Газ в ловушке гармоник - Gas in a harmonic trap

Результаты квантовый гармонический осциллятор можно использовать для просмотра состояние равновесия для квантового идеала газ в ловушке гармоник, который представляет собой гармонический потенциал, содержащий большое количество частиц, которые не взаимодействуют друг с другом, за исключением мгновенных термализующих столкновений. Эта ситуация имеет большое практическое значение, поскольку многие экспериментальные исследования Бозе-газы проводятся в таких гармонических ловушках.

Используя результаты либо Статистика Максвелла – Больцмана, Статистика Бозе – Эйнштейна или же Статистика Ферми – Дирака мы используем Приближение Томаса – Ферми (газ в коробке) и перейти к пределу очень большой ловушки, и выразить вырождение энергетических состояний (${\displaystyle g_{i}}$) как дифференциал, а суммирования по состояниям как интегралы. После этого мы сможем рассчитать термодинамические свойства газа, используя функция распределения или большая функция раздела. Мы будем рассматривать только случай массивных частиц, хотя результаты могут быть распространены и на безмассовые частицы, как это было сделано в случае идеальных частиц. газ в коробке. Более полные расчеты будут оставлены в отдельных статьях, но несколько простых примеров будут приведены в этой статье.

Приближение Томаса – Ферми для вырождения состояний.

Для массивных частиц в гармонической яме состояния частицы нумеруются набором квантовых чисел ${\displaystyle [n_{x},n_{y},n_{z}]}$. Энергия определенного состояния определяется как:

${\displaystyle E=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2\right)~~~~~~~~n_{i}=0,1,2,\ldots }$

Предположим, что каждый набор квантовых чисел определяет ${\displaystyle f}$ заявляет, где ${\displaystyle f}$ - количество внутренних степеней свободы частицы, которые могут быть изменены в результате столкновения. Например, частица со спином 1/2 будет иметь ${\displaystyle f=2}$, по одному для каждого состояния вращения. Мы можем думать о каждом возможном состоянии частицы как о точке на трехмерной сетке положительных целых чисел. Приближение Томаса – Ферми предполагает, что квантовые числа настолько велики, что их можно рассматривать как континуум. Для больших значений ${\displaystyle n}$, мы можем оценить количество состояний с энергией меньше или равной ${\displaystyle E}$ из приведенного выше уравнения как:

${\displaystyle g=f\,{\frac {n^{3}}{6}}=f\,{\frac {(E/\hbar \omega )^{3}}{6}}}$

что просто ${\displaystyle f}$ умноженный на объем тетраэдра, образованного плоскостью, описываемой уравнением энергии, и ограничивающими плоскостями положительного октанта. Число состояний с энергией между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E+dE}$ следовательно является:

${\displaystyle dg={\frac {1}{2}}\,fn^{2}\,dn={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~{\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}\,dE}$

Обратите внимание, что при использовании этого континуального приближения мы потеряли возможность характеризовать состояния с низкой энергией, включая основное состояние, где ${\displaystyle n_{i}=0}$. В большинстве случаев это не будет проблемой, но при рассмотрении конденсации Бозе – Эйнштейна, при которой большая часть газа находится в основном состоянии или около него, нам нужно будет восстановить способность иметь дело с состояниями с низкой энергией.

Без использования континуального приближения число частиц с энергией ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ дан кем-то:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi }}}$

куда

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}}$	для частиц, подчиняющихся Статистика Максвелла – Больцмана
${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}-1}$	для частиц, подчиняющихся Статистика Бозе – Эйнштейна
${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}+1}$	для частиц, подчиняющихся Статистика Ферми – Дирака

с ${\displaystyle \beta =1/kT}$, с ${\displaystyle k}$ существование Постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ существование температура, и ${\displaystyle \mu }$ будучи химический потенциал. Используя приближение континуума, число частиц ${\displaystyle dN}$ с энергией между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E+dE}$ теперь написано:

${\displaystyle dN={\frac {dg}{\Phi }}}$

Функция распределения энергии

Теперь мы можем определить некоторые функции распределения для «газа в гармонической ловушке». Функция распределения для любой переменной ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle P_{A}dA}$ и равна доле частиц, которые имеют значения для ${\displaystyle A}$ между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A+dA}$:

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN}{N}}={\frac {dg}{N\Phi }}}$

Следует, что:

${\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1}$

Используя эти соотношения, получаем функцию распределения энергии:

${\displaystyle P_{E}~dE={\frac {1}{N}}\,\left({\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}\right)~{\frac {1}{2}}{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi }}\,dE}$

Конкретные примеры

В следующих разделах приведены примеры результатов для некоторых конкретных случаев.

Массивные частицы Максвелла – Больцмана

В этом случае:

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}\,}$

Интегрирование функции распределения энергии и решение для ${\displaystyle N}$ дает:

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~e^{\beta \mu }}$

Подстановка в исходную функцию распределения энергии дает:

${\displaystyle P_{E}~dE={\frac {\beta ^{3}E^{2}e^{-\beta E}}{2}}\,dE}$

Массивные частицы Бозе – Эйнштейна

В этом случае:

${\displaystyle \Phi =e^{\beta \epsilon }/z-1\,}$

куда ${\displaystyle z}$ определяется как:

${\displaystyle z=e^{\beta \mu }\,}$

Интегрирование функции распределения энергии и решение для ${\displaystyle N}$ дает:

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\mathrm {Li} _{3}(z)}$

Где ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)}$ это полилогарифм функция. Член полилогарифма всегда должен быть положительным и действительным, что означает, что его значение будет изменяться от 0 до ${\displaystyle \zeta (3)}$ в качестве ${\displaystyle z}$ изменяется от 0 до 1. Когда температура падает до нуля, ${\displaystyle \beta }$ будет становиться все больше и больше, пока, наконец, ${\displaystyle \beta }$ достигнет критического значения ${\displaystyle \beta _{c}}$, куда ${\displaystyle z=1}$ и

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta _{c})^{3}}}~\zeta (3)}$

Температура, при которой ${\displaystyle \beta =\beta _{c}}$ - критическая температура, при которой начинает образовываться конденсат Бозе – Эйнштейна. Проблема в том, что, как упоминалось выше, основное состояние игнорировалось в континуальном приближении. Оказывается, что приведенное выше выражение достаточно хорошо выражает количество бозонов в возбужденных состояниях, поэтому мы можем записать:

${\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+{\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\mathrm {Li} _{3}(z)}$

где добавленный член - это количество частиц в основном состоянии. (Энергия основного состояния игнорируется.) Это уравнение будет удерживаться до нулевой температуры. Дальнейшие результаты можно найти в статье об идеальном Бозе-газ.

Массивные частицы Ферми-Дирака (например, электроны в металле)

В этом случае:

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}+1\,}$

Интегрирование функции распределения энергии дает:

${\displaystyle 1={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}~\left[-\mathrm {Li} _{3}(-z)\right]}$

где снова ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)}$ это полилогарифм функция. Дальнейшие результаты можно найти в статье об идеальном Ферми газ.

Рекомендации

• Хуанг, Керсон, «Статистическая механика», Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк, 1967.
• А. Исихара, "Статистическая физика", Academic Press, Нью-Йорк, 1971
• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, "Статистическая физика, 3-е издание, часть 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996
• К. Дж. Петик и Х. Смит, "Конденсация Бозе – Эйнштейна в разбавленных газах", Cambridge University Press, Кембридж, 2004 г.