Помеченное преобразование - Starred transform

Для топологического преобразования в схемных сетях см. преобразование звезда-треугольник.

В Прикладная математика, то помеченное преобразование, или же звездное преобразование, является дискретным временем изменения Преобразование Лапласа, названные так из-за звездочки или «звезды» в обычном обозначении дискретизированных сигналов. Преобразование является оператором функции непрерывного времени ${displaystyle x(t)}$, которая преобразуется в функцию ${displaystyle X^{*}(s)}$ следующим образом:^[1]

${displaystyle {egin{aligned}X^{*}(s)={mathcal {L}}[x(t)cdot delta _{T}(t)]={mathcal {L}}[x^{*}(t)],end{aligned}}}$

куда ${displaystyle delta _{T}(t)}$ это Гребень Дирака функция, с периодом времени T.

Преобразование со звездочкой - это удобная математическая абстракция, которая представляет преобразование Лапласа выбранный импульс функция ${displaystyle x^{*}(t)}$, который является выходом идеальный пробоотборник, вход которой является непрерывной функцией, ${displaystyle x(t)}$.

Преобразование, отмеченное звездочкой, аналогично преобразованию Z преобразование, с простой заменой переменных, где преобразование, помеченное звездочкой, явно объявляется в терминах периода выборки (T), а преобразование Z выполняется для дискретного сигнала и не зависит от периода выборки. Это превращает помеченное звездочкой в денормализованный вариант одностороннего Z-преобразование, так как восстанавливает зависимость от параметра выборкиТ.

Связь с преобразованием Лапласа

С ${displaystyle X^{*}(s)={mathcal {L}}[x^{*}(t)]}$, куда:

${displaystyle {egin{aligned}x^{*}(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}} x(t)cdot delta _{T}(t)&=x(t)cdot sum _{n=0}^{infty }delta (t-nT).end{aligned}}}$

Тогда по теорема свертки, преобразование, отмеченное звездочкой, эквивалентно сложной свертке ${displaystyle {mathcal {L}}[x(t)]=X(s)}$ и ${displaystyle {mathcal {L}}[delta _{T}(t)]={frac {1}{1-e^{-Ts}}}}$, следовательно:^[1]

${displaystyle X^{*}(s)={frac {1}{2pi j}}int _{c-jinfty }^{c+jinfty }{X(p)cdot {frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}cdot dp}.}$

Этот линейная интеграция эквивалентно интегрированию в положительном смысле по замкнутому контуру, образованному такой прямой и бесконечным полукругом, охватывающим полюса X (s) в левой полуплоскости п. Результат такой интеграции (согласно теорема о вычетах ) было бы:

${displaystyle X^{*}(s)=sum _{lambda ={ ext{poles of }}X(s)}operatorname {Res} limits _{p=lambda }{igg [}X(p){frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}{igg ]}.}$

В качестве альтернативы вышеупомянутое линейное интегрирование эквивалентно интегрированию в отрицательном смысле по замкнутому контуру, образованному такой линией и бесконечным полукругом, который охватывает бесконечные полюса ${displaystyle {frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}}$ в правой полуплоскости п. Результатом такой интеграции будет:

${displaystyle X^{*}(s)={frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }Xleft(s-j{ frac {2pi }{T}}kight)+{frac {x(0)}{2}}.}$

Связь с преобразованием Z

Учитывая Z-преобразование, Икс(z) соответствующее преобразование, отмеченное звездочкой, представляет собой простую замену:

${displaystyle {igg .}X^{*}(s)=X(z){igg |}_{displaystyle z=e^{sT}}}$  ^[2]

Эта замена восстанавливает зависимость от Т.

Это взаимозаменяемый,^{[нужна цитата ]}

${displaystyle {igg .}X(z)=X^{*}(s){igg |}_{displaystyle e^{sT}=z}}$  

${displaystyle {igg .}X(z)=X^{*}(s){igg |}_{displaystyle s={frac {ln(z)}{T}}}}$  

Свойства помеченного звездочкой преобразования

Свойство 1:  ${displaystyle X^{*}(s)}$ периодичен в ${displaystyle s}$ с периодом ${displaystyle j{ frac {2pi }{T}}.}$

${displaystyle X^{*}(s+j{ frac {2pi }{T}}k)=X^{*}(s)}$

Свойство 2: Если ${displaystyle X(s)}$ имеет полюс на ${displaystyle s=s_{1}}$, тогда ${displaystyle X^{*}(s)}$ должен иметь полюса на ${displaystyle s=s_{1}+j{ frac {2pi }{T}}k}$, куда ${displaystyle scriptstyle k=0,pm 1,pm 2,ldots }$

Цитаты

1. Юрий, Элиаху И. Анализ и синтез систем управления выборочными данными., Труды Американского института инженеров-электриков - Часть I: Связь и электроника, 73.4, 1954, стр. 332-346.
2. Бека, стр.9

Рекомендации

• Беч, Майкл М. «Теория цифрового управления» (PDF). AALBORG University. Получено 5 февраля 2014.
• Гопал, М. (март 1989 г.). Цифровая техника управления. Джон Вили и сыновья. ISBN  0852263082.
• Филлипс и Нэгл, «Анализ и проектирование цифровых систем управления», 3-е издание, Прентис-Холл, 1995. ISBN  0-13-309832-X