту сумму в интеграл:

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )})\,\mathrm {d} \varepsilon }$

куда D(ε) - полная плотность состояний.

Связь с распределением Ферми-Дирака

Большой потенциал связан с числом частиц при конечной температуре следующим образом

${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$

где производная берется при фиксированных температуре и объеме, и она выглядит

${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$

также известный как Распределение Ферми – Дирака.

Точно так же полная внутренняя энергия равна

${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,\mathrm {d} \varepsilon .}$

Точное решение для степенной плотности состояний

Кривые зависимости энтропии от температуры классический идеальный газ и квантовые идеальные газы (ферми-газ, Бозе-газ ) в трех измерениях (α = 1,5) с постоянной N, V.

Многие представляющие интерес системы имеют полную плотность состояний в степенной форме:

${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$

для некоторых значений грамм₀, α, ε₀. Результаты предыдущих разделов обобщаются на d размеры, дающие степенной закон с:

• α = d/2 для нерелятивистских частиц в d-габаритная коробка,
• α = d для нерелятивистских частиц в d-мерная гармоническая потенциальная яма,
• α = d для гиперрелятивистских частиц в d-габаритная коробка.

Для такой степенной плотности состояний большой потенциальный интеграл дает точное значение:^[11]

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$

куда ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$ это полный интеграл Ферми – Дирака (связанный с полилогарифм ). Из этого грандиозного потенциала и его производных можно извлечь все интересующие термодинамические величины.

Дополнения к модели

Релятивистский ферми-газ

Соотношения радиуса и массы для модельного белого карлика, релятивистское соотношение против нерелятивистского. В Предел Чандрасекара обозначается как M_Ch.

В статье рассматривается только случай, когда частицы имеют параболическую связь между энергией и импульсом, как это имеет место в нерелятивистской механике. Для частиц с энергиями, близкими к их соответствующим масса покоя, уравнения специальная теория относительности применимы. Где одночастичная энергия определяется как:

${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}}$.

Для этой системы энергия Ферми определяется выражением:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c}$,

где ${\displaystyle \approx }$ равенство действительно только в ультрарелятивистский предел, и

${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}}$.^[12]

Модель релятивистского ферми-газа также используется для описания больших белых карликов, близких к пределу Чандрезекара. Для ультрарелятивистского случая давление вырождения пропорционально ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$.

Ферми жидкость

В 1956 г. Лев Ландау разработал Теория ферми-жидкости, где он рассматривал случай ферми-жидкости, т. е. системы с отталкивающими, не обязательно малыми взаимодействиями между фермионами. Теория показывает, что термодинамические свойства идеального ферми-газа и ферми-жидкости не сильно различаются. Можно показать, что ферми-жидкость эквивалентна ферми-газу, состоящему из коллективных возбуждений или квазичастицы, каждый со своим эффективная масса и магнитный момент.

Смотрите также

• Бозе-газ
• Фермионный конденсат
• Газ в коробке
• Желе
• Двумерный электронный газ

Рекомендации

1. Ферми, Э. (1926-11-01). "Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases" (PDF). Zeitschrift für Physik (на немецком). 36 (11–12): 902–912. Bibcode:1926ZPhy ... 36..902F. Дои:10.1007 / BF01400221. ISSN  0044-3328. S2CID  123334672. Архивировано из оригинал (PDF) на 2019-04-06.
2. Швабль, Франц (9 марта 2013 г.). Статистическая механика. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-662-04702-6.
3. Regal, C.A .; Greiner, M .; Джин, Д. С. (28 января 2004 г.). «Наблюдение резонансной конденсации фермионных атомных пар». Письма с физическими проверками. 92 (4): 040403. arXiv:cond-mat / 0401554. Bibcode:2004PhRvL..92d0403R. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.040403. PMID  14995356. S2CID  10799388.
4. Джорджини, Стефано; Питаевский, Лев П .; Стрингри, Сандро (2008-10-02). «Теория ультрахолодных атомарных ферми-газов». Обзоры современной физики. 80 (4): 1215–1274. arXiv:0706.3360. Bibcode:2008RvMP ... 80.1215G. Дои:10.1103 / RevModPhys.80.1215. S2CID  117755089.
5. Келли, Джеймс Дж. (1996). «Статистическая механика идеальных ферми-систем» (PDF). Автономный университет Мадрида. Архивировано из оригинал (PDF) на 2018-04-12. Получено 2018-03-15.
6. «Вырожденные идеальные ферми-газы» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-09-19. Получено 2014-04-13.
7. Неф, Род. «Энергии Ферми, температуры Ферми и скорости Ферми». Гиперфизика. Получено 2018-03-21.
8. Торре, Чарльз (2015-04-21). "PHYS 3700: Введение в квантовую статистическую термодинамику" (PDF). Университет штата Юта. Получено 2018-03-21.
9. Неф, Род. «Уровень Ферми и функция Ферми». Гиперфизика. Получено 2018-03-21.
10. Эшкрофт, Нил У .; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1.
11. Бланделл (2006). «Глава 30: Квантовые газы и конденсаты». Концепции теплофизики. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198567707.
12. Грейнер, Уолтер; Нейзе, Людвиг; Штёкер, Хорст (1995). Термодинамика и статистическая механика. Классическая теоретическая физика. Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. стр.341–386. Дои:10.1007/978-1-4612-0827-3_14. ISBN  9780387942995.

дальнейшее чтение

• Нил У. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела (Харкорт: Орландо, 1976).
• Чарльз Киттель, Введение в физику твердого тела, 1-е изд. 1953 - 8 изд. 2005 г., ISBN  0-471-41526-X