Винт (простая машина) - Screw (simple machine)

Относительно винта как застежки см. винт. Для использования в других целях см. винт (значения).

Анимация, показывающая работу винта. При вращении винтового вала орех движется линейно по валу. Этот тип называется ходовой винт.

Машина, используемая в школах для демонстрации действия винта, с 1912 года. Она состоит из вала с резьбой, проходящего через резьбовое отверстие в стационарной опоре. Когда кривошип справа поворачивается, вал перемещается горизонтально через отверстие.

А винт это механизм, преобразующий вращающийся движение к линейное движение, а крутящий момент (вращательная сила) до линейной сила.^[1] Это один из шести классических простые машины. Наиболее распространенная форма представляет собой цилиндрический вал с спиральный бороздки или гребни, называемые потоки вокруг снаружи.^[2][3] Винт проходит через отверстие в другом объекте или среде с резьбой внутри отверстия, которая совпадает с резьбой винта. При вращении вала винта относительно неподвижной резьбы винт перемещается вдоль своей оси относительно окружающей его среды; например, вращая шуруп забивает его в дерево. В винтовых механизмах либо вал винта может вращаться через резьбовое отверстие в неподвижном объекте, либо резьбовое кольцо, такое как орех может вращаться вокруг неподвижного винтового вала.^[4][5] Геометрически винт можно рассматривать как узкую наклонная плоскость обернутый вокруг цилиндр.^[1]

Как и другие простые машины, винт может усиливать усилие; небольшая сила вращения (крутящий момент ) на вал может оказывать большое осевое усилие на нагрузку. Чем меньше подача (расстояние между резьбой винта), тем больше механическое преимущество (отношение выходной силы к входной). Винты широко используются в крепеж с резьбой удерживать объекты вместе, а также в таких устройствах, как винты для контейнеров, тиски, винтовые домкраты и винтовые прессы.

Другие механизмы, использующие тот же принцип, также называемые винтами, не обязательно имеют вал или резьбу. Например, штопор представляет собой стержень в форме спирали с острым концом, а Винт архимеда представляет собой водяной насос, в котором для перемещения воды вверх по склону используется вращающаяся спиральная камера. Общий принцип всех винтов заключается в том, что вращающийся спираль может вызвать линейное движение.

История

Деревянный винт в древнеримском прессе для оливок

Винт был одним из последних изобретенных простых механизмов.^[6] Впервые он появился в Месопотамия вовремя Нео-ассирийский период (911-609) до н.э.,^[7] а затем позже появился в Древний Египет и Древняя Греция.^[8][9]

Записи показывают, что водяной винт, или же винтовой насос, впервые был использован в Древнем Египте,^[10][11] некоторое время до греческого философа Архимед описал Винт архимеда водяной насос около 234 г. до н.э.^[12] Архимед написал самое раннее теоретическое исследование винта как машины,^[13] и считается, что он ввел винт в Древнюю Грецию.^[9][14] К I веку до нашей эры винт использовался в виде винтовой пресс и винт Архимеда.^[10]

Греческие философы определили винт как один из простые машины и мог вычислить его (идеальный) механическое преимущество.^[15] Например, Цапля Александрийская (52 AD) перечислил винт как один из пяти механизмов, которые могут «привести в движение груз», определив его как наклонная плоскость обернутый вокруг цилиндра, и описал его изготовление и использование,^[16]включая описание кран для нарезания внутренней резьбы.^[17]

Поскольку их сложную спиральную форму приходилось кропотливо вырезать вручную, винты использовались в качестве связующих только в нескольких машинах в древнем мире. Винтовые застежки начали использоваться в часах только в 15 веке, после токарно-винторезные станки были разработаны.^[18] Винт также, по-видимому, применялся для сверления и перемещения материалов (помимо воды) примерно в это время, когда изображения шнеки и сверла стали появляться в европейских картинах.^[12] Полная динамическая теория простых машин, включая винт, была разработана итальянским ученым. Галилео Галилей в 1600 в Le Meccaniche («О механике»).^[9]:163[19]

Свинец и шаг

Шаг и шаг одинаковые у однозаходных винтов, но разные у многозаходных винтов.

Тонкость или грубость резьбы винта определяется двумя тесно связанными величинами:^[5]

• В вести определяется как осевое расстояние (параллельно оси винта), на котором винт совершает один полный оборот (360 °) вала. Свинец определяет механическое преимущество винта; чем меньше шаг, тем выше механическое преимущество.^[20]
• В подача определяется как осевое расстояние между гребнями соседних резьб.

В большинстве винтов, называемых "одиночный старт"винты, которые имеют одну спиральную резьбу, намотанную вокруг них, шаг и шаг равны. Они отличаются только"многократный запусквинты, имеющие несколько переплетенных между собой резьб. В этих винтах шаг равен шагу, умноженному на количество начинается. Многозаходные винты используются, когда требуется большое линейное движение для данного вращения, например, в колпачки на бутылках и шариковые ручки.

Ручка

Правая и левая резьба винта

Спираль резьбы винта может закручиваться в двух возможных направлениях, что известно как руки. Большинство резьбовых соединений ориентированы так, что при взгляде сверху вал винта отодвигается от наблюдателя (винт затягивается) при повороте в по часовой стрелке направление.^[21][22] Это известно как правша (RH) поток, потому что он следует за правило захвата правой рукой: когда пальцы правой руки согнуты вокруг стержня в направлении вращения, большой палец будет указывать в направлении движения стержня. Нити, ориентированные в противоположном направлении, известны как левша (LH).

По общепринятому мнению, для винтовой резьбы по умолчанию используется праворукость.^[21] Поэтому большинство резьбовых деталей и крепежа имеют правую резьбу. Одно из объяснений того, почему правая резьба стала стандартной, заключается в том, что для правша человек, затягивая правый винт с отвертка легче, чем затягивать левый винт, потому что он использует более прочный супинаторная мышца руки, а не более слабой пронатор мышца.^[21] Поскольку большинство людей являются правшами, правая резьба стала стандартной для резьбовых креплений.

Винтовые соединения в машинах - исключение; они могут быть правыми или левыми, в зависимости от того, что более применимо. Левая резьба также используется в некоторых других областях:

• Если вращение вала приведет к ослаблению обычной правой гайки, а не к затяжке из-за прецессия, вызванная трением. Примеры включают:
  • В левая педаль на велосипед.^[21][23]
  • Левый винт, удерживающий циркулярная пила лезвие или настольный шлифовальный станок колесо на.
• В некоторых устройствах с нитями на обоих концах, например талрепы и съемные отрезки труб. Эти детали имеют одну правую и одну левую резьбу, поэтому при повороте детали обе нити одновременно затягиваются или ослабляются.
• В некоторых соединениях подачи газа для предотвращения опасных неправильных подключений. Например, при газовой сварке линия подачи горючего газа прикрепляется с помощью левой резьбы, поэтому она не будет случайно переключена на подачу кислорода, в которой используется правосторонняя резьба.
• Чтобы сделать их бесполезными для публики (тем самым препятствуя воровству), левши лампочки используются на некоторых железных дорогах и станции метро.^[21]
• Говорят, что крышки гробов традиционно удерживались винтами с левой резьбой.^[21][24][25]

Винтовая резьба

Основные статьи: Резьба, Метрическая резьба, и Метрическая резьба ISO

В винтах различного назначения используются резьбы разной формы (профилей). Резьба винтов стандартизирована, поэтому детали разных производителей будут правильно сопрягаться.

Угол резьбы

Основная статья: Угол резьбы

В угол резьбы включен угол, измеренный на участке, параллельном оси, между двумя опорными поверхностями резьбы. Угол между осевой силой нагрузки и нормалью к опорной поверхности примерно равен половине угла резьбы, так что угол резьбы имеет большое влияние на трение и КПД винта, а также скорости износа и прочности. Чем больше угол резьбы, тем больше угол между вектором нагрузки и нормалью к поверхности, поэтому тем больше нормальная сила между потоками, необходимыми для поддержки заданной нагрузки. Следовательно, увеличение угла резьбы увеличивает трение и износ винта.

Направленная наружу наклонная поверхность подшипника резьбы под действием силы нагрузки также прилагает радиальную (внешнюю) силу к гайке, вызывая растягивающее напряжение. Этот радиальный разрывная сила увеличивается с увеличением угла резьбы. Если предел прочности материала гайки недостаточен, чрезмерная нагрузка на гайку с большим углом резьбы может расколоть гайку.

Угол резьбы также влияет на прочность резьбы; нити с большим углом имеют более широкий корень по сравнению с их размером и более прочные.

Стандартные типы винтовой резьбы: (a) V, (b) Американская национальная, (c) Британская стандартная, (d) Квадратная, (e) Acme, (f) Баттресс, (g) Кулак

Типы ниток

В крепеж с резьбой, большое количество трения приемлемо и обычно необходимо, чтобы предотвратить отвинчивание крепежа.^[5] Таким образом, резьба, используемая в крепежных деталях, обычно имеет большой угол резьбы 60 °:

• (а) V-образная резьба - Они используются в саморезы такие как шурупы для дерева и шурупы для листового металла, которые требуют острого края, чтобы вырезать отверстие, и где требуется дополнительное трение, чтобы убедиться, что шуруп остается неподвижным, например, в установочные винты и регулировочные винты, и где соединение должно быть герметичным, как в труба с резьбой суставы.
• (б) американский гражданин - Это было заменено почти идентичным Единый стандарт резьбы. У него такой же угол резьбы 60 °, как у V-образной резьбы, но он прочнее из-за плоского основания. Используется в болтах, гайках и различных крепежных изделиях.
  Дальнейшая информация: Национальная трубная резьба
• (c) Витворт или же Британский стандарт
  Основная статья: Британский стандарт Уитворта
  - Очень похожий британский стандарт заменен на Единый стандарт резьбы.

В механизмах связи, таких как ходовые винты или же винтовые домкраты, напротив, трение должно быть минимизировано.^[5] Поэтому используются резьбы с меньшими углами:

• (d) Квадратная резьба
  Основная статья: Квадратная резьба
  - Это самая прочная резьба с наименьшим трением, с углом резьбы 0 °,^[5] и не прикладывает к гайке разрывную силу. Однако его сложно изготовить, так как для этого требуется одноточечный режущий инструмент из-за необходимости подрезать края.^[5] Он используется в приложениях с высокой нагрузкой, таких как винтовые домкраты и ходовые винты но в основном заменен резьбой Acme. А модифицированная квадратная резьба с небольшим углом резьбы 5 °, что дешевле в изготовлении.
• (e) Акме нить
  Основная статья: Акме нить
  - Благодаря углу резьбы 29 ° она имеет более высокое трение, чем квадратная резьба, но ее легче изготовить и ее можно использовать с разрезная гайка отрегулировать на износ.^[5] Он широко используется в тиски, C-зажимы, клапаны, ножничные домкраты и ходовые винты в станках, таких как токарные станки.
• (f) Контрольная резьба
  Основная статья: Контрольная резьба
  - Это используется в приложениях с высокой нагрузкой, в которых сила нагрузки прилагается только в одном направлении, например винтовые домкраты.^[5] С углом поверхности подшипника 0 ° это так эффективно, как квадратный поток, но сильнее и проще в изготовлении.
• (g) Нить сустава
  Основная статья: Фаланговая резьба
  - Подобно квадратной резьбе, углы которой закруглены, чтобы защитить их от повреждений, а также повысить трение. В приложениях с низкой прочностью он может быть дешево изготовлен из листового материала прокатка. Он используется в лампочки и розетки.
• (h) Метрическая резьба
  Основная статья: Метрическая резьба

Использует

А винтовой конвейер Для перемещения сыпучих материалов используется вращающаяся винтовая лопасть.

• Благодаря своей самоблокирующейся способности (см. Ниже) винт широко используется в крепеж с резьбой удерживать предметы или материалы вместе: шуруп, винт для листового металла, шпилька, и болт и орех.
• Свойство самоблокировки также является ключом к использованию винта в широком спектре других приложений, таких как штопор, завинчивающаяся крышка крышка контейнера, труба с резьбой соединение, тиски, C-зажим, и винтовой домкрат.
• Винты также используются в качестве рычагов в машинах для передачи мощности в червячный редуктор, ходовой винт, шариковый винт, и роликовый винт. Из-за их низкой эффективности винтовые соединения редко используются для передачи большой мощности, но чаще используются в маломощных, прерывистых применениях, таких как позиционирование. приводы.
• Вращающиеся винтовые лопасти или камеры используются для перемещения материала в Винт архимеда, земляной бур, и винтовой конвейер.
• В микрометр использует прецизионный калиброванный винт для измерения длины с большой точностью.

В винтовой пропеллер, хотя у него такое же название винт, работает на совершенно иных физических принципах, чем винты вышеупомянутых типов, и информация в этой статье к ним не применима.

Расстояние перемещено

Линейное расстояние ${displaystyle d,}$ винтовой вал перемещается при его повороте на угол ${displaystyle alpha ,}$ градусов это:

${displaystyle d=l{frac {alpha }{360^{circ }}},}$

куда ${displaystyle l,}$ это шаг винта.

В соотношение расстояний из простая машина определяется как отношение расстояния, на которое перемещается приложенная сила, к расстоянию, на которое перемещается груз. Для винта это отношение кругового расстояния d_в точка на краю вала перемещается на линейное расстояние d_из вал движется. Если р - радиус вала, за один оборот точка на ободе винта перемещается на расстояние 2πр, В то время как двигается вал линейно по ведущему расстоянию л. Таким образом, отношение расстояний равно

${displaystyle {mbox{distance ratio}}equiv {frac {d_{in}}{d_{out}}}={frac {2pi r}{l}},}$

Механическое преимущество без трения

А винтовой домкрат. Когда стержень вставлен в отверстия вверху и повернут, он может поднять груз.

В механическое преимущество MA винта определяется как отношение осевой выходной силы F_из приложенный валом под нагрузкой к силе вращения F_в приложен к ободу вала, чтобы повернуть его. Для винта без трение (также называемый идеальный винт), из сохранение энергии проделанная работа на винт по входной силе поворота равен проделанной работе к винт по силе нагрузки:

${displaystyle W_{in}=W_{out},}$

Работа равна силе, умноженной на расстояние, на которое она действует, поэтому работа, выполненная за один полный оборот винта, равна ${displaystyle W_{in}=2pi rF_{in},}$ а работа с грузом ${displaystyle W_{out}=lF_{out},}$. Итак идеальный механическое преимущество винта равно соотношение расстояний:

${displaystyle mathrm {MA} _{ideal}equiv {frac {F_{out}}{F_{in}}}={frac {2pi r}{l}},}$

Видно, что механическое преимущество винта зависит от его шага, ${displaystyle l,}$. Чем меньше расстояние между его резьбами, тем больше механическое преимущество и тем большее усилие, которое винт может проявить при заданной приложенной силе. Однако большинство реальных винтов имеют большое трение, и их механическое преимущество меньше, чем указано в приведенном выше уравнении.

Форма крутящего момента

Вращающая сила, приложенная к винту, на самом деле крутящий момент ${displaystyle T_{in}=F_{in}r,}$. Из-за этого входная сила, необходимая для поворота винта, зависит от того, как далеко от вала она приложена; чем дальше от вала, тем меньше усилий требуется для его поворота. Усилие на винт обычно не прикладывается к ободу, как предполагалось выше. Часто применяется с помощью рычага той или иной формы; например, болт поворачивается гаечный ключ ручка которого функционирует как рычаг. Механическое преимущество в этом случае можно рассчитать, используя длину рычаг за р в приведенном выше уравнении. Этот посторонний фактор р можно исключить из приведенного выше уравнения, записав его в терминах крутящего момента:

${displaystyle {frac {F_{out}}{T_{in}}}={frac {2pi }{l}},}$

Фактическое механическое преимущество и эффективность

Из-за большой площади скользящего контакта между подвижной и неподвижной резьбой винты обычно имеют большие потери энергии на трение. Даже хорошо смазанный винты домкрата имеют эффективность всего 15% - 20%, остальная часть работы, затрачиваемой на их токарную обработку, теряется на трение. При учете трения механическое преимущество больше не равно соотношению расстояний, но также зависит от эффективности винта. Из сохранение энергии, то работай W_в выполненная на винте входным усилием при повороте, она равна сумме работы, выполненной при перемещении груза W_из, а работа рассеивается в виде тепла трение W_фрик в винте

${displaystyle W_{in}=W_{out}+W_{fric},}$

В эффективность η безразмерное число от 0 до 1, определяемое как отношение выходной работы к входной.

${displaystyle eta =W_{out}/W_{in},}$

${displaystyle W_{out}=eta W_{in},}$

Работа определяется как сила, умноженная на пройденное расстояние, поэтому ${displaystyle W_{in}=F_{in}d_{in},}$ и ${displaystyle W_{out}=F_{out}d_{out},}$ и поэтому

${displaystyle F_{out}d_{out}=eta F_{in}d_{in},}$

${displaystyle {frac {F_{out}}{F_{in}}}=eta {frac {d_{in}}{d_{out}}},}$

${displaystyle MA={frac {F_{out}}{F_{in}}}=eta {frac {2pi r}{l}},}$

или по крутящему моменту

${displaystyle {frac {F_{out}}{T_{in}}}={frac {2pi eta }{l}}qquad ,}$

Таким образом, механическое преимущество настоящего винта уменьшается по сравнению с идеальным винтом без трения за счет эффективности. ${displaystyle eta ,}$. Из-за их низкой эффективности в приводном оборудовании винты не часто используются в качестве рычагов для передачи большого количества энергии, но чаще используются в позиционерах, которые работают с перебоями.^[5]

Самоблокирующееся свойство

Из-за больших сил трения большинство винтов в практическом использовании "самоблокирующийся", также называемый "невзаимный" или же "без капитального ремонта". Это означает, что приложение крутящего момента к валу вызовет его вращение, но никакая осевая сила нагрузки на вал не заставит его повернуться в обратном направлении, даже если приложенный крутящий момент равен нулю. Это в отличие от некоторые другие простые машины которые "взаимный" или же "без блокировки"что означает, что если сила нагрузки достаточно велика, они будут двигаться назад или"капитальный ремонт". Таким образом, машину можно использовать в любом направлении. Например, в рычаг, если сила на конце нагрузки слишком велика, он будет двигаться назад, выполняя работу с приложенной силой. Большинство винтов спроектированы так, чтобы быть самоблокирующимися, и при отсутствии крутящего момента на валу они останутся в том положении, в котором они остались. Однако некоторые винтовые механизмы с достаточно большим шагом и хорошей смазкой не являются самоблокирующимися и требуют капитального ремонта, а очень немногие, такие как толкать дрель используйте винт в этом направлении «назад», прикладывая осевое усилие к валу, чтобы повернуть винт.

А толкать дрель, один из очень немногих механизмов, которые используют винт в «обратном» смысле, чтобы преобразовать линейное движение во вращательное движение. Он имеет винтовую резьбу с очень большим шагом по центральному валу. Когда рукоятка опускается вниз, вал скользит в собачки в трубчатом стержне, поворачивая биту. Большинство винтов являются самоблокирующимися, и осевое усилие на валу не поворачивает винт.

Это свойство самоблокировки является одной из причин очень широкого использования винта в крепеж с резьбой Такие как шурупы для дерева, винты для листового металла, шпильки и болты. Затягивание крепежа путем его поворота прикладывает силу сжатия к материалам или деталям, которые скрепляются вместе, но никакая сила со стороны деталей не приведет к ослаблению затяжки винта. Это свойство также является основанием для использования шурупов в крышки контейнеров с завинчивающейся крышкой, тиски, C-зажимы, и винтовые домкраты. Тяжелый предмет можно поднять, повернув вал домкрата, но когда вал отпущен, он останется на той высоте, на которую он был поднят.

Винт будет самоблокирующимся тогда и только тогда, когда его эффективность ${displaystyle eta ,}$ ниже 50%.^[26][27][28]

${displaystyle eta ={frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}={frac {F_{out}}{F_{in}}}{frac {l}{2pi r}}<0.50,}$

Является ли винт самоблокирующимся, в конечном итоге зависит от угла наклона и коэффициент трения нитей; Очень хорошо смазываемая резьба с низким коэффициентом трения и достаточно большим шагом может «подвергнуться ремонту».

Рекомендации

1. Янг, Джеймс Ф. (2000). «Основы механики». ELEC 201: Введение в инженерное проектирование. Отдел электротехники и вычислительной техники, Райс Университет. Получено 2011-03-29.
2. Моррис, Уильям, Эд. (1979). Словарь американского наследия, издание для нового колледжа. США: Хоутон Миффлин. стр.1167. ISBN  0-395-20360-0.
3. "Винт". Веб-сайт How Stuff Works. Discovery Communications. 2011 г.. Получено 2011-03-29.
4. Коллинз, Джек А .; Генри Р. Басби; Джордж Х. Стааб (2009). Механическое проектирование элементов машин и машин, 2-е изд.. США: Джон Уайли и сыновья. С. 462–463. ISBN  978-0-470-41303-6.
5. Бхандари, В. Б. (2007). Дизайн элементов машин. Нью-Дели: Тата МакГроу-Хилл. С. 202–206. ISBN  978-0-07-061141-2.
6. Вудс, Майкл; Мэри Б. Вудс (2000). Древние машины: от клинья до водяных колес. США: Книги двадцать первого века. п. 58. ISBN  0-8225-2994-7.
7. Мури, Питер Роджер Стюарт (1999). Древние месопотамские материалы и отрасли: археологические свидетельства. Айзенбраунс. п.4. ISBN  9781575060422.
8. Банч, Брайан Х .; Александр Геллеманс (2004). История науки и техники. Houghton Mifflin Harcourt. стр.69. ISBN  0-618-22123-9. винт.
9. Кребс, Роберт Э .; Кэролайн А. Кребс (2003). Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия древнего мира. США: Издательская группа Гринвуд. п. 114. ISBN  0-313-31342-3.
10. "Винт". Британская энциклопедия онлайн. Британская энциклопедия, 2011 г.. Получено 2011-03-24.
11. Стюарт, Бобби Олтон; Терри А. Хауэлл (2003). Энциклопедия науки о воде. США: CRC Press. п. 759. ISBN  0-8247-0948-9.
12. Хейвен, Кендалл Ф. (2006). Сто величайших научных изобретений всех времен. США: безлимитные библиотеки. С. 6–. ISBN  1-59158-264-4.
13. Хондрос, Томас Г. (2009). «Развитие машиностроения как науки от классических времен до современной эпохи». Международный симпозиум по истории машин и механизмов: Материалы HMM 2008. США: Спрингер. п. 63. ISBN  9781402094859. 1402094841. Получено 2011-03-23.
14. Керле, Ханфрид; Клаус Мауэрсбергер (2010). «От архимедовых спиралей до винтовых механизмов - краткий исторический обзор». Гений Архимеда - 23 века влияния на математику, науку и инженерию: материалы международной конференции, проходившей в Сиракузах, Италия, 8–10 июня 2010 г.. Springer. С. 163–179. ISBN  978-90-481-9090-4. Получено 2011-03-23.
15. Ашер, Эбботт Пейсон (1988). История механических изобретений. США: Courier Dover Publications. п. 98. ISBN  0-486-25593-X.
16. Лауфер, Бертольд (1915). «Эскимосский винт как культурно-историческая проблема». Американский антрополог. 17 (2): 396–406. Дои:10.1525 / aa.1915.17.2.02a00220. ISSN  0002-7294.
17. Банч, Хеллеманс, 2004, стр. 81 год
18. Банч, Хеллеманс, 2004, стр. 80
19. Стивен, Дональд; Лоуэлл Кардуэлл (2001). Колеса, часы и ракеты: история технологий. США: W. W. Norton & Company. С. 85–87. ISBN  0-393-32175-4.
20. Бёрнем, Рубен Уэсли (1915). Математика для машинистов. John Wiley & sons, Incorporated. п.137.
21. Макманус, Крис (2004). Правая рука, левая рука: истоки асимметрии в мозге, телах, атомах и культурах. США: Издательство Гарвардского университета. п.46. ISBN  0-674-01613-0.
22. Андерсон, Джон Г. (1983). Технический цех математики, 2-е изд.. США: Industrial Press. п. 200. ISBN  0-8311-1145-3.
23. Браун, Шелдон. «Велосипедный словарь: педаль». Шелдон Браун. Получено 2010-10-19.
24. Кук, Теодор Андреа (1979) [1-е. Паб. Лондон: Констебль и Ко: 1914]. Кривые жизни. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 242. ISBN  0-486-23701-X. LCCN  78014678.
25. Окли, Энн (2007). Перелом: приключения разбитого тела. Политика Press. п. 49. ISBN  978-1861349378.
26. Rao, S .; Р. Дургаия (2005). Инженерная механика. Университеты Press. п. 82. ISBN  81-7371-543-2.
27. Goyal, M. C .; Г. С. Рагхуванши (2009). Инженерная механика. Нью-Дели: PHI Learning Private Ltd. стр. 202. ISBN  978-81-203-3789-3.
28. Гуджрал, И. (2005). Инженерная механика. Брандмауэр Media. п. 382. ISBN  81-7008-636-1.