Индуктор - Inductor

Для индукторов, магнитные свойства которых имеют значение, а не электрические, см. электромагнит.

Индуктор

Выбор недорогих катушек индуктивности
Тип	Пассивный
Принцип работы	Электромагнитная индукция
Первое производство	Майкл Фарадей (1831)
Электронный символ

An индуктор, также называемый катушка, удушение, или же реактор, это пассивный двухконечный электрический компонент хранит энергию в магнитное поле когда электрический ток протекает через него.^[1] Индуктор обычно состоит из изолированного провода, намотанного на катушка.

Когда ток, протекающий через катушку, изменяется, изменяющееся во времени магнитное поле индуцирует электродвижущая сила (э.м.ф.) (Напряжение ) в проводнике, описываемом Закон индукции Фарадея. В соответствии с Закон Ленца, индуцированное напряжение имеет полярность (направление), которая противодействует изменению тока, который его создал. В результате катушки индуктивности препятствуют любым изменениям тока через них.

Катушка индуктивности характеризуется индуктивность, который представляет собой отношение напряжения к скорости изменения тока. в Международная система единиц (СИ) единицей индуктивности является Генри (H) назван в честь американского ученого 19 века. Джозеф Генри. При измерении магнитных цепей это эквивалентно Вебер /ампер. Катушки индуктивности обычно имеют значения от 1 мкГн (10⁻⁶ H) до 20 H. Многие индукторы имеют магнитный сердечник из железа или феррит внутри катушки, которая служит для увеличения магнитного поля и, следовательно, индуктивности. Вместе с конденсаторы и резисторы, индукторы являются одним из трех пассивных линейный элементы схемы которые составляют электронные схемы. Индукторы широко используются в переменный ток (AC) электронное оборудование, особенно в радио оборудование. Они используются для блокировки переменного тока, позволяя проходить постоянному току; индукторы, предназначенные для этой цели, называются задыхается. Они также используются в электронные фильтры для разделения сигналов разных частоты, а в сочетании с конденсаторами сделать настроенные схемы, используется для настройки радио и ТВ-приемников.

Описание

Электрический ток, протекающий через дирижер создает вокруг себя магнитное поле. В магнитная связь ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}$ генерируется заданным током ${\displaystyle I}$ зависит от геометрической формы контура. Их соотношение определяет индуктивность ${\displaystyle L}$.^[2][3][4][5] Таким образом

${\displaystyle L:={\frac {\Phi _{\mathbf {B} }}{I}}}$.

Индуктивность цепи зависит от геометрии пути тока, а также от магнитная проницаемость близлежащих материалов. Индуктор - это компонент состоящий из провода или другого проводника, имеющего форму для увеличения магнитного потока через цепь, обычно в форме катушки или спираль. Намотывая провод в катушка увеличивает количество раз магнитный поток линии соединить цепь, увеличивая поле и, следовательно, индуктивность. Чем больше витков, тем выше индуктивность. Индуктивность также зависит от формы катушки, расстояния между витками и многих других факторов. Добавив «магнитный сердечник» из ферромагнитный материала, такого как железо внутри катушки, намагничивающее поле катушки будет индуцировать намагничивание в материале, увеличивая магнитный поток. Высота проницаемость ферромагнитного сердечника может увеличить индуктивность катушки в несколько тысяч раз по сравнению с тем, что было бы без него.

Материальное уравнение

Любое изменение тока через катушку индуктивности создает изменяющийся поток, вызывая напряжение на катушке индуктивности. К Закон индукции Фарадея, напряжение, индуцированное любым изменением магнитного потока в цепи, определяется выражением^[5]

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}.}$

Переформулировка определения L выше, получаем^[5]

${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }=LI.}$

Следует, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}(LI)=-L{\frac {dI}{dt}}.}$

за L независимо от времени.

Таким образом, индуктивность также является мерой количества электродвижущая сила (напряжение), генерируемое при заданной скорости изменения тока. Например, катушка индуктивности с индуктивностью 1 генри создает ЭДС в 1 вольт, когда ток через индуктор изменяется со скоростью 1 ампер в секунду. Обычно это считается учредительное отношение (определяющее уравнение) индуктора.

В двойной индуктора конденсатор, который хранит энергию в электрическом поле а не магнитное поле. Его отношение тока к напряжению получается путем замены тока и напряжения в уравнениях индуктора и замены L с емкостью C.

Эквивалентность схемы при краткосрочном и долгосрочном ограничении

В цепи катушка индуктивности может вести себя по-разному в разный момент времени. Однако обычно легко думать о краткосрочном и долгосрочном ограничениях:

• В долговременном пределе, после того как магнитный поток через индуктор стабилизируется, между двумя сторонами индуктора не будет индуцироваться напряжение; Следовательно, долговременным эквивалентом индуктора является провод (то есть короткое замыкание или батарея 0 В).
• В кратковременном ограничении, если индуктор запускается с определенным током I, поскольку ток через индуктор известен в этот момент, мы можем заменить его идеальным источником тока с током I. В частности, если I = 0 (нет ток проходит через катушку индуктивности в начальный момент), кратковременным эквивалентом индуктора является разомкнутая цепь (то есть источник тока 0 А).

Закон Ленца

Основная статья: Закон Ленца

Полярность (направление) индуцированного напряжения определяется выражением Закон Ленца, в котором говорится, что индуцированное напряжение будет таким, чтобы противодействовать изменению тока.^[6] Например, если ток через катушку индуктивности увеличивается, индуцированное напряжение будет положительным в точке входа тока и отрицательным в точке выхода, стремясь противодействовать дополнительному току.^[7][8][9] Энергия от внешней цепи, необходимая для преодоления этого потенциального «холма», сохраняется в магнитном поле индуктора. Если ток уменьшается, индуцированное напряжение будет отрицательным в точке входа тока и положительным в точке выхода, стремясь поддерживать ток. В этом случае энергия магнитного поля возвращается в контур.

Энергия, хранящаяся в индукторе

Одно интуитивное объяснение того, почему возникает разность потенциалов при изменении тока в катушке индуктивности, выглядит следующим образом:

Когда происходит изменение тока через индуктор, изменяется сила магнитного поля. Например, если ток увеличивается, магнитное поле увеличивается. Однако за это приходится платить. Магнитное поле содержит потенциальная энергия, а увеличение напряженности поля требует, чтобы в поле запасалось больше энергии. Эта энергия поступает от электрического тока через индуктор. Увеличение магнитной потенциальной энергии поля обеспечивается соответствующим падением электрической потенциальной энергии зарядов, протекающих по обмоткам. Это проявляется как падение напряжения на обмотках до тех пор, пока увеличивается ток. Как только ток больше не увеличивается и остается постоянным, энергия в магнитном поле становится постоянной и не требуется дополнительной энергии, поэтому падение напряжения на обмотках исчезает.

Точно так же, если ток через индуктор уменьшается, напряженность магнитного поля уменьшается, а энергия в магнитном поле уменьшается. Эта энергия возвращается в схему в виде увеличения электрической потенциальной энергии движущихся зарядов, вызывая повышение напряжения на обмотках.

Вывод

В работай на единицу заряда на зарядах, проходящих через индуктор, составляет ${\displaystyle -{\mathcal {E}}}$. Знак минус говорит о том, что работа сделана против ЭДС, и не делается к ЭДС. Электрический ток ${\displaystyle I}$ - заряд в единицу времени, проходящий через индуктор. Поэтому темп работы ${\displaystyle W}$ заряды против ЭДС, то есть скорость изменения энергии тока, определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=-{\mathcal {E}}I}$

Из основного уравнения индуктора ${\displaystyle -{\mathcal {E}}=L{\frac {dI}{dt}}}$ так

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=L{\frac {dI}{dt}}\cdot I=LI\cdot {\frac {dI}{dt}}}$

${\displaystyle dW=LI\cdot dI}$

В индукторе с ферромагнитным сердечником, когда магнитное поле приближается к уровню, при котором сердечник насыщается, индуктивность начинает изменяться, она будет функцией тока. ${\displaystyle L(I)}$. Без учета потерь энергия ${\displaystyle W}$ хранится индуктором с током ${\displaystyle I_{0}}$ прохождение через него равно количеству работы, необходимой для установления тока через индуктор.

Это дает:${\displaystyle W=\int _{0}^{I_{0}}L_{d}(I)\,I\,dI}$, куда ${\displaystyle L_{d}(I)}$ это так называемая «дифференциальная индуктивность» и определяется как: ${\displaystyle L_{d}={\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dI}}}$. В катушке индуктивности с воздушным сердечником или катушке индуктивности с ферромагнитным сердечником ниже насыщения индуктивность постоянна (и равна дифференциальной индуктивности), поэтому запасенная энергия равна

${\displaystyle {\begin{aligned}W&=L\int _{0}^{I_{0}}I\,dI\\W&={\frac {1}{2}}L{I_{0}}^{2}\end{aligned}}}$

Для индукторов с магнитными сердечниками приведенное выше уравнение действительно только для линейный области магнитного потока, при токах ниже насыщенность уровень индуктивности, где индуктивность примерно постоянна. Если это не так, интегральная форма должна использоваться с ${\displaystyle L_{d}}$ Переменная.

Идеальные и настоящие индукторы

В конститутивное уравнение описывает поведение идеальный индуктор с индуктивностью ${\displaystyle L}$, и без сопротивление, емкость, или рассеяние энергии. На практике индукторы не следуют этой теоретической модели; настоящие индукторы имеют измеримое сопротивление из-за сопротивления провода и потерь энергии в сердечнике, и паразитная емкость из-за электрических потенциалов между витками провода.^[10][11]

Настоящий индуктор емкостное сопротивление растет с частотой, и на определенной частоте индуктор будет вести себя как резонансный контур. Выше этого собственная резонансная частота, емкостное реактивное сопротивление является доминирующей частью импеданса катушки индуктивности. На более высоких частотах резистивные потери в обмотках увеличиваются из-за скин эффект и эффект близости.

Индукторы с ферромагнитными сердечниками испытывают дополнительные потери энергии из-за гистерезис и вихревые токи в ядре, которые увеличиваются с частотой. При больших токах индукторы с магнитным сердечником также демонстрируют внезапное отклонение от идеального поведения из-за нелинейности, вызванной магнитное насыщение ядра.

Индукторы излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство и могут поглощать электромагнитное излучение от других цепей, что может электромагнитная интерференция.

Раннее твердотельное электрическое коммутационное и усилительное устройство, названное насыщаемый реактор использует насыщение сердечника как средство прекращения индуктивной передачи тока через сердечник.

Q фактор

Сопротивление обмотки отображается как сопротивление, включенное последовательно с индуктором; это называется DCR (сопротивление постоянному току). Это сопротивление рассеивает часть реактивной энергии. В фактор качества (или же Q) индуктора - это отношение его индуктивного реактивного сопротивления к сопротивлению на заданной частоте и является мерой его эффективности. Чем выше добротность индуктора, тем ближе он к поведению идеального индуктора. Индукторы с высокой добротностью используются с конденсаторами для создания резонансных цепей в радиопередатчиках и приемниках. Чем выше Q, тем уже пропускная способность резонансного контура.

Добротность катушки индуктивности определяется как, где L индуктивность, р это DCR, а произведение ωL индуктивное сопротивление:

${\displaystyle Q={\frac {\omega L}{R}}}$

Q линейно возрастает с частотой, если L и р постоянны. Хотя они постоянны на низких частотах, параметры меняются с частотой. Например, скин-эффект, эффект близости, и потери в сердечнике увеличиваются р с частотой; емкость обмотки и изменение проницаемость с частотным воздействием L.

На низких частотах и ​​в пределах, увеличивая количество витков N улучшается Q потому что L изменяется как N² пока р изменяется линейно с N. Аналогично увеличиваем радиус р индуктивности улучшается (или увеличивается) Q потому что L изменяется как р² пока р изменяется линейно с р. Так высоко Q Индукторы с воздушным сердечником часто имеют большой диаметр и много витков. Оба этих примера предполагают, что диаметр проволоки остается неизменным, поэтому в обоих примерах используется пропорционально больше проволоки. Если общая масса проволоки остается постоянной, тогда не будет преимуществ в увеличении количества витков или радиуса витков, потому что проволока должна быть пропорционально тоньше.

Использование высокой проницаемости ферромагнитный сердечник может значительно увеличить индуктивность для того же количества меди, поэтому сердечник также может увеличить добротность. Однако сердечники также вносят потери, которые увеличиваются с частотой. Материал сердечника выбран для получения наилучших результатов для диапазона частот. Индукторы с высокой добротностью не должны допускать насыщения; один из способов - использовать индуктор с воздушным сердечником (физически большего размера). В УКВ или более высоких частот может использоваться воздушный сердечник. Хорошая конструкция индуктора с воздушным сердечником может иметь добротность в несколько сотен.

Приложения

Пример фильтрации сигнала. В этой конфигурации катушка индуктивности блокирует переменный ток, позволяя проходить постоянному току.

Пример фильтрации сигнала. В этой конфигурации индуктор разъединяет Постоянный ток, позволяя проходить переменному току.

Индукторы широко используются в аналоговые схемы и обработка сигналов. Применения варьируются от использования больших индукторов в источниках питания, которые в сочетании с фильтром конденсаторы удалять рябь которая кратна частоте сети (или частоте переключения для импульсных источников питания) от выхода постоянного тока до небольшой индуктивности ферритовый шарик или же тор установлен вокруг кабеля для предотвращения радиопомехи от передачи по проводам. Индукторы используются в качестве накопителя энергии во многих импульсные источники питания для производства постоянного тока. Катушка индуктивности подает энергию в схему для поддержания протекания тока во время периодов переключения «выключено» и позволяет создавать топографии, где выходное напряжение выше входного.

А настроенная схема, состоящий из индуктора, подключенного к конденсатор, действует как резонатор для переменного тока. Настроенные схемы широко используются в радиочастота оборудование, такое как радиопередатчики и приемники, как узкие полосовые фильтры для выбора одной частоты из составного сигнала, а в электронные генераторы для генерации синусоидальных сигналов.

Две (или более) катушки индуктивности в непосредственной близости, которые имеют связанный магнитный поток (взаимная индуктивность ) образуют трансформатор, который является основным компонентом любого электрического полезность Энергосистема. Эффективность трансформатора может снизиться с увеличением частоты из-за вихревых токов в материале сердечника и скин-эффекта на обмотки. Размер ядра можно уменьшить на более высоких частотах. По этой причине в самолетах используется переменный ток с частотой 400 Гц, а не обычные 50 или 60 Гц, что позволяет значительно снизить вес за счет использования трансформаторов меньшего размера.^[12] Трансформаторы позволяют использовать импульсные источники питания, которые изолируют выход от входа.

Индукторы также используются в системах электропередачи, где они используются для ограничения коммутируемых токов и токи повреждения. В этой области их чаще называют реакторами.

Индукторы имеют паразитные эффекты, которые заставляют их отклоняться от идеального поведения. Они создают и страдают от электромагнитная интерференция (EMI). Их физический размер не позволяет интегрировать их в полупроводниковые микросхемы. Таким образом, использование индукторов в современных электронных устройствах, особенно в компактных портативных устройствах, сокращается. Настоящие индукторы все чаще заменяются активными цепями, такими как гиратор которые могут синтезировать индуктивность с использованием конденсаторов.

Конструкция индуктора

Индуктор с ферритовым сердечником и двумя обмотками по 20 мГн.

А ферритовая «бусинка» удушение, состоящий из окружающего феррит цилиндр, подавляет электронный шум в шнуре питания компьютера.

Большой 50 Мвар трехфазный индуктор нагрузки с железным сердечником на подстанции

Индуктор обычно состоит из катушки из проводящего материала, обычно изолированной. медная проволока, обернутый вокруг основной либо из пластика (для создания индуктора с воздушным сердечником), либо из ферромагнитный (или же ферримагнитный ) материал; последний называется индуктором с «железным сердечником». Высота проницаемость ферромагнитного сердечника увеличивает магнитное поле и ограничивает его плотностью к катушке индуктивности, тем самым увеличивая индуктивность. Низкочастотные индукторы сконструированы как трансформаторы с сердечниками из электротехническая сталь ламинированный предотвращать вихревые токи. 'Мягкий' ферриты широко используются для ядер выше звуковые частоты, поскольку они не вызывают больших потерь энергии на высоких частотах, как обычные сплавы железа. Индукторы бывают разных форм. Некоторые индукторы имеют регулируемый сердечник, который позволяет изменять индуктивность. Индукторы, используемые для блокировки очень высоких частот, иногда изготавливают путем нанизывания ферритовой бусины на провод.

Небольшие индукторы можно выгравировать прямо на печатная плата выложив след в спираль шаблон. Некоторые такие плоские индукторы используют плоское ядро. Небольшие индукторы также могут быть построены на интегральные схемы используя те же процессы, которые используются для изготовления соединяет. Алюминиевый межблочный переходник обычно используется в виде спиральной спирали. Однако небольшие размеры ограничивают индуктивность, и гораздо чаще используется цепь, называемая гиратор который использует конденсатор а активные компоненты ведут себя аналогично катушке индуктивности. Независимо от конструкции, из-за низкой индуктивности и малой мощности, рассеиваемой на кристалле, индукторы в настоящее время коммерчески используются только для высокочастотных РЧ-цепей.

Экранированные индукторы

Катушки индуктивности, используемые в системах регулирования мощности, освещении и других системах, которые требуют условий работы с низким уровнем шума, часто частично или полностью экранированы.^[13][14] В телекоммуникации схемы, использующие индукционные катушки и повторяющиеся трансформаторы, экранирование индукторов в непосредственной близости снижает перекрестные помехи в цепях.

Типы

Индуктор с воздушным сердечником

An настройка антенны катушка на AM-радиостанции. Это демонстрирует высокую мощность высокий Q конструкция: однослойная обмотка с разнесенными витками для уменьшения эффект близости потери, изготовлены из посеребренной трубки для уменьшения скин эффект потери, поддерживаемые узкими изоляционными полосами для уменьшения диэлектрические потери.

Период, термин катушка с воздушным сердечником описывает катушку индуктивности, в которой не используется магнитный сердечник изготовлен из ферромагнитного материала. Этот термин относится к катушкам, намотанным на пластмассовые, керамические или другие немагнитные формы, а также к катушкам, внутри обмоток которых находится только воздух. Катушки с воздушным сердечником имеют более низкую индуктивность, чем катушки с ферромагнитным сердечником, но часто используются на высоких частотах, потому что они свободны от потерь энергии, называемых потери в сердечнике которые возникают в ферромагнитных сердечниках и увеличиваются с увеличением частоты. Побочный эффект, который может возникнуть в катушках с воздушным сердечником, в которых обмотка не имеет жесткой опоры на форму, - это «микрофония»: механическая вибрация обмоток может вызывать изменения индуктивности.

Радиочастотный индуктор

Коллекция РЧ-индукторов, демонстрирующая методы снижения потерь. Три верхних левых и ферритовая петля или стержневая антенна,^{[15][16][17][18]} снизу, имеют обмотки корзины.

В высокие частоты, особенно радиочастоты (RF) индукторы имеют более высокое сопротивление и другие потери. Помимо потери мощности, в резонансные контуры это может уменьшить Добротность схемы, расширяя пропускная способность. В ВЧ-индукторах, которые в основном представляют собой типы с воздушным сердечником, используются специальные методы изготовления, чтобы минимизировать эти потери. Потери возникают из-за следующих эффектов:

Эффект кожи

Сопротивление провода к высокая частота ток выше, чем его сопротивление постоянный ток потому что скин эффект. Радиочастотный переменный ток не проникает глубоко в тело проводника, а проходит по его поверхности. Например, на частоте 6 МГц глубина скин-слоя медного провода составляет около 0,001 дюйма (25 мкм); большая часть тока находится на этой глубине поверхности. Следовательно, в сплошном проводе внутренняя часть провода может пропускать небольшой ток, эффективно увеличивая его сопротивление.

Эффект близости

Другой подобный эффект, который также увеличивает сопротивление провода на высоких частотах, - это эффект близости, который возникает в параллельных проводах, лежащих близко друг к другу. Индивидуальное магнитное поле соседних витков наводит вихревые токи в проводе катушки, что заставляет ток в проводнике концентрироваться в тонкой полосе на стороне рядом с соседним проводом. Подобно скин-эффекту, это уменьшает эффективную площадь поперечного сечения провода, проводящего ток, увеличивая его сопротивление.

Диэлектрические потери

Высокочастотное электрическое поле вблизи проводников в бак Катушка может вызывать движение полярных молекул в соседних изоляционных материалах, рассеивая энергию в виде тепла. Поэтому катушки, используемые для настроенных схем, часто не наматываются на формы катушек, а подвешиваются в воздухе, поддерживая узкими пластиковыми или керамическими полосками.

Паразитная емкость

Емкость между отдельными витками провода катушки, называемая паразитная емкость, не вызывает потерь энергии, но может изменить поведение катушки. Каждый виток катушки имеет немного другой потенциал, поэтому электрическое поле между соседними витками накапливает заряд на проводе, поэтому катушка действует так, как если бы она имела параллельно ей конденсатор. На достаточно высокой частоте эта емкость может резонировать с индуктивностью катушки, образующей настроенная схема, заставляя катушку стать саморезонансный.

Катушка резервуара High Q в коротковолновом передатчике

(оставили) Катушка паутины (верно) Регулируемая ферритовая радиочастотная катушка с пулевидной настройкой, обмоткой из плетеного плетения и проволокой

Чтобы уменьшить паразитную емкость и эффект близости, высокий Q РЧ-катушки сконструированы таким образом, чтобы не было большого количества витков, лежащих близко друг к другу, параллельно друг другу. Обмотки РЧ-катушек часто ограничиваются одним слоем, а витки разнесены друг от друга. Чтобы уменьшить сопротивление из-за скин-эффекта, в мощных индукторах, таких как те, которые используются в передатчиках, обмотки иногда изготавливаются из металлической полосы или трубки, которая имеет большую площадь поверхности, и поверхность покрывается серебром.

Бухты корзиночного переплетения

Чтобы уменьшить эффект близости и паразитную емкость, многослойные РЧ-катушки намотаны по схеме, в которой последовательные витки не параллельны, а перекрещиваются под углом; их часто называют соты или же корзиночное плетение катушки. Иногда их наматывают на вертикальные изолирующие опоры с помощью дюбелей или пазов, при этом проволока вплетается и выходит через пазы.

Катушки паутины

Еще одна строительная техника с аналогичными преимуществами - плоские спиральные катушки. Их часто наматывают на плоскую изолирующую опору с радиальными спицами или прорезями, при этом проволока вплетается и выходит через прорези; они называются паутина катушки. Форма имеет нечетное количество прорезей, поэтому последовательные витки спирали лежат на противоположных сторонах формы, увеличивая разделение.

Литц-проволока

Чтобы уменьшить потери на скин-эффект, некоторые катушки намотаны специальным радиочастотным проводом, который называется литц проволока. Вместо одного сплошного проводника литц-провод состоит из нескольких более мелких жил, по которым проходит ток. В отличие от обычных многожильный провод жилы изолированы друг от друга, чтобы ток на поверхность не передавался через скин-эффект, и скручены или сплетены вместе. Схема скрутки гарантирует, что каждая жила проводов одинаково длинна за пределами жгута проводов, поэтому скин-эффект распределяет ток равномерно между жилами, что приводит к большей площади поперечного сечения проводимости, чем у эквивалентного одиночного провода.

Осевой индуктор

Небольшие индукторы малой силы тока и мощности изготавливаются в литых корпусах, напоминающих резисторы. Это может быть простой (фенольный) сердечник или ферритовый сердечник. Омметр легко отличит их от резисторов аналогичного размера по низкому сопротивлению индуктора.

Индуктор с ферромагнитным сердечником

Смотрите также: Магнитный сердечник

Различные типы индукторов и трансформаторов с ферритовым сердечником

В индукторах с ферромагнитным или железным сердечником используется магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитный или же ферримагнитный материал, такой как железо или феррит для увеличения индуктивности. Магнитопровод может увеличить индуктивность катушки в несколько тысяч раз за счет увеличения магнитного поля из-за его более высокой магнитная проницаемость. Однако магнитные свойства материала сердечника вызывают несколько побочных эффектов, которые изменяют поведение индуктора и требуют специальной конструкции:

Основные потери

Изменяющийся во времени ток в ферромагнитном индукторе, который вызывает изменяющееся во времени магнитное поле в его сердечнике, вызывает потери энергии в материале сердечника, которые рассеиваются в виде тепла за счет двух процессов:

вихревые токи

Из Закон индукции Фарадея изменяющееся магнитное поле может вызвать циркуляцию электрического тока в проводящем металлическом сердечнике. Энергия этих токов рассеивается в виде тепла в сопротивление основного материала. Количество потерянной энергии увеличивается с увеличением площади внутри контура тока.

Гистерезис

Изменение или реверсирование магнитного поля в сердечнике также вызывает потери из-за движения крошечных магнитные домены он состоит из. Потери энергии пропорциональны площади петли гистерезиса на графике BH материала сердечника. Материалы с низким принуждение имеют узкие петли гистерезиса и, следовательно, низкие гистерезисные потери.

Потери в сердечнике нелинейны как по частоте магнитных колебаний, так и по плотности магнитного потока. Частота магнитных колебаний - это частота переменного тока в электрической цепи; Плотность магнитного потока соответствует току в электрической цепи. Магнитные колебания вызывают гистерезис, а плотность магнитного потока вызывает вихревые токи в сердечнике. Эти нелинейности отличаются от пороговой нелинейности насыщения. Потери в сердечнике можно приблизительно смоделировать с помощью Уравнение Штейнмеца. На низких частотах и ​​в ограниченном диапазоне частот (может быть, в 10 раз) потери в сердечнике можно рассматривать как линейную функцию частоты с минимальной ошибкой. Однако даже в звуковом диапазоне нелинейные эффекты индукторов магнитного сердечника заметны и вызывают беспокойство.

Насыщенность

Если ток через катушку магнитного сердечника достаточно велик, насыщает, индуктивность упадет, а ток резко возрастет. Это нелинейное пороговое явление, которое приводит к искажению сигнала. Например, звуковые сигналы может пострадать интермодуляционные искажения в насыщенных индукторах. Чтобы предотвратить это, в линейные цепи ток через индукторы с железным сердечником должен быть ограничен ниже уровня насыщения. Некоторые слоистые сердечники имеют для этой цели узкий воздушный зазор, а сердечники из порошкового железа имеют распределенный воздушный зазор. Это позволяет более высокий уровень магнитного потока и, следовательно, более высокие токи через индуктор до его насыщения.^[19]

Размагничивание точки Кюри

Если температура ферромагнитного или ферримагнитного сердечника повышается до заданного уровня, магнитные домены диссоциируют, и материал становится парамагнитным, больше не способным поддерживать магнитный поток. Индуктивность падает, а ток резко возрастает, аналогично тому, что происходит во время насыщения. Эффект обратим: когда температура опускается ниже точки Кюри, магнитный поток, возникающий в результате тока в электрической цепи, выравнивает магнитные области сердечника, и его магнитный поток восстанавливается. Точка Кюри ферромагнитных материалов (сплавов железа) довольно высока; железо самое высокое на 770 ° C. Однако для некоторых ферримагнетиков (керамические соединения железа - ферриты ) точка Кюри может быть близка к температуре окружающей среды (ниже 100 ° С).^{[нужна цитата ]}

Индуктор с ламинированным сердечником

Ламинированный железный сердечник балласт индуктор для металлогалогенная лампа

Низкочастотные индукторы часто изготавливают из ламинированные сердечники для предотвращения вихревых токов, используя конструкцию, аналогичную трансформаторы. Сердечник состоит из стопки тонких стальных листов или расслоения ориентированы параллельно полю, с изоляционным покрытием на поверхности. Изоляция предотвращает возникновение вихревых токов между листами, поэтому любые оставшиеся токи должны находиться в пределах площади поперечного сечения отдельных пластин, уменьшая площадь контура и тем самым значительно снижая потери энергии. Пластины изготовлены из низкопроводящей кремнистая сталь для дальнейшего снижения потерь на вихревые токи.

Индуктор с ферритовым сердечником

Основная статья: Ферритовый сердечник

Для более высоких частот индукторы изготавливаются с сердечниками из феррита. Феррит - это керамический ферримагнитный материал, который не проводит ток, поэтому вихревые токи не могут течь внутри него. Состав феррита xxFe₂О₄ где xx представляет собой различные металлы. Для сердечников индуктора мягкие ферриты используются, которые имеют низкую коэрцитивную силу и, следовательно, низкие гистерезисные потери.

Индуктор с сердечником из порошкового железа

Смотрите также: Карбонильное железо

Другой материал - железный порошок, цементированный связующим.

Индуктор с тороидальным сердечником

Основная статья: Тороидальные индукторы и трансформаторы

Тороидальный индуктор в блоке питания беспроводного роутера

В индукторе, намотанном на стержневой прямой сердечник, силовые линии магнитного поля выходящий из одного конца сердечника должен проходить через воздух, чтобы повторно войти в сердечник на другом конце. Это уменьшает поле, потому что большая часть пути магнитного поля проходит в воздухе, а не в материале сердечника с более высокой проницаемостью, и является источником электромагнитная интерференция. Более высокое магнитное поле и индуктивность может быть достигнуто за счет формирования сердечника в замкнутом магнитная цепь. Силовые линии магнитного поля образуют замкнутые петли внутри сердечника, не покидая его материала. Часто используется форма тороидальный или ферритовый сердечник в форме пончика. Из-за своей симметрии тороидальные сердечники позволяют минимуму магнитного потока выходить за пределы сердечника (называемого поток утечки ), поэтому они излучают меньше электромагнитных помех, чем другие формы. Катушки с тороидальным сердечником изготавливаются из различных материалов, в первую очередь из феррита, порошкового железа и ламинированных сердечников.^[20]

Переменный индуктор

(оставили) Индуктор с ферритовой пробкой с резьбой (видно вверху) который можно повернуть, чтобы вставить или вынуть из катушки, высотой 4,2 см. (верно) Вариометр, используемый в радиоприемниках в 1920-х годах.

"Роликовая катушка", регулируемый ВЧ-индуктор с воздушным сердечником, используемый в настроенные схемы радиопередатчиков. Один из контактов с катушкой представляет собой небольшое рифленое колесо, которое движется по проводу. Вращение вала вращает катушку, перемещая контактное колесо вверх или вниз по катушке, позволяя большему или меньшему количеству витков катушки войти в цепь, чтобы изменить индуктивность.

Вероятно, наиболее распространенный тип переменной индуктивности сегодня - это индуктор с подвижным ферритовым магнитным сердечником, который можно вставлять, ввинчивать или вынимать из катушки. Дальнейшее продвижение сердечника в катушку увеличивает проницаемость, увеличивая магнитное поле и индуктивность. Во многих индукторах, используемых в радиоприложениях (обычно менее 100 МГц), используются регулируемые сердечники для настройки таких индукторов на их желаемое значение, поскольку производственные процессы имеют определенные допуски (неточности). Иногда такие сердечники для частот выше 100 МГц изготавливаются из немагнитного материала с высокой проводимостью, такого как алюминий.^[21] Они уменьшают индуктивность, потому что магнитное поле должно их обходить.

Индукторы с воздушным сердечником могут использовать скользящие контакты или несколько отводов для увеличения или уменьшения количества витков, включенных в цепь, для изменения индуктивности. Тип, который часто использовался в прошлом, но в основном устаревший сегодня, имеет пружинный контакт, который может скользить по оголенной поверхности обмоток. Недостатком этого типа является то, что контакт обычно короткие замыкания один или несколько ходов. Эти витки действуют как однооборотный короткозамкнутый трансформатор. вторичная обмотка; индуцируемые в них большие токи вызывают потери мощности.

Типом бесступенчатого индуктора с воздушным сердечником является вариометр. Он состоит из двух катушек с одинаковым количеством витков, соединенных последовательно один внутри другого. Внутренняя катушка установлена ​​на валу, поэтому ее ось может поворачиваться относительно внешней катушки. Когда оси двух катушек коллинеарны, а магнитные поля направлены в одном направлении, поля складываются, и индуктивность становится максимальной. Когда внутренняя катушка повернута так, что ее ось находится под углом к ​​внешней, взаимная индуктивность между ними меньше, поэтому общая индуктивность меньше. Когда внутренняя катушка повернута на 180 °, так что катушки коллинеарны с их противоположными магнитными полями, два поля компенсируют друг друга, и индуктивность очень мала. Преимущество этого типа состоит в том, что он может плавно изменяться в широком диапазоне. Он используется в антенные тюнеры и схемы согласования для согласования низкочастотных передатчиков с их антеннами.

Другой метод управления индуктивностью без каких-либо движущихся частей требует дополнительной обмотки смещения постоянного тока, которая контролирует проницаемость легко насыщаемого материала сердечника. Видеть Магнитный усилитель.

Удушение

Радиодроссель СЧ или ВЧ на десятые доли ампера и дроссель ОВЧ с ферритовым шариком на несколько ампер.

А удушение представляет собой катушку индуктивности, разработанную специально для блокировки высокочастотного переменного тока (AC) в электрической цепи, позволяя проходить постоянным или низкочастотным сигналам. Поскольку катушка индуктивности оказывает сопротивление или «дросселирует» изменения тока, этот тип катушки индуктивности называется дросселем. Обычно он представляет собой катушку из изолированного провода, намотанного на магнитный сердечник, хотя некоторые из них состоят из бусинки из ферритового материала в форме пончика, нанизанной на провод. Как и другие катушки индуктивности, дроссели сопротивляются изменениям тока, протекающего через них, с возрастающей частотой. Разница между дросселями и другими индукторами состоит в том, что дроссели не требуют высокого напряжения. Добротность строительные методы, которые используются для уменьшения сопротивления в индукторах, используемых в настроенных схемах.

Анализ схемы

The effect of an inductor in a circuit is to oppose changes in current through it by developing a voltage across it proportional to the rate of change of the current. An ideal inductor would offer no resistance to a constant постоянный ток; however, only сверхпроводящий inductors have truly zero электрическое сопротивление.

The relationship between the time-varying voltage v(т) across an inductor with inductance L and the time-varying current я(т) passing through it is described by the дифференциальное уравнение:

${\displaystyle v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}}$

Когда есть синусоидальный переменный ток (AC) through an inductor, a sinusoidal voltage is induced. The amplitude of the voltage is proportional to the product of the amplitude (я_п) of the current and the frequency (ж) of the current.

${\displaystyle {\begin{aligned}i(t)&=I_{\mathrm {P} }\sin(\omega t)\\{\frac {di(t)}{dt}}&=I_{\mathrm {P} }\omega \cos(\omega t)\\v(t)&=LI_{\mathrm {P} }\omega \cos(\omega t)\end{aligned}}}$

In this situation, the фаза of the current lags that of the voltage by π/2 (90°). For sinusoids, as the voltage across the inductor goes to its maximum value, the current goes to zero, and as the voltage across the inductor goes to zero, the current through it goes to its maximum value.

If an inductor is connected to a direct current source with value я via a resistance р (at least the DCR of the inductor), and then the current source is short-circuited, the differential relationship above shows that the current through the inductor will discharge with an экспоненциальный спад:

${\displaystyle i(t)=Ie^{-{\frac {R}{L}}t}}$

Реактивность

The ratio of the peak voltage to the peak current in an inductor energised from an AC source is called the reactance and is denoted Икс_L.

${\displaystyle X_{\mathrm {L} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {\omega LI_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}}$

Таким образом,

${\displaystyle X_{\mathrm {L} }=\omega L}$

куда ω это угловая частота.

Reactance is measured in ohms but referred to as сопротивление rather than resistance; energy is stored in the magnetic field as current rises and discharged as current falls. Inductive reactance is proportional to frequency. At low frequency the reactance falls; at DC, the inductor behaves as a short circuit. As frequency increases the reactance increases and at a sufficiently high frequency the reactance approaches that of an open circuit.

Corner frequency

In filtering applications, with respect to a particular load impedance, an inductor has a corner frequency определяется как:

${\displaystyle f_{\mathrm {3\,dB} }={\frac {R}{2\pi L}}}$

Laplace circuit analysis (s-domain)

When using the Преобразование Лапласа in circuit analysis, the impedance of an ideal inductor with no initial current is represented in the s domain by:

${\displaystyle Z(s)=Ls\,}$

куда

${\displaystyle L}$ is the inductance, and

${\displaystyle s}$ is the complex frequency.

If the inductor does have initial current, it can be represented by:

• adding a voltage source in series with the inductor, having the value:

  ${\displaystyle LI_{0}\,}$

  куда

  ${\displaystyle L}$ is the inductance, and

  ${\displaystyle I_{0}}$ is the initial current in the inductor.

  (The source should have a polarity that is aligned with the initial current.)
• or by adding a current source in parallel with the inductor, having the value:

  ${\displaystyle {\frac {I_{0}}{s}}}$

  куда

  ${\displaystyle I_{0}}$ is the initial current in the inductor.

  ${\displaystyle s}$ is the complex frequency.

Inductor networks

Основная статья: Последовательные и параллельные схемы

Inductors in a parallel configuration each have the same potential difference (voltage). To find their total equivalent inductance (L_экв):

${\displaystyle {\frac {1}{L_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{L_{n}}}}$

The current through inductors in series stays the same, but the voltage across each inductor can be different. The sum of the potential differences (voltage) is equal to the total voltage. To find their total inductance:

${\displaystyle L_{\mathrm {eq} }=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}\,\!}$

These simple relationships hold true only when there is no mutual coupling of magnetic fields between individual inductors.

Mutual inductance

Mutual inductance occurs when the magnetic field of an inductor induces a magnetic field in an adjacent inductor. Mutual induction is the basis of transformer construction.M=(L1×L2)^(1/2)where M is the maximum mutual inductance possible between 2 inductors and L1 and L2 are the two inductors.In general M<=(L1×L2)^(1/2) as only a fraction of self flux is linked with the other. This fraction is called "Coefficient of flux linkage" or "Coefficient of coupling".K=M÷((L1×L2)^0.5)

Inductance formulas

Смотрите также: Inductance § Self-inductance of thin wire shapes

The table below lists some common simplified formulas for calculating the approximate inductance of several inductor constructions.

Строительство	Формула	Примечания
Cylindrical air-core coil[22]	${\displaystyle L=\mu _{0}KN^{2}{\frac {A}{\ell }}}$ L = inductance in henries (ЧАС) μ0 = проницаемость свободного пространства = 4${\displaystyle \pi }$ × 10^−7 H / м K = Nagaoka coefficient[22][а] N = number of turns А = area of cross-section of the coil in square metres (m^2) ℓ = length of coil in metres (m)	${\displaystyle K\approx 1}$ Calculation of Nagaoka’s coefficient (K) is complicated; normally it must be looked up from a table.[23]
Straight wire conductor[24]	${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ \ell \left(A\;-\;B\;+C\right)}$, куда: ${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left({\frac {\ell }{r}}+{\sqrt {\left({\frac {\ell }{r}}\right)^{2}+1}}\right)\\B&={\frac {1}{{\frac {r}{\ell }}+{\sqrt {1+\left({\frac {r}{\ell }}\right)^{2}}}}}\\C&={\frac {1}{4+r{\sqrt {{\frac {2}{\rho }}\omega \mu }}}}\end{aligned}}}$ L = inductance ℓ = cylinder length р = cylinder radius μ0 = permeability of free space = 4${\displaystyle \pi }$ × 10^−7 H / м μ = conductor permeability ρ = resistivity ω = phase rate ${\displaystyle {\tfrac {\mu _{0}}{2\pi }}}$ = 0.2 µH/m, exactly.	Exact if ω = 0, or if ω = ∞. Период, термин B subtracts rather than adds.
	${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ \ell \left[\ln \left({\frac {4\ell }{d}}\right)-1\right]}$ (когда d² ж ≫ 1 mm² MHz) ${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ \ell \left[\ln \left({\frac {4\ell }{d}}\right)-{\frac {3}{4}}\right]}$ (когда d² ж ≪ 1 mm² MHz) L = inductance (nH)[25][26] ℓ = length of conductor (mm) d = diameter of conductor (mm) ж = frequency ${\displaystyle {\tfrac {\mu _{0}}{2\pi }}}$ = 0.2 µH/m, exactly.	Requires ℓ > 100 d[27] For relative permeability μр = 1 (e.g., Cu или же Al ).
Small loop or very short coil[28]	${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}}{2\pi }}N^{2}\pi D\left[\ln \left({\frac {D}{d}}\right)+\left(\ln 8-2\right)\right]+{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{2\pi }}}\;{\frac {ND}{d}}{\sqrt {\frac {\mu _{\text{r}}}{2f\sigma }}}}$ L = inductance in the same units as μ0. D = Diameter of the coil (conductor center-to-center) d = diameter of the conductor N = number of turns ж = operating frequency (regular ж, нет ω) σ = specific conductivity of the coil conductor μр = relative permeability of the conductor Total conductor length ${\displaystyle \ell _{\text{c}}\approx N\pi D}$ should be roughly ​^1⁄10 wavelength or smaller.[29] Proximity effects are not included: edge-to-edge gap between turns should be 2×d или больше. ${\displaystyle {\tfrac {\mu _{0}}{2\pi }}}$ = 0.2 µH/m, exactly.	Дирижер μр should be as close to 1 as possible – медь или же алюминий rather than a magnetic or paramagnetic metal.
Medium or long air-core cylindrical coil[30]	${\displaystyle L={\frac {r^{2}N^{2}}{9r+10\ell }}}$ L = inductance (µH) р = outer radius of coil (in) ℓ = length of coil (in) N = number of turns	Requires cylinder length ℓ > 0.4 р: Length must be at least ​^1⁄5 of the diameter. Not applicable to single-loop antennas or very short, stubby coils.
Multilayer air-core coil[31]	${\displaystyle L={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {r^{2}N^{2}}{6r+9\ell +10d}}}$ L = inductance (µH) р = mean radius of coil (in) ℓ = physical length of coil winding (in) N = number of turns d = depth of coil (outer radius minus inner radius) (in)
Flat spiral air-core coil[32][33]	${\displaystyle L={\frac {r^{2}N^{2}}{20r+28d}}}$ L = inductance (µH) р = mean radius of coil (cm) N = number of turns d = depth of coil (outer radius minus inner radius) (cm)
	${\displaystyle L={\frac {r^{2}N^{2}}{8r+11d}}}$ L = inductance (µH) р = mean radius of coil (in) N = number of turns d = depth of coil (outer radius minus inner radius) (in)	Accurate to within 5 percent for d > 0.2 р.[34]
Toroidal core (circular cross-section)[35]	${\displaystyle L=0.01595N^{2}\left(D-{\sqrt {D^{2}-d^{2}}}\right)}$ L = inductance (µH) d = diameter of coil winding (in) N = number of turns D = 2 * radius of revolution (in)
	${\displaystyle L\approx 0.007975{d^{2}N^{2} \over D}}$ L = inductance (µH) d = diameter of coil winding (in) N = number of turns D = 2 * radius of revolution (in)	Approximation when d < 0.1 D
Toroidal core (rectangular cross-section)[34]	${\displaystyle L=0.00508N^{2}h\ln \left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)}$ L = inductance (µH) d1 = inside diameter of toroid (in) d2 = outside diameter of toroid (in) N = number of turns час = height of toroid (in)

Смотрите также

• Bellini–Tosi direction finder (radio goniometer)
• Кривая Ханна
• Индукционная катушка
• Induction cooking
• Индукционная петля
• LC-цепь
• Схема RLC
• Насыщаемый реактор – a type of adjustable inductor
• Соленоид
• Аккумулятор (энергия)

Примечания

1. Nagaoka’s coefficient (K) is approximately 1 for a coil which is much longer than its diameter and is tightly wound using small gauge wire (so that it approximates a current sheet).

Рекомендации

1. Alexander, Charles; Sadiku, Matthew. Fundamentals of Electric Circuits (3-е изд.). Макгроу-Хилл. п. 211.
2. Singh, Yaduvir (2011). Теория электромагнитного поля. Pearson Education India. п. 65. ISBN  978-8131760611.
3. Wadhwa, C. L. (2005). Electrical Power Systems. New Age International. п. 18. ISBN  978-8122417227.
4. Pelcovits, Robert A.; Josh Farkas (2007). Barron's AP Physics C. Образовательная серия Бэррона. п. 646. ISBN  978-0764137105.
5. Перселл, Эдвард М .; David J. Morin (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge Univ. Нажмите. п. 364. ISBN  978-1107014022.
6. Shamos, Morris H. (2012-10-16). Great Experiments in Physics: Firsthand Accounts from Galileo to Einstein. Курьерская корпорация. ISBN  9780486139623.
7. Schmitt, Ron (2002). Electromagnetics Explained: A Handbook for Wireless/ RF, EMC, and High-Speed Electronics. Эльзевир. С. 75–77. ISBN  978-0080505237.
8. Jaffe, Роберт Л .; Тейлор, Вашингтон (2018). The Physics of Energy. Cambridge Univ. Нажмите. п. 51. ISBN  978-1108547895.
9. Lerner, Lawrence S. (1997). Physics for Scientists and Engineers, Vol. 2. Jones and Bartlet Learning. п. 856. ISBN  978-0763704605.
10. Bowick, Christopher (2011). RF Circuit Design, 2nd Ed. Newnes. С. 7–8. ISBN  978-0080553429.
11. Кайзер, Кеннет Л. (2004). Справочник по электромагнитной совместимости. CRC Press. pp. 6.4–6.5. ISBN  978-0849320873.
12. "Aircraft electrical systems". Wonderquest.com. Получено 2010-09-24.
13. Ott, Henry W. (2011). Electromagnetic Compatibility Engineering. Джон Уайли и сыновья. п. 203. ISBN  978-1118210659.
14. Violette, Norman (2013). Справочник по электромагнитной совместимости. Springer. С. 515–516. ISBN  978-9401771443.
15. "An Unassuming Antenna – The Ferrite Loopstick". Radio Time Traveller. 23 января 2011 г.. Получено 5 марта, 2014.
16. Frost, Phil (December 23, 2013). "What's an appropriate core material for a loopstick antenna?". Amateur Radio beta. Stack Exchange, Inc. Получено 5 марта, 2014.
17. Poisel, Richard (2011). Антенные системы и приложения радиоэлектронной борьбы. Артек Хаус. п. 280. ISBN  978-1608074846.
18. Yadava, R. L. (2011). Антенна и распространение волн. PHI Learning Pvt. ООО п. 261. ISBN  978-8120342910.
19. "Inductors 101" (PDF). vishay. Получено 2010-09-24.
20. "Inductor and Magnetic Product Terminology" (PDF). Vishay Dale. Получено 2012-09-24.
21. "page with aluminum cores" (PDF). Coilcraft catalog. Получено 10 июля 2015.
22. Nagaoka, Hantaro (1909-05-06). "The Inductance Coefficients of Solenoids" (PDF). Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan. 27: 18. Получено 2011-11-10.
23. Kenneth L. Kaiser, Справочник по электромагнитной совместимости, п. 30.64, CRC Press, 2004 ISBN  0849320879.
24. Rosa, Edward B. (1908). "The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors" (PDF). Bulletin of the Bureau of Standards. 4 (2): 301–344. Дои:10.6028/bulletin.088.
25. Rosa 1908, equation (11a), subst. радиус ρ = d/2 and cgs единицы
26. Terman 1943, pp. 48–49, convert to natural logarithms and inches to mm.
27. Terman (1943, п. 48) states for ℓ < 100 d, включают d/2ℓ within the parentheses.
28. Burger, O. & Dvorský, M. (2015). Magnetic Loop Antenna. Ostrava, Czech Republic: EDUCA TV o.p.s.
29. Ценности ${\displaystyle \pi D}$ up to ​¹⁄₃ wavelength are feasible antennas, but for windings that long, this formula will be inaccurate.
30. ARRL Handbook, 66th Ed. American Radio Relay League (1989).
31. Wheeler, H.A. (Октябрь 1928 г.). "Simple Inductance Formulas for Radio Coils". Proceedings of the Institute of Radio Engineers. 16 (10): 1398. Дои:10.1109/JRPROC.1928.221309. S2CID  51638679.
32. For the second formula, Terman (1943, п. 58) which cites to Wheeler 1928.
33. "A Magnetic Elevator for Neutral Atoms into a 2D State-dependent Optical Lattice Experiment". Uni-Bonn. Получено 2017-08-15.
34. Terman 1943, п. 58
35. Terman 1943, п. 57

Источник

• Terman, Frederick (1943). Radio Engineers' Handbook. Макгроу-Хилл.

внешняя ссылка