Многомерное распределение Лапласа - Multivariate Laplace distribution

Многомерный Лаплас (симметричный)

Параметры	μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица )
Поддерживать	Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk
PDF	Если ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle {\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$ куда ${\displaystyle v=(2-k)/2}$ и ${\displaystyle K_{v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.
Иметь в виду	μ
Режим	μ
Дисперсия	Σ
Асимметрия	0
CF	${\displaystyle {\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

Многомерный Лаплас (асимметричный)

Параметры	μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица )
Поддерживать	Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk
PDF	${\displaystyle {\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{\frac {k}{2}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{\frac {v}{2}}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )}}$ куда ${\displaystyle v=(2-k)/2}$ и ${\displaystyle K_{v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.
Иметь в виду	μ
Дисперсия	Σ + μ ' μ
Асимметрия	ненулевой, если только μ=0
CF	${\displaystyle {\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}}$

В математической теории вероятностей многомерные распределения Лапласа являются продолжением Распределение Лапласа и асимметричное распределение Лапласа к нескольким переменным. В маржинальные распределения симметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются распределениями Лапласа. Маргинальные распределения асимметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются асимметричными распределениями Лапласа.^[1]

Симметричное многомерное распределение Лапласа

Типичная характеристика симметричного многомерного распределения Лапласа имеет характеристическая функция:

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ вектор средства для каждой переменной и ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ это ковариационная матрица.^[2]

в отличие от многомерное нормальное распределение, даже если ковариационная матрица имеет нулевой ковариация и корреляция переменные не независимы.^[1] Симметричное многомерное распределение Лапласа имеет вид эллиптический.^[1]

Функция плотности вероятности

Если ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$, то функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное многомерное распределение Лапласа принимает вид:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$

куда:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$ и ${\displaystyle K_{v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.^[1]

В коррелированном двумерном случае, т. Е. k = 2, причем ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ PDF-файл сокращается до:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}K_{0}\left({\sqrt {\frac {2\left({\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {2\rho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)}{1-\rho ^{2}}}}\right),}$

куда:

${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ являются Стандартное отклонение из ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$соответственно и ${\displaystyle \rho }$ это коэффициент корреляции из ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$.^[1]

Для независимого двумерного случая Лапласа, то есть k = 2, ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\rho =0}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1}$, PDF-файл становится:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi }}K_{0}\left({\sqrt {2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}\right).}$^[1]

Асимметричное многомерное распределение Лапласа

Типичная характеристика асимметричного многомерного распределения Лапласа имеет вид характеристическая функция:

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.}$^[1]

Как и в случае с симметричным многомерным распределением Лапласа, асимметричное многомерное распределение Лапласа имеет среднее значение ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$, но ковариация становится ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}}$.^[3] Асимметричное многомерное распределение Лапласа не является эллиптическим, если только ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$, и в этом случае распределение сводится к симметричному многомерному распределению Лапласа с ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$.^[1]

В функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное асимметричное многомерное распределение Лапласа:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{v/2}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )},}$

куда:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$ и ${\displaystyle K_{v}}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода.^[1]

Асимметричное распределение Лапласа, включая частный случай ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$, является примером геометрическое устойчивое распределение.^[3] Он представляет собой предельное распределение для суммы независимые, одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией и ковариацией, где количество суммируемых элементов само по себе является независимой случайной величиной, распределенной в соответствии с геометрическое распределение.^[1] Такие геометрические суммы могут возникать в практических приложениях в биологии, экономике и страховании.^[1] Распределение также может быть применимо в более широких ситуациях для моделирования многомерных данных с более тяжелыми хвостами, чем нормальное распределение, но конечным моменты.^[1]

Отношения между экспоненциальное распределение и Распределение Лапласа позволяет использовать простой метод моделирования двумерных асимметричных переменных Лапласа (в том числе для случая ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$). Моделируйте двумерный нормальный вектор случайных величин ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ из раздачи с ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ и ковариационная матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Независимо моделируйте экспоненциальные случайные величины W из распределения Exp (1). ${\displaystyle \mathbf {X} ={\sqrt {W}}\mathbf {Y} +W{\boldsymbol {\mu }}}$ будет распределенным (асимметричным) двумерным Лапласом со средним ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ и ковариационная матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$.^[1]

Рекомендации

1. Коц. Самуэль; Kozubowski, Tomasz J .; Подгорский, Кшиштоф (2001). Распределение Лапласа и обобщения. Бирхаузер. С. 229–245. ISBN  0817641661.
2. Фрагиадакис, Константинос и Мейнтанис, Симос Г. (март 2011 г.). «Критерии согласия для многомерных распределений Лапласа». Математическое и компьютерное моделирование. 53 (5–6): 769–779. Дои:10.1016 / j.mcm.2010.10.014.
3. Kozubowski, Tomasz J .; Подгорский, Кшиштоф; Рычлик, Игорь (2010). «Многомерные обобщающие распределения Лапласа и связанные с ними случайные поля» (PDF). Гетеборгский университет. Получено 2017-05-28.