Фильтр Чебышева - Chebyshev filter

Фильтры Чебышева находятся аналог или же цифровой фильтры, имеющие более крутой скатывание чем Фильтры Баттерворта, и имеют полоса пропускания рябь (тип I) или полоса задерживания рябь (тип II). Фильтры Чебышева обладают тем свойством, что они минимизируют ошибку между идеализированной и фактической характеристиками фильтра в диапазоне фильтра (см. Ссылки, например, [Daniels], [Lutovac]),^{[нужна цитата ]} но с рябью в полосе пропускания. Этот тип фильтра назван в честь Пафнутый Чебышев потому что его математические характеристики получены из Полиномы Чебышева Фильтры Чебышева I типа обычно называют просто «фильтрами Чебышева», а фильтры II типа - «обратными фильтрами Чебышева».

Из-за пульсации полосы пропускания, присущей фильтрам Чебышева, для некоторых приложений предпочтительны те, которые имеют более плавный отклик в полосе пропускания, но более нерегулярный отклик в полосе задерживания.^{[нужна цитата ]}

Фильтры Чебышева типа I (фильтры Чебышева)

АЧХ фильтра нижних частот Чебышева четвертого порядка I типа с ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Фильтры Чебышева первого типа являются наиболее распространенными типами фильтров Чебышева. Прирост (или амплитуда ) отклик, ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$, как функция угловой частоты ${\displaystyle \omega }$ из пфильтр нижних частот -го порядка равен абсолютному значению передаточной функции ${\displaystyle H_{n}(s)}$ оценивается в ${\displaystyle s=j\omega }$:

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}}$

куда ${\displaystyle \varepsilon }$ коэффициент пульсации, ${\displaystyle \omega _{0}}$ это частота среза и ${\displaystyle T_{n}}$ это Полином Чебышева из ${\displaystyle n}$-й заказ.

Полоса пропускания демонстрирует равноволновое поведение, при этом пульсация определяется коэффициентом пульсации. ${\displaystyle \varepsilon }$. В полосе пропускания полином Чебышева чередуется между -1 и 1, поэтому усиление фильтра чередуется между максимумами на грамм = 1 и минимумов при ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$.

Таким образом, коэффициент пульсации ε связан с пульсацией полосы пропускания δ в децибелы к:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.}$

На частоте среза ${\displaystyle \omega _{0}}$ усиление снова имеет значение ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$ но продолжает падать в полоса задерживания по мере увеличения частоты. Это поведение показано на диаграмме справа. Обычная практика определения частоты среза на −3 дБ обычно не применяется к фильтрам Чебышева; вместо этого отсечка принимается как точка, в которой усиление падает до значения пульсации в последний раз.

Частота 3 дБ ω_ЧАС относится к ω₀ к:

${\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

Порядок фильтра Чебышева равен количеству реактивный компоненты (например, индукторы ), необходимого для реализации фильтра с использованием аналоговая электроника.

Еще круче скатывание можно получить, если в полосе задерживания разрешена пульсация, разрешив нули на ${\displaystyle j\omega }$-ось в комплексной плоскости. Однако это приводит к меньшему подавлению в полосе задерживания. Результат называется эллиптический фильтр, также известный как фильтр Кауэра.

Полюсы и нули

Логарифм абсолютного значения усиления фильтра Чебышева типа I 8-го порядка в комплексное частотное пространство (s = σ + jω) с ε = 0,1 и ${\displaystyle \omega _{0}=1}$. Белые пятна являются полюсами и расположены на эллипсе с полуосью 0,3836 ... по σ и 1,071 ... по ω. Полюса передаточной функции - это полюсы в левой полуплоскости. Черный соответствует коэффициенту усиления 0,05 или меньше, белый - коэффициенту 20 или более.

Для простоты предполагается, что частота среза равна единице. Полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ функции усиления фильтра Чебышева - нули знаменателя функции усиления. Использование комплексной частоты s, это происходит, когда:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,}$

Определение ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$ и, используя тригонометрическое определение полиномов Чебышева, получаем:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,}$

Решение для ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$

где несколько значений функции арккосинуса сделаны явными с использованием целочисленного индекса м. Полюсы функции усиления Чебышева тогда:

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).}$

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, это можно записать в явно сложной форме:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

куда м = 1, 2,..., п и

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.}$

Это можно рассматривать как параметрическое уравнение в ${\displaystyle \theta _{n}}$ и это показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-Космос сосредоточен на s = 0 с действительной полуосью длины ${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ и воображаемой полуоси длиной ${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).}$

Передаточная функция

Вышеприведенное выражение дает полюса усиления грамм. Для каждого комплексного полюса есть еще один, который является комплексно сопряженным, и для каждой сопряженной пары есть еще два, которые являются отрицательными для пары. В функция передачи должен быть стабильным, чтобы его полюса были полюсами усиления, которые имеют отрицательные действительные части и, следовательно, лежат в левой полуплоскости комплексного частотного пространства. Тогда передаточная функция определяется выражением

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}}$

куда ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$ - это только те полюса усиления с отрицательным знаком перед действительным членом в приведенном выше уравнении для полюсов.

Групповая задержка

Коэффициент усиления и групповая задержка фильтра Чебышева I типа пятого порядка с ε = 0,5.

В групповая задержка определяется как производная фазы по угловой частоте и является мерой искажения сигнала, вносимого разностью фаз для разных частот.

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

Коэффициент усиления и групповая задержка для фильтра Чебышева пятого порядка типа I с ε = 0,5 показаны на графике слева. Можно видеть, что есть колебания в усилении и групповой задержке в полосе пропускания, но не в полосе задерживания.

Фильтры Чебышева II типа (обратные фильтры Чебышева)

АЧХ фильтра нижних частот Чебышева второго порядка пятого порядка с ${\displaystyle \varepsilon =0.01}$

Также известный как обратные фильтры Чебышева, тип фильтра Чебышева II типа встречается реже, потому что он не спадает так быстро, как тип I, и требует большего количества компонентов. У него нет пульсации в полосе пропускания, но есть равномерный в полосе задерживания. Прирост составляет:

${\displaystyle G_{n}(\omega ,\omega _{0})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}.}$

В полосе задерживания полином Чебышева колеблется между -1 и 1, так что коэффициент усиления будет колебаться между нулем и

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

а наименьшая частота, при которой достигается этот максимум, является частотой среза ${\displaystyle \omega _{o}}$. Таким образом, параметр ε связан с полоса задерживания затухание γ в децибелы к:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.}$

Для затухания в полосе задерживания 5 дБ ε = 0,6801; для затухания 10 дБ ε = 0,3333. Частота ж₀ = ω₀/2π - частота среза. Частота 3 дБ ж_ЧАС относится к ж₀ к:

${\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.}$

Полюсы и нули

Логарифм абсолютного значения усиления фильтра Чебышева типа II 8-го порядка в комплексном частотном пространстве (s = σ + jω) с ε = 0,1 и ${\displaystyle \omega _{0}=1}$. Белые пятна - полюсы, а черные - нули. Показаны все 16 полюсов. Каждый ноль имеет кратность два, при этом показано 12 нулей, четыре расположены за пределами изображения, два на положительной оси ω и два на отрицательной. Полюса передаточной функции - это полюсы на левой полуплоскости, а нули передаточной функции - это нули, но с кратностью 1. Черный цвет соответствует коэффициенту усиления 0,05 или меньше, белый цвет соответствует коэффициенту усиления 20 или более.

Полагая, что частота среза равна единице, полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ коэффициента усиления фильтра Чебышева - нули знаменателя коэффициента усиления:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

Полюса усиления фильтра Чебышева типа II являются обратными полюсам фильтра типа I:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

куда м = 1, 2, ..., п . Нули ${\displaystyle (\omega _{zm})}$ фильтра Чебышева II типа - нули числителя коэффициента усиления:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,}$

Таким образом, нули фильтра Чебышева типа II являются обратными нулям многочлена Чебышева.

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$

за м = 1, 2, ..., п. 

Передаточная функция

Передаточная функция задается полюсами в левой полуплоскости функции усиления и имеет те же нули, но эти нули являются одиночными, а не двойными нулями.

Групповая задержка

Коэффициент усиления и групповая задержка фильтра Чебышева второго порядка пятого порядка с ε = 0.1.

Коэффициент усиления и групповая задержка для фильтра Чебышева пятого порядка типа II с ε = 0,1 показаны на графике слева. Можно видеть, что есть колебания в усилении в полосе задерживания, но не в полосе пропускания.

Выполнение

Топология Кауэра

Пассивный ЛК Чебышев фильтр нижних частот может быть реализовано с использованием Топология Кауэра. Значения индуктивности или конденсатора чебышевского n-го порядка прототип фильтра можно рассчитать по следующим уравнениям:^[1]

${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}}{\gamma }}}$

${\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}}},\qquad k=2,3,4,\dots ,n}$

${\displaystyle G_{n+1}={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ odd}}\\\coth ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even}}\end{cases}}}$

грамм₁, ГРАММ_k - значения конденсатора или элемента индуктивности. f_ЧАС, частота 3 дБ рассчитывается с помощью: ${\displaystyle f_{H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$

Коэффициенты А, γ, β, А_k, и B_k можно рассчитать по следующим уравнениям:

${\displaystyle \gamma =\sinh \left({\frac {\beta }{2n}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]}$

${\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}},\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

куда ${\displaystyle \delta }$ - пульсация полосы пропускания в децибелах. ${\displaystyle 17.37}$ округляется от точного значения ${\displaystyle 40/\ln(10)}$.

Фильтр нижних частот с использованием топологии Кауэра

Расчетный грамм_k значения затем могут быть преобразованы в шунт конденсаторы и серии индукторы, как показано справа, или они могут быть преобразованы в последовательные конденсаторы и шунтирующие индукторы. Например,

• C_{1 шунт} = G₁, L_{2 серии} = грамм₂, ...

или же

• L_{1 шунт} = грамм₁, C_{1 серия} = грамм₂, ...

Обратите внимание, что когда G₁ - шунтирующий конденсатор или последовательный индуктор, G₀ соответствует входному сопротивлению или проводимости соответственно. То же соотношение верно и для G_{п + 1} и G_п. Результирующая схема представляет собой нормализованный фильтр нижних частот. С помощью частотные преобразования и масштабирование импеданса, нормализованный фильтр нижних частот можно преобразовать в высокая частота, полоса пропускания, и остановка фильтры любого желаемого частота среза или же пропускная способность.

Цифровой

Как и большинство аналоговых фильтров, Чебышев может быть преобразован в цифровой (с дискретным временем) рекурсивный форма через билинейное преобразование. Однако, как цифровые фильтры имеют конечную полосу пропускания, форма отклика преобразованного Чебышева равна искривленный. В качестве альтернативы Метод согласованного Z-преобразования может использоваться, что не искажает ответ.

Сравнение с другими линейными фильтрами

На следующем рисунке показаны фильтры Чебышева рядом с другими распространенными типами фильтров, полученными с тем же числом коэффициентов (пятый порядок):

Фильтры Чебышева резче, чем Фильтр Баттерворта; они не такие острые, как эллиптический, но они показывают меньше колебаний по полосе пропускания.

Смотрите также

Дизайн фильтра

• Фильтр Бесселя
• Гребенчатый фильтр
• Эллиптический фильтр
• Чебышевские узлы
• Полином Чебышева

Примечания

Рекомендации

1. Matthaei et. al (1980), стр.99

• Вайнберг, Луи; Слепян, Пол (июнь 1960). «Результаты Такахаси на лестничных сетях Чебышева и Баттерворта». IRE-транзакции по теории цепей. 7 (2): 88–101. Дои:10.1109 / TCT.1960.1086643.
• Дэниэлс, Ричард В. (1974). Методы приближения для проектирования электронных фильтров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-015308-6.
• Уильямс, Артур Б .; Тейлорс, Фред Дж. (1988). Справочник по проектированию электронных фильтров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-070434-1.
• Matthaei, George L .; Янг, Лев; Джонс, Э. М. Т. (1980). Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи. Норвуд, Массачусетс: Artech House. ISBN  0-89-006099-1.
• Лутовац, Мирослав Д. и др .: Дизайн фильтров для обработки сигналов, Прентис Холл (2001).