Спираль - Spiral

Для использования в других целях см. Спираль (значения).

В разрезе наутилус оболочка, показывающая камеры, расположенные приблизительно логарифмическая спираль

В математика, а спираль это изгиб который исходит из точки, удаляясь все дальше, вращаясь вокруг точки.^[1][2][3][4]

Спирали

Спираль Архимеда (черная), спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

Два основных определения «спирали» в Словарь американского наследия находятся:^[5]

1. кривая на плоскости, которая огибает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от точки.
2. трехмерная кривая, которая вращается вокруг оси на постоянном или непрерывно изменяющемся расстоянии при движении параллельно оси; а спираль.

Первое определение описывает планарный кривая, проходящая в обоих перпендикулярных направлениях в своей плоскости; паз на одной стороне записывать близко приближается к плоской спирали (и это конечная ширина и глубина канавки, но нет из-за того, что расстояние между дорожками шире, чем внутри, что это не идеальный пример); обратите внимание, что последовательные циклы отличаться в диаметре. В другом примере "центральные линии" рук спиральная галактика след логарифмические спирали.

Второе определение включает в себя два вида трехмерных родственников спиралей:

1. конический или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными выводами батареек AA или AAA в аккумуляторный ящик ), а водоворот, который создается, когда вода сливается в раковину, часто называют спиралью или конической спиралью.
2. совершенно точно, определение 2 также включает цилиндрическую цилиндрическую пружину и нить ДНК, оба из которых имеют довольно спиралевидную форму, так что "спираль" более полезный описание, чем «спираль» для каждого из них; в общем, «спираль» применяется редко, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр.^[5]

На боковом изображении черная кривая внизу - это Архимедова спираль, а зеленая кривая - спираль. Кривая, показанная красным, представляет собой коническую спираль.

Двумерный

Основная статья: Список спиралей

А двумерный, или плоскость, спираль проще всего описать с помощью полярные координаты, где радиус ${\displaystyle r}$ это монотонный непрерывная функция угла ${\displaystyle \varphi }$:

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

Круг будет рассматриваться как выродиться случай ( функция не будучи строго монотонным, а скорее постоянный ).

В ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-координаты кривая имеет параметрическое представление:

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Примеры

Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают:

• В Архимедова спираль: ${\displaystyle r=a\varphi }$
• В гиперболическая спираль: ${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Спираль Ферма: ${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• В литуус: ${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• В логарифмическая спираль: ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• В Спираль Cornu или же клотоид
• В Спираль Фибоначчи и золотая спираль
• В Спираль Теодора: аппроксимация спирали Архимеда, состоящая из смежных прямоугольных треугольников.
• В эвольвента круга, используемый дважды на каждом зубе почти каждого современного механизм

• 

  Архимедова спираль

• 

  гиперболическая спираль

• 

  Спираль Ферма

• 

  литуус

• 

  логарифмическая спираль

• 

  Спираль Cornu

• 

  спираль Феодора

• 

  Спираль Фибоначчи (золотая спираль)

• 

  Эвольвента круга (черная) не идентична спирали Архимеда (красная).

Гиперболическая спираль как центральная проекция спирали

An Архимедова спираль создается, например, при намотке ковра.^[6]

А гиперболическая спираль выглядит как изображение спирали со специальной центральной проекцией (см. схему). Гиперболическую спираль иногда называют отвечать спираль, потому что это изображение архимедовой спирали с инверсией круга (см. ниже).^[7]

Название логарифмическая спираль связано с уравнением ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$. Приближения к этому встречаются в природе.

Спирали, не попадающие в эту схему первых 5 примеров:

А Спираль Cornu имеет две асимптотические точки.
В спираль Феодора это многоугольник.
В Спираль Фибоначчи состоит из последовательности дуг окружности.
В эвольвента круга выглядит как архимед, но не является: см. Involute # Примеры.

Геометрические свойства

Следующие соображения относятся к спиралям, которые можно описать полярным уравнением ${\displaystyle r=r(\varphi )}$, особенно для случаев ${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$ (Архимедова, гиперболическая, ферма, спирали литууса) и логарифмическая спираль ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$.

Определение сектора (голубой) и полярного угла наклона ${\displaystyle \alpha }$

Полярный угол наклона

Угол ${\displaystyle \alpha }$ между касательной к спирали и соответствующим полярным кругом (см. диаграмму) называется угол полярного склона и ${\displaystyle \tan \alpha }$ то полярный склон.

Из векторное исчисление в полярных координатах получается формула

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Отсюда и наклон спирали ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$ является

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

В случае Архимедова спираль (${\displaystyle n=1}$) полярный наклон равен ${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

В логарифмическая спираль это особый случай из-за ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$ постоянный !

кривизна

Кривизна ${\displaystyle \kappa }$ кривой с полярным уравнением ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ является

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Для спирали с ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ один получает

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

В случае ${\displaystyle n=1}$ (Архимедова спираль)${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$.
Только для ${\displaystyle -1<n<0}$ спираль имеет точка перегиба.

Кривизна логарифмическая спираль ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ является ${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Площадь сектора

Площадь сектора кривой (см. Диаграмму) с полярным уравнением ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ является

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Для спирали с уравнением ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$ один получает

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

Формула для логарифмическая спираль ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ является${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Длина дуги

Длина дуги кривой с полярным уравнением ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ является

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Для спирали ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$ длина

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл можно выразить как эллиптические интегралы Только.

Длина дуги логарифмическая спираль ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ является ${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Инверсия круга

В инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание: ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$.

• Изображение спирали ${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$ под инверсией на единичном круге изображена спираль с полярным уравнением ${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$. Например: спираль, обратная спирали Архимеда, - это гиперболическая спираль.

Логарифмическая спираль ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ отображается на логарифмическую спираль ${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Ограниченные спирали

Ограниченные спирали:
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$ (оставили),
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$ (верно)

Функция ${\displaystyle r(\varphi )}$ спирали обычно строго однообразна, непрерывна.ограниченный. Для стандартных спиралей ${\displaystyle r(\varphi )}$ является либо степенной функцией, либо экспоненциальной функцией. Если выбрать ${\displaystyle r(\varphi )}$ а ограниченный функция спираль тоже ограничена. Подходящей ограниченной функцией является арктан функция:

Пример 1

Параметр ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$ и выбор ${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$ дает спираль, которая начинается в начале координат (как спираль Архимеда) и приближается к окружности с радиусом ${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$ (диаграмма слева).

Пример 2

За ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$ и ${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$ получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к окружности с радиусом ${\displaystyle \;r=a\pi \;}$ (диаграмма справа).

Трехмерный

Коническая спираль со спиралью Архимеда в виде плана этажа

Конические спирали

Основная статья: коническая спираль

Если в ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-плоскость спирали с параметрическим представлением

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

задана, то можно добавить третью координату ${\displaystyle z(\varphi )}$, такая, что кривая пространства теперь лежит на конус с уравнением ${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$:

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Спирали на основе этой процедуры называются конические спирали.

Пример

Начиная с архимедова спираль ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$ получается коническая спираль (см. схему)

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Сферическая спираль с ${\displaystyle c=8}$

Сферические спирали

Если один представляет сферу радиуса ${\displaystyle r}$ к:

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

и устанавливает линейную зависимость ${\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,}$ для угловых координат получаем сферическая спираль^[8] с параметрическим представлением (с ${\displaystyle c}$ равно удвоенному количеству витков)

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}}$

Паппу были известны и сферические спирали.

Замечание: а линия румба является нет сферическая спираль в этом смысле.

• 

  Сферическая спираль

• 

  Локсодромия

А линия румба (также известная как локсодромия или «сферическая спираль») - кривая на сфере, очерченная кораблем с постоянной несущий (например, путешествие из одного столб к другому, сохраняя фиксированный угол с уважением к меридианы ). Локсодрома имеет бесконечный количество революции, причем расстояние между ними уменьшается по мере приближения кривой к любому из полюсов, в отличие от Архимедова спираль который поддерживает равномерный межстрочный интервал независимо от радиуса.

В природе

Изучение спиралей в природа имеет долгую историю. Кристофер Рен заметил, что многие снаряды сформировать логарифмическая спираль; Ян Сваммердам наблюдали общие математические характеристики широкого диапазона снарядов из Спираль к Спирула; и Генри Ноттидж Мозли описал математику одностворчатый снаряды. Д'Арси Вентворт Томпсон с О росте и форме дает обширную обработку этих спиралей. Он описывает, как оболочки образуются путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: форма кривой остается фиксированной, но ее размер увеличивается за геометрическая прогрессия. В некоторых оболочках, например Наутилус и аммониты, образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и оболочка будет образовывать плоскую дискообразную форму. В других случаях он следует по наклонному пути, образуя гелико -спиральный узор. Томпсон также изучал спирали, встречающиеся в рога, зубы, когти и растения.^{[9][страница нужна ]}

Модель по выкройке цветочки в голове подсолнечник^[10] был предложен Х. Фогелем. Это имеет вид

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

куда п порядковый номер цветочка и c является постоянным коэффициентом масштабирования и представляет собой форму Спираль Ферма. Угол 137,5 ° - это золотой угол что связано с Золотое сечение и дает плотную упаковку соцветий.^[11]

Спирали у растений и животных часто описывают как завитки. Это также название спиральной формы отпечатки пальцев.

• 

  Художественная визуализация спиральной галактики.

• 

  Кочан подсолнечника с цветочками, образующими спираль из 34 и 55 вокруг внешней стороны.

В лаборатории

Когда сульфат калия нагревается в воде и подвергается завихрению в химическом стакане, кристаллы образуют многорычажную спиральную структуру, когда дают возможность осесть^[12]

• 

  Сульфат калия в растворе образует спиральную структуру.

Как символ

Спиралевидная форма была найдена в Мезин, Украина, как часть декоративного объекта 10 000 г. до н. э.^{[нужна цитата ]}

Чаша на подставке, Сосуд на подставке и Амфора. Энеолит, Культура Кукутень, 4300-4000 гг. До н.э. Нашел в Scânteia, Яссы, Румыния. Собрана Национальным музейным комплексом Молдавии.

В Ньюгрейндж входная плита

Этот Петроглиф с вырезанной на нем спиральной фигурой. Хохокамс, а Коренной американец племя более 1000 лет назад.

Спираль и тройная спираль мотив - это Неолит символ в Европе (Мегалитические храмы Мальты ). В кельтская Символ тройной спирали на самом деле является докельтским символом.^[13] Он высечен в скале каменной ромбовидной формы возле главного входа в доисторический Ньюгрейндж памятник в Графство Мит, Ирландия. Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н.э., до появления кельтов, а тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно вошли в кельтскую культуру.^[14] В трискелион символ, состоящий из трех связанных спиралей или трех изогнутых человеческих ног, появляется во многих ранних культурах, в том числе Микенский сосуды, чеканка в Lycia, на статеры из Памфилия (в Аспендос, 370–333 до н.э.) и Писидия, а также на геральдический герб на воинских щитах, изображенных на греческой керамике.^[15]

Спирали можно найти в доколумбовом искусстве Латинской и Центральной Америки. Более 1400 петроглифы (наскальные рисунки) в Las Plazuelas, Гуанахуато Мексика, датируемые 750–1200 годами нашей эры, преимущественно изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели.^[16] В Колумбии фигуры, похожие на обезьян, лягушек и ящериц, изображенные на петроглифах или в виде золотых подношений, часто содержат спирали, например, на ладонях.^[17] В Нижней Центральной Америке спирали вместе с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов.^[18] Спирали также можно встретить среди линии Наска в прибрежной пустыне Перу, датируемой с 200 г. до н.э. по 500 г. н.э. В геоглифы исчисляются тысячами и изображают животных, растения и геометрические мотивы, в том числе спирали.^[19]

Спиральные формы, в том числе свастика, трискеле и т. д., часто интерпретировались как солнечные символы.^{[нужна цитата ]}Черепица, относящаяся к династия Тан с этим символом были найдены к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань).^{[нужна цитата ][год нужен ]}

Спирали также являются символом гипноз, вытекающие из клише людей и героев мультфильмов, которые загипнотизированы, глядя во вращающуюся спираль (например, Каа в Дисней Книга джунглей ). Они также используются как символ головокружение, где глаза мультипликационного персонажа, особенно в аниме и манга, превратятся в спирали, чтобы показать, что у них головокружение или ошеломление. Спираль также встречается в таких небольших структурах, как двойная спираль из ДНК и размером с галактика. Из-за этого частого естественного явления спираль является официальным символом Мировое пантеистическое движение.^[20]Спираль также является символом диалектика процесс и Диалектический монизм.

В искусстве

Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралью, - Роберт Смитсон с земляные работы, "Спиральный причал ", на Большое Соленое озеро в Юте.^[21] Спиральная тема также присутствует в Спиральном резонансном поле Дэвида Вуда на выставке Музей воздушных шаров в Альбукерке, а также в признанном критиками Nine Inch Nails Концептуальный альбом 1994 года Нисходящая спираль. Спираль также является важной темой в аниме. Гуррен Лаганн, где он представляет философию и образ жизни. Это также центральное место в творчестве Марио Мерца и Энди Голдсуорти. Спираль - центральная тема манги ужасов. Узумаки к Дзюндзи Ито, где на небольшой прибрежный городок наложено проклятие спиралей. Кусок разума, Уэйн Бил, 2012 также изображена большая спираль в этой книге снов и образов.^{[22][требуется полная цитата ][23][требуется проверка ]}

Смотрите также

• Кельтский лабиринт (прямолинейная спираль)
• Концентрические круги
• ДНК
• Число Фибоначчи
• Гипогей Хал-Сафлиени
• Мегалитические храмы Мальты
• Узоры в природе
• Поверхность ракушки
• Spirangle
• Спиральная овощерезка
• Винтовая лестница
• Трискелион

Рекомендации

1. «Спираль | математика». Энциклопедия Британника. Получено 2020-10-08.
2. «Спиральное определение (иллюстрированный математический словарь)». www.mathsisfun.com. Получено 2020-10-08.
3. "spiral.htm". www.math.tamu.edu. Получено 2020-10-08.
4. «Математические закономерности в природе». Институт Франклина. 2017-06-01. Получено 2020-10-08.
5. "Спираль, Словарь английского языка American Heritage, Компания Houghton Mifflin, четвертое издание, 2009 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Архимедова спираль». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-10-08.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая спираль». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-10-08.
8. Куно Фладт: Специализированная аналитическая геометрия Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3322853659, 9783322853653, с. 132
9. Томпсон, Д'Арси (1942) [1917]. О росте и форме. Кембридж: Издательство университета; Нью-Йорк: Макмиллан.
10. Бен Спаркс. "Геогебра: подсолнухи безумно красивы".
11. Прусинкевич, Пшемыслав; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Springer-Verlag. стр.101–107. ISBN  978-0-387-97297-8.
12. Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Русский J Phys Chem B. 11: 195–198. Дои:10.1134 / S1990793117010328. S2CID  99162341.
13. Энтони Мерфи и Ричард Мур, Остров Заходящего Солнца: в поисках древних астрономов Ирландии, 2-е изд., Дублин: Лиффи Пресс, 2008, стр. 168-169.
14. «Ньюгрейндж, Ирландия - Мегалитическая гробница - объект всемирного наследия». Knowth.com. 21 декабря 2007 г. В архиве из оригинала от 26.07.2013. Получено 2013-08-16.
15. Например, триллель на Ахиллес 'круглый щит на чердаке конца шестого века Hydria на Бостонский музей изящных искусств, проиллюстрированный Джоном Бордманом, Джаспером Гриффином и Освином Мюрреем, Греция и эллинистический мир (Оксфордская история классического мира) т. I (1988), стр. 50.
16. "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF). Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 5. В архиве (PDF) из оригинала 5 января 2014 г.. Получено 4 января 2014.
17. "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF). Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 99. В архиве (PDF) из оригинала 5 января 2014 г.. Получено 4 января 2014.
18. "Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна" (PDF). Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 17. В архиве (PDF) из оригинала 5 января 2014 г.. Получено 4 января 2014.
19. Джарус, Оуэн (14 августа 2012 г.). «Линии Наски: загадочные геоглифы Перу». LiveScience. В архиве из оригинала 4 января 2014 г.. Получено 4 января 2014.
20. Харрисон, Пол. «Пантеистическое искусство» (PDF). Мировое пантеистическое движение. Получено 7 июн 2012.
21. Израиль, Нико (2015). Спирали: закрученный образ в литературе и искусстве ХХ века. Издательство Нью-Йоркского Колумбийского университета. С. 161–186. ISBN  978-0-231-15302-7.
22. Кусок разума, Уэйн Бил, 2012
23. http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (требуется подписка)

Связанные публикации

• Кук, Т., 1903. Спирали в природе и искусстве. Природа 68 (1761), 296.
• Кук, Т., 1979. Кривые жизни. Дувр, Нью-Йорк.
• Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Кривые спирального перехода и их применение. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 - 206.
• Димулё, Сарпоно; Хабиб, Зульфикар; Сакаи, Манабу (2009). «Справедливый кубический переход между двумя окружностями, при этом одна окружность находится внутри или касается другой». Численные алгоритмы. 51 (4): 461–476. Дои:10.1007 / s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
• Харари, Г., Таль, А., 2011. Естественная трехмерная спираль. Форум компьютерной графики 30 (2), 237 - 246 [1].
• Сюй, Л., Молд, Д., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые с контролируемой кривизной с использованием магнитных полей. В: Деуссен, О., Холл, П. (ред.), Вычислительная эстетика в графике, визуализации и визуализации. Еврографическая ассоциация [2].
• Ван, Юйлинь; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчанг; Ван, Шучунь (2004). «Создание прямых кривых с использованием монотонных элементов кривизны». Компьютерный геометрический дизайн. 21 (5): 515–527. Дои:10.1016 / j.cagd.2004.04.001.
• Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным Эрмита G2». Компьютерный геометрический дизайн. 27 (3): 262–280. arXiv:0902.4834. Дои:10.1016 / j.cagd.2009.12.004.
• А. Курносенко. Двухточечная интерполяция Эрмита G2 со спиралями путем обращения гиперболы. Компьютерное геометрическое проектирование, 27 (6), 474–481, 2010.
• Миура, К.Т., 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его сродство к себе. Компьютерное проектирование и приложения 3 (1–4), 457–464 [3].
• Миура К., Соне Дж., Ямасита А., Канеко Т., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых.. В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айзу-Вакамуцу, Япония, стр. 166 - 171. [4].
• Мик, Д.С.; Уолтон, Д.Дж. (1989). «Использование спиралей Корню для рисования плоских кривых контролируемой кривизны». Журнал вычислительной и прикладной математики. 25: 69–78. Дои:10.1016/0377-0427(89)90076-9.
• Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Российский журнал физической химии B. 11: 195–198. Дои:10.1134 / S1990793117010328. S2CID  99162341.
• Фарин, Джеральд (2006). «Кривые Безье класса А». Компьютерный геометрический дизайн. 23 (7): 573–581. Дои:10.1016 / j.cagd.2006.03.004.
• Фаруки, Р.Т., 1997. Пятые переходные кривые Пифагора-годографа монотонной кривизны. Компьютерное проектирование 29 (9), 601–606.
• Ёсида, Н., Сайто, Т., 2006. Интерактивные эстетические сегменты кривой. Визуальный компьютер 22 (9), 896–905 [5].
• Йошида, Н., Сайто, Т., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье. Компьютерное проектирование и приложения 4 (9–10), 477–486 [6].
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмических эстетических кривых в терминах неполных гамма-функций. Компьютерное геометрическое проектирование 29 (2), 129–140 [7].
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Подгонка кривой мультиспирального перехода G2, соединяющей две прямые линии, Компьютерное проектирование 44 (6), 591–596 [8].
• Зятдинов Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданное в терминах гипергеометрической функции Гаусса. Компьютерное геометрическое проектирование 29 (7): 510–518, 2012. [9].
• Зиатдинов Р., Миура К.Т., 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применениях в компьютерном проектировании. European Researcher 27 (8-2), 1227–1232. [10].

внешняя ссылка

• Jamnitzer -Галерея: 3D-спирали
• SpiralZoom.com, образовательный сайт о науке о формировании узоров, спиралях в природе и спиралях в воображении мифов.
• Спирали Юргена Кёллера
• Спирали - сборник «Энциклопедия жизни» с примерами спиралей в природе.
• Спираль Архимеда трансформируется в спираль Галилея. Михаил Гайченков, OEIS
• Образовательная веб-страница, соединяющая спирали с природой, искусством и узорами.
• Texto en Espiral