Спектральная утечка - Spectral leakage

Окно синусоиды вызывает утечку спектра, даже если синусоида имеет целое число циклов в прямоугольном окне. Утечка очевидна во 2-м ряду, синяя кривая. Это то же количество, что и на красной кривой, которая представляет немного более высокую частоту, не имеющую целого числа циклов. Когда синусоида дискретизируется и обрабатывается окнами, ее дискретное преобразование Фурье также страдает от той же картины утечки. Но когда DTFT выбирается только с определенным интервалом, можно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. В случае синусоиды (3-я строка графиков, правая часть) эти выборки являются выходными данными дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Красная синусоида DTFT (4-я строка) имеет такой же интервал пересечений нуля, но выборки DFT попадают между ними, и утечка обнаруживается.

В преобразование Фурье функции времени s (t) является комплексной функцией частоты S (f), которую часто называют частотный спектр. Любой линейный инвариантный во времени операция над s (t) дает новый спектр вида H (f) • S (f), который изменяет относительные величины и / или углы (фаза ) ненулевых значений S (f). Любой другой тип операции создает новые частотные компоненты, которые можно назвать спектральная утечка в самом широком смысле. Отбор проб, например, вызывает утечку, которую мы называем псевдонимы исходной спектральной составляющей. За преобразование Фурье цели, отбор проб моделируется как произведение между s (t) и a Гребень Дирака функция. Спектр продукта - это свертка между S (f) и другой функцией, которая неизбежно создает новые частотные составляющие. Но термин «утечка» обычно относится к эффекту окна, который является произведением s (t) с функцией другого типа, оконная функция. Оконные функции имеют конечную продолжительность, но это не обязательно для создания утечки. Достаточно умножения на функцию, зависящую от времени.

Утечка, вызванная оконной функцией, проще всего охарактеризовать по ее влиянию на синусоидальную функцию s (t), неоконное преобразование Фурье которой равно нулю для всех частот, кроме одной. Обычная частота выбора - 0 Гц, потому что оконное преобразование Фурье - это просто преобразование Фурье самой оконной функции.:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}$

Дискретно-временные функции

Когда к s (t) применяются и дискретизация, и оконное управление, в любом порядке, утечка, вызванная оконной обработкой, представляет собой относительно локализованное расширение частотных компонентов, часто с эффектом размытия, тогда как наложение, вызванное дискретизацией, является периодическим повторением всего размытый спектр.

Окно компромиссов

Сравнение двух оконных функций с точки зрения их влияния на синусоиды одинаковой силы с аддитивным шумом. Синусоида в ячейке -20 не имеет гребешков, а синусоида в ячейке +20,5 демонстрирует гребешки в худшем случае. Прямоугольное окно дает наиболее зубчатые, но также более узкие пики и более низкий уровень шума. Третья синусоида с амплитудой -16 дБ будет заметна в верхнем спектре, но не в нижнем.

Основная статья: Оконная функция

Полная утечка оконной функции измеряется метрикой, называемой эквивалентная ширина полосы шума (ENBW)^[1] или же эквивалентная ширина полосы пропускания (NEB). Лучшее окно в этом отношении - самое простое, называемое прямоугольный из-за плоского верха и вертикальных сторон. Его эффект распространения обычно в 10–100 раз ниже амплитуды исходного компонента. К сожалению, разброс очень велик, что может скрывать важные детали спектра даже на более низких уровнях. Это препятствует тому, чтобы прямоугольное окно было популярным выбором. Непрямоугольные оконные функции фактически увеличивают общую утечку, но они также могут перераспределять ее в места, где она причиняет наименьший вред, в зависимости от приложения. В частности, в разной степени они снижают уровень распространения за счет увеличения утечки высокого уровня в непосредственной близости от исходного компонента. В общем, они контролируют компромисс между разрешением сигналов сравнимой мощности с аналогичными частотами или разрешением сигналов разной мощности с разными частотами: один говорит об окнах «высокого разрешения» и «высокого динамического диапазона». Утечка около исходного компонента на самом деле полезна для метрики, известной как гребешковая потеря.

Мы обычно думаем об утечке как о распространении (скажем) синусоиды в одном «бункере» DFT в другие ячейки на уровнях, которые обычно уменьшаются с расстоянием. На самом деле это означает, что, когда фактическая частота синусоиды лежит в ячейке «k», ее присутствие обнаруживается / регистрируется на разных уровнях в других ячейках; т.е. корреляции, которые они измеряют, отличны от нуля. Значение, измеренное в ячейке k + 10 и нанесенное на график спектра, является ответом этого измерения на несовершенную (т.е. оконную) синусоиду на расстоянии 10 элементов. И когда ввод просто белый шум (энергия на всех частотах), значение, измеренное в ячейке k, является суммой его откликов на континуум частот. Можно сказать, что утечка на самом деле утечка в процесс, а не утечка. Эта перспектива может помочь интерпретировать различные уровни минимального шума между двумя графиками на рисунке справа. Оба спектра были созданы на основе одного и того же набора данных с одинаковой мощностью шума. Но каждый из сегментов нижнего графика ответил сильнее, чем сегментов верхнего графика. Точная величина разницы определяется разницей ENBW двух оконных функций.

Смотрите также

• § Окно
• § Выборка DTFT
• Эффект лезвия ножа, пространственный аналог усечения
• Феномен Гиббса

Цитаты

1. Харрис, Фредрик Дж. (Январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF). Труды IEEE. 66 (1): 51–83. CiteSeerX  10.1.1.649.9880. Дои:10.1109 / PROC.1978.10837. Статья об окнах БПФ, в которой представлены многие ключевые показатели, используемые для сравнения окон.