Метод согласованного Z-преобразования - Matched Z-transform method

В s-плоские полюсы и нули 5-го порядка Фильтр нижних частот Чебышева типа II быть аппроксимированным как фильтр дискретного времени

В z-плоскости полюсов и нулей фильтра Чебышева с дискретным временем, отображаемых в z-плоскость с помощью метода согласованного Z-преобразования с Т = 1/10 секунды. Обозначенные частотные точки и пунктирные линии по краям полосы также были нанесены на карту с помощью функции г = е^iωT, чтобы показать, как частоты вдоль iω ось в sкарта плоскости на единичный круг в z-самолет.

В согласованный метод Z-преобразования, также называемый отображение полюса-нуля^[1][2] или же метод согласования полюса и нуля,^[3] и сокращенно МПЗ или же МЗТ,^[4] это техника для преобразования непрерывное время дизайн фильтра к дискретное время фильтр (цифровой фильтр ) дизайн.

Метод работает путем сопоставления всех полюсов и нулей s-самолет дизайн для z-самолет локации ${\displaystyle z=e^{sT}}$, для интервала выборки ${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }}$.^[5] Итак, аналоговый фильтр с передаточной функцией:

${\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}}$

преобразуется в цифровую передаточную функцию

${\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}}$

Прибыль ${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$ должны быть отрегулированы для нормализации желаемого усиления, обычно устанавливаемого в соответствии с усилением аналогового фильтра при постоянном токе на параметр ${\displaystyle s=0}$ и ${\displaystyle z=1}$ и решение для ${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$.^[3][6]

Поскольку отображение обертывает s-самолет ${\displaystyle j\omega }$ ось вокруг z-плоскости единичной окружности, любые нули (или полюса), превышающие частоту Найквиста, будут сопоставлены местоположению с псевдонимом.^[7]

В (общем) случае, когда аналоговая передаточная функция имеет больше полюсов, чем нулей, нули на ${\displaystyle s=\infty }$ при желании можно сдвинуть вниз до частоты Найквиста, поместив их на ${\displaystyle z=-1}$, в результате чего передаточная функция падает как ${\displaystyle z\rightarrow -1}$ во многом так же, как и с билинейное преобразование (BLT).^[1][3][6][7]

Хотя это преобразование сохраняет стабильность и минимальная фаза, он не сохраняет отклик ни во временной, ни в частотной области и поэтому широко не используется.^[8][7] Более распространенные методы включают BLT и импульсная инвариантность методы.^[4] Однако MZT обеспечивает меньшую ошибку высокочастотной характеристики, чем BLT, что упрощает исправление путем добавления дополнительных нулей, что называется MZTi (от «улучшенного»).^[9]

Конкретное применение согласованный метод Z-преобразования в области цифрового управления с Формула Аккермана, который меняет полюса управляемый система; как правило, из нестабильного (или близлежащего) места в стабильное.

Характеристики фильтра (пунктир) и его аппроксимация в дискретном времени (сплошной) для номинальной частоты среза 1 Гц, частоты дискретизации 1 / T = 10 Гц. Фильтр с дискретным временем не воспроизводит свойство равновероятности Чебышева в полосе задерживания из-за помех от циклических копий ответа.

Рекомендации

1. Вон Ён Ян (2009). Сигналы и системы с MATLAB. Springer. п. 292. ISBN  978-3-540-92953-6.
2. Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом. AIAA. п. 151. ISBN  978-1-56347-261-9.
3. Артур Г. О. Мутамбара (1999). Проектирование и анализ систем управления. CRC Press. п. 652. ISBN  978-0-8493-1898-6.
4. Аль-Алауи, М.А. (февраль 2007 г.). «Новый подход к аналого-цифровым преобразованиям». IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. Дои:10.1109 / tcsi.2006.885982. ISSN  1549-8328.
5. С. В. Нарасимхан и С. Вина (2005). Обработка сигналов: принципы и реализация. Alpha Science Int'l Ltd. стр. 260. ISBN  978-1-84265-199-5.
6. Франклин, Джин Ф. (2015). Управление с обратной связью динамических систем. Пауэлл, Дж. Дэвид, Эмами-Наини, Аббас (седьмое изд.). Бостон: Пирсон. С. 607–611. ISBN  978-0133496598. OCLC  869825370. Поскольку физические системы часто имеют больше полюсов, чем нулей, полезно произвольно добавлять нули при z = -1.
7. Рабинер, Лоуренс R; Золото, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр.224–226. ISBN  0139141014. Было высказано предположение о целесообразности искусственного добавления нулей при z = –1 в цифровую систему ... но этот специальный метод в лучшем случае является лишь временной мерой. ... В общем, использование инвариантного импульса или билинейного преобразования предпочтительнее согласованного преобразования z.
8. Джексон, Лиланд Б. (1996). Цифровые фильтры и обработка сигналов. Springer Science & Business Media. п. 262. ISBN  9780792395591. Хотя таким образом можно разработать идеально подходящие фильтры, это преобразование не сохраняет никаких особых свойств во временной или частотной области, и оно не используется широко.
9. Оджас, Чаухан; Дэвид, Ганнесс (01.09.2007). «Оптимизация амплитудной характеристики согласованных фильтров Z-преобразования (« MZTi ») для эквализации громкоговорителей». Аудио инженерное общество. Архивировано из оригинал 27 июля 2019 г. Альтернативный URL