Формула Акерманна - Ackermanns formula

Не путать с Функция Аккермана.

В теория управления, Формула Аккермана это система контроля расчетный метод решения распределение полюсов проблема для систем с инвариантным временем Юрген Акерманн.^[1] Одной из основных проблем при проектировании систем управления является создание контроллеров, которые изменят динамику системы путем изменения собственных значений матрицы, представляющей динамику замкнутой системы.^[2] Это эквивалентно изменению полюсов связанных функция передачи в случае, если нет отмены полюсов и нулей.

Контроль состояния обратной связи

Рассмотрим линейную инвариантную систему с непрерывным временем с представление в пространстве состояний

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)}$

куда Икс - вектор состояния, ты - входной вектор, а А, B и C матрицы совместимых размеров, которые представляют динамику системы. Описание ввода-вывода этой системы дается функция передачи

${\displaystyle G(s)=C(sI-A)^{-1}B=C\ {\frac {\operatorname {Adj} (sI-A)}{\det(sI-A)}}\ B.}$

Поскольку знаменатель правого уравнения задается характеристический многочлен из А, полюса грамм находятся собственные значения из А (обратите внимание, что обратное не обязательно верно, так как между членами числителя и знаменателя могут быть сокращения). Если система неустойчивый, или имеет медленный отклик или любую другую характеристику, которая не определяет критерии проектирования, может быть полезно внести в нее изменения. Матрицы А, B и Cоднако могут представлять физические параметры системы, которые нельзя изменить. Таким образом, одним из подходов к этой проблеме может быть создание петли обратной связи с коэффициентом усиления K который будет кормить переменную состояния Икс во вход ты.

Если система управляемый, всегда есть вход ${\displaystyle u(t)}$ такое, что любое государство ${\displaystyle x_{0}}$ может быть переведен в любое другое состояние ${\displaystyle x(t)}$. Имея это в виду, в систему можно добавить контур обратной связи с управляющим входом. ${\displaystyle u(t)=r(t)-Kx(t)}$, так что новая динамика системы будет

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+B[r(t)-Kx(t)]=[A-BK]x(t)+Br(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t).}$

В этой новой реализации полюса будут зависеть от характеристического полинома ${\displaystyle \Delta _{new}}$ из ${\displaystyle A-BK}$, то есть

${\displaystyle \Delta _{\text{new}}(s)=\det(sI-(A-BK)).}$

Формула Аккермана

Вычисление характеристического полинома и выбор подходящей матрицы обратной связи может оказаться сложной задачей, особенно в больших системах. Один из способов упростить вычисления - использовать формулу Аккермана. Для простоты рассмотрим один входной вектор без ссылки параметра ${\displaystyle r}$, Такие как

${\displaystyle u(t)=-k^{T}x(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)-Bk^{T}x(t),}$

куда ${\displaystyle k^{T}}$ - вектор обратной связи совместимых размеров. Формула Аккермана утверждает, что процесс проектирования можно упростить, вычислив только следующее уравнение:

${\displaystyle k^{T}=\left[0\ 0\ \cdots \ 0\ 1\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta _{\text{new}}(A),}$

в котором ${\displaystyle \Delta _{\text{new}}(A)}$ - искомый характеристический многочлен, вычисленный на матрице ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ это матрица управляемости системы.

Доказательство

Это доказательство основано на Энциклопедия систем жизнеобеспечения запись о контроле за размещением полюсов.^[3] Предположим, что система управляемый. Характеристический многочлен ${\displaystyle A_{CL}:=(A-Bk^{T})}$ дан кем-то

${\displaystyle \Delta (A_{CL})=(A_{CL})^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A_{CL}^{k-1}}$

Расчет степеней ${\displaystyle A_{CL}}$ приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}(A_{CL})^{0}&=(A-Bk^{T})^{0}=I\\(A_{CL})^{1}&=(A-Bk^{T})^{1}=A-Bk^{T}\\(A_{CL})^{2}&=(A-Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A+(Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-(Bk^{T})[A-Bk^{T}]=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL}\\\vdots \\(A_{CL})^{n}&=(A-Bk^{T})^{n}=A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1}\end{aligned}}}$

Замена предыдущих уравнений на ${\displaystyle \Delta (A_{CL})}$ дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (A_{CL})&=(A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots +\alpha _{2}(A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL})+\alpha _{1}(A-Bk^{T})+\alpha _{0}I\\&=(A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\cdots +\alpha _{2}A^{2}+\alpha _{1}A+\alpha _{0}I)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(Bk^{T})\\&=\Delta (A)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})-\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(A+Bk^{T})\end{aligned}}}$$

Переписывая приведенное выше уравнение в виде матричного произведения и опуская члены, которые ${\displaystyle k^{T}}$ не появляется единичных урожаев

$${\displaystyle \Delta (A_{CL})=\Delta (A)-\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]}$$

От Теорема Кэли – Гамильтона, ${\displaystyle \Delta \left(A_{CL}\right)=0}$, таким образом

${\displaystyle \left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\Delta (A)}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]}$ это матрица управляемости системы. Поскольку система управляема, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ обратимо. Таким образом,

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]={\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}$

Найти ${\displaystyle k^{T}}$, обе части можно умножить на вектор ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]}$ давая

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}$

Таким образом,

${\displaystyle k^{T}=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}$

Пример

Учитывать^[4]

${\displaystyle {\dot {x}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right]x+\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]u}$

Мы знаем из характеристического полинома ${\displaystyle A}$ что система нестабильна, так как ${\displaystyle det(sI-A)=(s-1)(s-2)-1=s^{2}-3s+1}$, матрица ${\displaystyle A}$ будут иметь только положительные собственные значения. Таким образом, для стабилизации системы положим коэффициент обратной связи ${\displaystyle K=\left[{\begin{array}{cc}k_{1}&k_{2}\end{array}}\right].}$

Из формулы Аккермана можно найти матрицу ${\displaystyle k}$ это изменит систему так, что ее характеристическое уравнение будет равно желаемому многочлену. Предположим, мы хотим ${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(s)=s^{2}+11s+30}$.

Таким образом, ${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(A)=A^{2}+11A+30I}$ и вычисление матрицы управляемости дает

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left[{\begin{array}{cc}B&AB\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]}$ и ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{-1}=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right].}$

Также у нас есть это ${\displaystyle A^{2}=\left[{\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right].}$

Наконец, из формулы Аккермана

${\displaystyle k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[\left[{\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right]+11\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right]+30I\right]}$

${\displaystyle k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}43&14\\14&57\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}29&-43\\14&57\end{array}}\right]}$

${\displaystyle k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}14&57\end{array}}\right]}$

Рекомендации

1. Акерманн Дж. (1972). "Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum" (PDF). В - Automatisierungstechnik. 20 (1–12). Дои:10.1524 / авто.1972.20.112.297. ISSN  2196-677X. S2CID  111291582.
2. Теория и дизайн современных систем управления, 2-е издание, Стэнли М. Шиннерс
3. Акерманн, Дж. Э. (2009). «Контроль расстановки полюсов». Системы управления, робототехника и автоматизация. Unbehauen, Хайнц. Оксфорд: Eolss Publishers Co. Ltd. ISBN  9781848265905. OCLC  703352455.
4. «Тема № 13: 16.31 Контроль обратной связи» (PDF). Web.mit.edu. Получено 2017-07-06.

Смотрите также

• Полный отзыв о состоянии

внешняя ссылка

• Глава о формуле Аккермана в Викиучебнике систем управления и техники управления