Постоянный фильтр k - Constant k filter

Фильтры постоянного k, также фильтры типа k, являются разновидностью электронный фильтр разработан с использованием образ метод. Это оригинальные и простейшие фильтры, производимые по этой методике, которые состоят из лестничная сеть идентичных разделов пассивный компоненты. Исторически это первые фильтры, которые могут приблизиться к идеальный фильтр частотная характеристика в пределах любого установленного лимита с добавлением достаточного количества секций. Однако они редко рассматривается для современного дизайна, их принципы были заменены другие методологии которые более точны в своем прогнозе отклика фильтра.

История

Фильтры постоянного k были изобретены Джордж Кэмпбелл. Он опубликовал свою работу в 1922 году,^[1] но явно изобрел фильтры некоторое время назад,^[2] как его коллега по AT&T Co, Отто Зобель, в это время уже вносил улучшения в дизайн. Фильтры Кэмпбелла намного превосходили более простые одноэлементные схемы которые использовались ранее. Кэмпбелл назвал свои фильтры фильтрами электрических волн, но позже этот термин стал обозначать любой фильтр, который пропускает волны одних частот, но не пропускает другие. Впоследствии было изобретено много новых форм волновых фильтров; ранней (и важной) вариацией была m-производный фильтр Зобелем, который ввел термин постоянная k для фильтра Кэмпбелла, чтобы различать их.^[3]

Огромное преимущество фильтров Кэмпбелла перед Цепь RL и другие простые фильтры того времени заключались в том, что они могли быть разработаны для любой желаемой степени стоп-группа отказ или крутизна перехода между полоса пропускания и стоп-лосс. Было необходимо только добавить дополнительные секции фильтра, пока не был получен желаемый ответ.^[4]

Фильтры были разработаны Кэмпбеллом с целью разделения мультиплексированный телефонные каналы на линии передачи, но их последующее использование получило гораздо более широкое распространение, чем это. Методы дизайна, используемые Кэмпбеллом, в значительной степени были заменены. Однако лестничная топология использованный Кэмпбеллом с константой k, все еще используется сегодня с реализациями современных конструкций фильтров, таких как Фильтр Чебышева. Кэмпбелл дал постоянные k дизайнов для НЧ, высокая частота и полоса пропускания фильтры. Band-stop также возможны многополосные фильтры.^[5]

Терминология

Некоторые термины импеданса и термины разделов, используемые в этой статье, изображены на схеме ниже. Теория изображений определяет величины в терминах бесконечного каскада двухпортовые секции, а в случае обсуждаемых фильтров бесконечное лестничная сеть Г-образных профилей. Здесь "L" не следует путать с индуктивность L - в топология электронного фильтра, «L» относится к конкретной форме фильтра, которая напоминает перевернутую букву «L».

Секции гипотетического бесконечного фильтра состоят из последовательных элементов с импедансом 2Z и шунтирующие элементы с допуском 2Y. Множитель два введен для математического удобства, поскольку обычно работают в терминах полусекций, где он исчезает. В импеданс изображения входа и выхода порт раздела обычно не будет таким же. Однако для раздел средней серии (то есть, участок от середины элемента серии до середины следующего элемента серии) будет иметь одинаковое сопротивление изображения на обоих портах из-за симметрии. Этот импеданс изображения обозначен ZЭто из-за "Т"топология раздела средней серии. Аналогичным образом, импеданс изображения средняя секция шунта обозначен Zя из-за "Π«топология. Половина такой "Т" или "Π" раздел называется полусекция, который также является L-образным сечением, но с половиной значений элементов полного L-сечения. Импеданс изображения полусекции на входных и выходных портах неодинаков: на стороне, представляющей последовательный элемент, он равен средней серии. ZЭто, но на стороне, представляющей шунтирующий элемент, он равен среднему шунту Zя . Таким образом, есть два варианта использования полусекции.

Части этой статьи или раздела основаны на знании читателем сложного сопротивление представление конденсаторы и индукторы и на знании частотная область представление сигналов.

Вывод

Полусекция фильтра нижних частот постоянного k. Здесь индуктивность L равно Ck²

Полусекция полосового фильтра постоянного k.
L₁ = C₂k² и L₂ = C₁k²

Импеданс изображения Z_Это прототипа фильтра нижних частот с постоянным k графиком зависимости от частоты ${\displaystyle \omega }$. Импеданс чисто резистивный (реальный) ниже ${\displaystyle \omega _{c}}$, и чисто реактивная (мнимая) выше ${\displaystyle \omega _{c}}$.

Строительный блок фильтров с постоянным k - это полусекция "L" сети, состоящая из ряда сопротивление Z, и шунт допуск Y. «K» в «константе k» - это значение, определяемое как,^[6]

${\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

Таким образом, k будет иметь единицы импеданса, то есть Ом. Совершенно очевидно, что для того, чтобы k быть постоянным, Y должен быть двойной импеданс из Z. Физическую интерпретацию k можно дать, заметив, что k предельное значение Z_я поскольку размер секции (с точки зрения значений ее компонентов, таких как индуктивности, емкости и т. д.) приближается к нулю, при сохранении k по исходному значению. Таким образом, k это характеристическое сопротивление, Z₀, линии передачи, которая будет образована этими бесконечно малыми участками. Это также импеданс изображения секции при резонанс, в случае полосовых фильтров, или при ω = 0 в случае фильтров нижних частот.^[7] Например, изображенная полусекция нижних частот имеет

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$.

Элементы L и C можно сделать сколь угодно малым при сохранении того же значения k. Z и Y однако оба приближаются к нулю, а из формул (ниже) для импеданса изображения,

${\displaystyle \lim _{Z,Y\to 0}Z_{\mathrm {i} }=k}$.

Импеданс изображения

Смотрите также: Импеданс изображения § Вывод

Импедансы изображения секции представлены^[8]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=Z^{2}+k^{2}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{{Z_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}}}={Y_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}$

Учитывая, что фильтр не содержит резистивных элементов, импеданс изображения в полосе пропускания фильтра чисто настоящий а в полосе запрета чисто воображаемый. Например, для изображенной полусекции нижних частот,^[9]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}}$

Переход происходит при частота среза данный

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

Ниже этого частота, импеданс изображения реальный,

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}}$

Выше частоты среза импеданс изображения является мнимым,

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}$

Параметры передачи

В функция передачи прототипа фильтра нижних частот с постоянным k для одной полусекции, показывающей затухание в неперс и фазовый переход в радианы.

Смотрите также: Импеданс изображения § Передаточная функция

В параметры передачи для общей постоянной k полусечения даются как^[10]

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}}$

и для цепочки п полусекции

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Для L-образной секции нижних частот, ниже частоты среза, параметры передачи задаются выражением^[8]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}$

То есть передача происходит без потерь в полосе пропускания с изменением только фазы сигнала. Выше частоты среза параметры передачи следующие:^[8]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}}$

Преобразования прототипа

Представленные графики импеданса изображения, затухания и изменения фазы соответствуют низкочастотному фильтру. прототип фильтра раздел. У прототипа частота среза ω_c = 1 рад / с и номинальное сопротивление k = 1 Ом. Это производится полусекцией фильтра с индуктивностью L = 1 Генри и емкость C = 1 фарад. Этот прототип может быть масштабированный импеданс и частотная шкала до желаемых значений. Прототип нижних частот также может быть преобразованный на высокочастотный, полосовой или полосовой путем применения подходящих частотные преобразования.^[11]

Каскадные секции

Коэффициент усиления, H (ω) для цепочки п полусекции фильтра нижних частот с постоянным k.

Несколько L-образных полусекций могут быть соединены каскадом с образованием составного фильтра. Подобное сопротивление всегда должно совпадать с подобным в этих комбинациях. Таким образом, существуют две схемы, которые могут быть образованы двумя идентичными L-образными полусекциями. Где порт импеданса изображения Z_Это сталкивается с другим Z_Это, раздел называется Π раздел. куда Z_я лица Z_я сформированная таким образом секция представляет собой Т-образную секцию. Дальнейшие добавления полусекций к любой из этих секций образуют лестничную сеть, которая может начинаться и заканчиваться последовательными или шунтирующими элементами.^[12]

Следует иметь в виду, что характеристики фильтра, предсказанные методом изображения, являются точными только в том случае, если секция заканчивается его импедансом изображения. Обычно это не относится к секциям на обоих концах, которые обычно оканчиваются фиксированным сопротивлением. Чем дальше секция от конца фильтра, тем точнее будет прогноз, поскольку эффекты оконечных сопротивлений маскируются промежуточными секциями.^[13]

Образ разделы фильтра
	Несбалансированный L половина раздела Т раздел Π Раздел Лестничная сеть
	Сбалансированный C Полусекция Раздел H Коробка Секция Лестничная сеть X раздел (средний Т-образный) X Раздел (средний-производный)
N.B. Учебники и чертежи проектов обычно показывают несбалансированные реализации, но в телекоммуникациях часто требуется преобразовать проект в сбалансированную реализацию при использовании с сбалансированный линий. редактировать

Смотрите также

• Импеданс изображения
• m-производный фильтр
• мм фильтр
• Фильтр составного изображения

Заметки

1. Кэмпбелл, Г. А. (ноябрь 1922 г.), "Физическая теория фильтра электрических волн", Bell System Tech. Дж., 1 (2): 1–32
2. Брей, стр.62, дает 1910 год как начало работы Кэмпбелла над фильтрами.
3. Уайт, Г. (январь 2000 г.), «Прошлое», Журнал BT Technology, 18 (1): 107–132, Дои:10.1023 / А: 1026506828275
4. Брей, стр.62.
5. Зобель, О. Дж., Многополосный волновой фильтр, Патент США 1509184 , подана 30 апреля 1920 г., выдана 23 сентября 1924 г.
6. Зобель, 1923, с.6.
7. Зобель, 1923, стр. 3-4.
8. Matthaei et al., Стр.61.
9. Matthaei et al., Стр. 61-62.
10. Зобель, 1923, стр.3.
11. Matthaei et al., Pp.96-97, 412-413, 438-440, 727-729.
12. Matthaei et al., Pp.65-68.
13. Matthaei et al., Стр.68.

использованная литература

• Брей, Дж., Инновации и коммуникационная революция, Институт инженеров-электриков, 2002.
• Matthaei, G .; Янг, L .; Джонс, Э. М. Т., Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи Макгроу-Хилл 1964.
• Зобель, О. Дж.,Теория и конструкция однородных и составных фильтров электрических волн, Технический журнал Bell System, Vol. 2 (1923), стр. 1–46.

дальнейшее чтение

Для более простой обработки анализа см.

• Гош, Смараджит (2005), Теория сетей: анализ и синтез, Нью-Дели: Prentice Hall of India, стр. 544–563, ISBN  81-203-2638-5