Распределение приподнятого косинуса - Raised cosine distribution

Приподнятый косинус

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \mu \,}$(настоящий ) ${\displaystyle s>0\,}$(настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu \,}$
Медиана	${\displaystyle \mu \,}$
Режим	${\displaystyle \mu \,}$
Дисперсия	${\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}$
Асимметрия	${\displaystyle 0\,}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}$

В теория вероятности и статистика, то распределение приподнятого косинуса является непрерывным распределение вероятностей поддержанный на интервале ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$. В функция плотности вероятности (PDF) - это

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$

за ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ и ноль в противном случае. Кумулятивная функция распределения (CDF) равна

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$

за ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ и ноль для ${\displaystyle x<\mu -s}$ и единство для ${\displaystyle x>\mu +s}$.

В моменты распределения приподнятого косинуса несколько усложняются в общем случае, но значительно упрощаются для стандартного распределения приподнятого косинуса. Стандартное распределение приподнятого косинуса - это просто распределение приподнятого косинуса с ${\displaystyle \mu =0}$ и ${\displaystyle s=1}$. Поскольку стандартное распределение приподнятого косинуса является даже функция, нечетные моменты равны нулю. Четные моменты представлены:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$ это обобщенная гипергеометрическая функция.

Смотрите также

• Функция Ханна
• Гаверкозин (hvc)

Рекомендации

• Хорст Ринне (2010). «Распределения в масштабе местоположения - линейная оценка и построение графиков вероятностей с использованием MATLAB» (PDF). п. 116. Получено 2012-11-16.