Фотонный газ - Photon gas

В физике фотонный газ это газ -подобный сборник фотоны, который имеет многие из свойств обычного газа, например водород или же неон - включая давление, температуру и энтропию. Наиболее распространенный пример равновесного фотонного газа: излучение черного тела.

Фотоны являются частью семейства частиц, известных как бозоны, частицы, следующие за Статистика Бозе – Эйнштейна и с целым числом вращение. А газ бозонов только с одним типом частиц однозначно описывается тремя функциями состояния, такими как температура, объем, а количество частиц. Однако для черного тела энергия Распределение устанавливается взаимодействием фотонов с веществом, обычно со стенками контейнера. При этом взаимодействии количество фотонов не сохраняется. В результате химический потенциал фотонного газа черного тела равна нулю. Таким образом, количество переменных состояния, необходимых для описания состояния черного тела, сокращается с трех до двух (например, температуры и объема).

Термодинамика фотонного газа черного тела

В классическом идеальный газ с массивными частицами энергия частиц распределяется по Распределение Максвелла – Больцмана. Это распределение устанавливается, когда частицы сталкиваются друг с другом, обмениваясь энергией (и импульсом) в процессе. В фотонном газе также будет равновесное распределение, но фотоны не сталкиваются друг с другом (за исключением очень экстремальных условий, см. двухфотонная физика ), поэтому равновесное распределение необходимо устанавливать другими способами. Наиболее распространенный способ установления равновесного распределения - взаимодействие фотонов с веществом. Если фотоны поглощаются и излучаются стенками системы, содержащей фотонный газ, и стенки имеют определенную температуру, то равновесное распределение для фотонов будет черное тело распределение при этой температуре.

Очень важное различие между Бозе-газ (газ массивных бозонов) и фотонный газ с чернотельным распределением состоит в том, что количество фотонов в системе не сохраняется. Фотон может столкнуться с электроном в стенке, возбудив его до более высокого энергетического состояния, удалив фотон из фотонного газа. Этот электрон может вернуться на свой нижний уровень за серию шагов, каждый из которых выпускает отдельный фотон обратно в фотонный газ. Хотя сумма энергии фотонов испущенных фотонов такие же, как и поглощенного фотона, количество испускаемых фотонов будет изменяться. Можно показать, что в результате отсутствия ограничений на количество фотонов в системе химический потенциал фотонов должно быть равно нулю для излучения черного тела.

Термодинамика фотонного газа черного тела может быть получена с использованием квантово-механические аргументы. Вывод дает спектральную плотность энергии ты которая представляет собой энергию на единицу объема на единицу частотного интервала, определяемую формулой Закон планка:

${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$.

куда час является Постоянная планка, c это скорость света, ν это частота, k - постоянная Больцмана, а Т это температура.

Интегрируя по частоте и умножая на громкость, V, дает внутренняя энергия фотонного газа черного тела:

${\displaystyle U=\left({\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15(hc)^{3}}}\right)VT^{4}}$.^[1]

Вывод также дает (ожидаемое) количество фотонов N:

${\displaystyle N=\left({\frac {16\pi k^{3}\zeta (3)}{(hc)^{3}}}\right)VT^{3}}$,

куда ${\displaystyle \zeta (n)}$ это Дзета-функция Римана. Обратите внимание, что для определенной температуры число частиц N изменяется в зависимости от объема фиксированным образом, приспосабливаясь к постоянной плотности фотонов.

Если заметить, что уравнение состояния ультрарелятивистского квантового газа (который по своей сути описывает фотоны) имеет вид

${\displaystyle U=3PV}$,

тогда мы можем объединить приведенные выше формулы, чтобы получить уравнение состояния, которое очень похоже на уравнение идеального газа:

${\displaystyle PV={\frac {\zeta (4)}{\zeta (3)}}NkT\approx 0.9\,NkT}$.

В следующей таблице приведены термодинамические функции состояния для черного фотонного газа. Обратите внимание, что давление можно записать в виде ${\displaystyle P=bT^{4}}$, который не зависит от объема (б постоянная).

Функции термодинамического состояния для черного фотонного газа ${\displaystyle (\hbar =h/2\pi )}$

	Государственная функция (Т, V)
Внутренняя энергия	${\displaystyle U=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{4}}$
Номер частицы	${\displaystyle N=\left({\frac {2k^{3}\zeta (3)}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$[2]
Химический потенциал	${\displaystyle \mu =0\,}$
Давление	${\displaystyle P={\frac {1}{3}}\,{\frac {U}{V}}=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,T^{4}}$[1]
Энтропия	${\displaystyle S={\frac {4U}{3T}}=\left({\frac {4\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}}$[1]
Энтальпия	${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\,U}$[1]
Свободная энергия Гельмгольца	${\displaystyle A=-{\frac {1}{3}}\,U}$
Свободная энергия Гиббса	${\displaystyle G=0\,}$

Изотермические превращения

В качестве примера термодинамического процесса с участием фотонного газа рассмотрим цилиндр с подвижным поршнем. Внутренние стенки цилиндра "черные" для того, чтобы температура фотонов могла поддерживаться на определенном уровне. Это означает, что пространство внутри цилиндра будет содержать фотонный газ, распределенный по черному телу. В отличие от массивного газа, этот газ будет существовать без фотонов, вводимых извне - стены будут обеспечивать фотоны для газа. Предположим, поршень полностью вдвинут в цилиндр, так что его объем чрезвычайно мал. Фотонный газ внутри объема будет давить на поршень, перемещая его наружу, и для того, чтобы преобразование было изотермическим, к поршню должна быть приложена противодействующая сила почти такой же величины, чтобы движение поршня было очень медленно. Эта сила будет равна давлению, умноженному на площадь поперечного сечения (А ) поршня. Этот процесс можно продолжать при постоянной температуре, пока газ фотонов не достигнет объема V₀ . Интегрируя силу по расстоянию (Икс ) пройдено дает общую работу, проделанную для создания этого фотонного газа в этом объеме

${\displaystyle W=-\int _{0}^{x_{0}}P(A\mathrm {d} x)}$,

где отношения V = топор был использован. Определение

${\displaystyle b={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h^{3}}}}$.^[1]

Давление

${\displaystyle P(x)={\frac {bT^{4}}{3}}\,}$.

Интеграция, проделанная работа просто

${\displaystyle W=-{\frac {bT^{4}Ax_{0}}{3}}=-{\frac {bT^{4}V_{0}}{3}}}$.

Количество тепла, которое необходимо добавить для образования газа, равно

${\displaystyle Q=U-W=H_{0}\,}$.

куда ЧАС₀ - энтальпия в конце преобразования. Видно, что энтальпия - это количество энергии, необходимое для создания фотонного газа.

Смотрите также

• Газ в коробке - вывод функций распределения для всех идеальных газов
• Бозе-газ
• Ферми газ
• Закон планка о излучении черного тела - распределение энергии фотонов как функция частоты или длины волны
• Закон Стефана – Больцмана - полный поток, излучаемый черным телом
• Радиационное давление

дальнейшее чтение

• Байерлейн, Ральф (апрель 2001 г.). «Неуловимый химический потенциал» (PDF). Американский журнал физики. 69 (4): 423–434. Bibcode:2001AmJPh..69..423B. Дои:10.1119/1.1336839.
• Herrmann, F .; Вюрфель, П. (август 2005 г.). «Свет с ненулевым химическим потенциалом» (PDF). Американский журнал физики. 73 (8): 717–723. Bibcode:2005AmJPh..73..717H. Дои:10.1119/1.1904623. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2012-06-29.

Рекомендации

1. Лефф, Харви С. (12.07.2002). «Обучение фотонному газу во вводной физике». Американский журнал физики. 70 (8): 792–797. Bibcode:2002AmJPh..70..792L. Дои:10.1119/1.1479743. ISSN  0002-9505.
2. Швабль, Франц (13.06.2006). «4.5 Фотонный газ». Статистическая механика. Springer Science & Business Media. ISBN  9783540323433.