Пространство Сегала – Баргмана. - Segal–Bargmann space

В математика, то Пространство Сегала – Баргмана. (за Ирвинг Сигал и Валентин Баргманн ), также известный как Пространство Баргмана или же Пространство Баргмана – Фока, это пространство голоморфные функции F в п комплексные переменные, удовлетворяющие условию квадратичной интегрируемости:

${\displaystyle \|F\|^{2}:=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})\,dz<\infty ,}$

где здесь дз обозначает 2п-мерная мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Это Гильбертово пространство относительно связанного внутреннего продукта:

${\displaystyle \langle F\mid G\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}{\overline {F(z)}}G(z)\exp(-|z|^{2})\,dz.}$

Пространство было введено в литературу по математической физике отдельно Баргманном и Сигалом в начале 1960-х годов; видеть Баргманн (1961) и Сигал (1963). Основную информацию о материалах этого раздела можно найти в Фолланд (1989) и Холл (2000) . Сигал с самого начала работал с бесконечномерным сеттингом; видеть Баэз, Сегал и Чжоу (1992) и раздел 10 Холл (2000) для получения дополнительной информации по этому аспекту предмета.

Характеристики

Основным свойством этого пространства является то, что поточечная оценка непрерывна, что означает, что для каждого ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n},}$ есть постоянный C такой, что

${\displaystyle |F(a)|<C\|F\|.}$

Тогда из Теорема Рисса о представлении что существует уникальный F_а в пространстве Сигала – Баргмана такое, что

${\displaystyle F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle .}$

Функция F_а может быть вычислен явно как

${\displaystyle F_{a}(z)=\exp({\overline {a}}\cdot z)}$

где явно

${\displaystyle {\overline {a}}\cdot z=\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{j}}}z_{j}.}$

Функция F_а называется когерентное состояние (применяемый в математической физике ) с параметром а, а функция

${\displaystyle \kappa (a,z):={\overline {F_{a}(z)}}}$

известен как воспроизводящее ядро для пространства Сигала – Баргмана. Обратите внимание, что

${\displaystyle F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}\kappa (a,z)F(z)\exp(-|z|^{2})\,dz,}$

означает, что интеграция с воспроизводящим ядром просто возвращает (т.е. воспроизводит) функцию Fпри условии, конечно, что F является элементом пространства (и, в частности, голоморфен).

Обратите внимание, что

${\displaystyle \|F_{a}\|^{2}=\langle F_{a}\mid F_{a}\rangle =F_{a}(a)=\exp(|a|^{2}).}$

Это следует из Неравенство Коши – Шварца что элементы пространства Сигала – Баргмана удовлетворяют поточечным оценкам

${\displaystyle |F(a)|\leq \|F_{a}\|\|F\|=\exp(|a|^{2}/2)\|F\|.}$

Квантовая механическая интерпретация

Единичный вектор в пространстве Сигала – Баргмана можно интерпретировать как волновую функцию для квантовой частицы, движущейся в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ С этой точки зрения ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ играет роль классического фазового пространства, тогда как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ это конфигурационное пространство. Ограничение, что F быть голоморфным существенно для этой интерпретации; если F если бы функция была произвольной интегрируемой с квадратом, ее можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства, что противоречило бы принципу неопределенности. Однако поскольку F требуется, чтобы он был голоморфным, он удовлетворяет поточечным оценкам, описанным выше, что обеспечивает предел того, насколько концентрированным F может находиться в любой области фазового пространства.

Учитывая единичный вектор F в пространстве Сигала – Баргмана величина

${\displaystyle \pi ^{-n}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})}$

может быть интерпретирован как своего рода плотность вероятности фазового пространства для частицы. Поскольку указанная величина явно неотрицательна, она не может совпадать с Функция Вигнера частицы, которая обычно имеет отрицательные значения. Фактически указанная плотность совпадает с Функция Хусими частицы, которая получается из функции Вигнера путем смазывания гауссианом. Эта связь будет уточнена ниже, после того как мы введем преобразование Сигала – Баргмана.

Канонические коммутационные соотношения

Можно ввести операторы аннигиляции ${\displaystyle a_{j}}$ и операторы создания ${\displaystyle a_{j}^{*}}$ на пространстве Сигала – Баргмана, полагая

${\displaystyle a_{j}=\partial /\partial z_{j}}$

и

${\displaystyle a_{j}^{*}=z_{j}}$

Эти операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и обычные операторы создания и уничтожения, а именно: ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle a_{j}^{*}}$ ездить между собой и

${\displaystyle \left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}}$

Кроме того, примыкающий к ${\displaystyle a_{j}}$ относительно скалярного произведения Сегала – Баргмана равно ${\displaystyle a_{j}^{*}.}$ (Об этом свидетельствуют обозначения, но совсем не очевидно из формул для ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle a_{j}^{*}}$!) Действительно, Баргманну пришлось ввести конкретную форму скалярного произведения в пространстве Сигала – Баргмана именно так, чтобы операторы рождения и уничтожения были сопряжены друг с другом.

Теперь мы можем построить самосопряженные операторы «позиции» и «импульса». А_j и B_j по формулам:

${\displaystyle A_{j}=(a_{j}+a_{j}^{*})/2}$

${\displaystyle B_{j}=(a_{j}-a_{j}^{*})/(2i)}$

Эти операторы удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям. Можно показать, что А_j и B_j удовлетворяют экспоненциальным коммутационным соотношениям (т. е. Вейлевские отношения ) и что они действуют неприводимо на пространстве Сигала – Баргмана; см. раздел 14.4 Холл (2013).

Преобразование Сигала – Баргманна

Поскольку операторы А_j и B_j из предыдущего раздела удовлетворяют соотношениям Вейля и действуют неприводимо на пространстве Сигала – Баргмана, Теорема Стоуна – фон Неймана применяется. Таким образом, существует унитарное отображение B с позиции гильбертова пространства ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ в пространство Сигала – Баргмана, которое сплетает эти операторы с обычными операторами положения и импульса.

Карта B может быть вычислен явно как модифицированный двойной Преобразование Вейерштрасса,

${\displaystyle (Bf)(z)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp[-(z\cdot z-2{\sqrt {2}}z\cdot x+x\cdot x)/2]f(x)\,dx,}$

куда dx это п-мерная мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и где z в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ См. Баргманн (1961) и Раздел 14.4 Холла (2013). Можно также описать (Bf)(z) как внутренний продукт ж с соответствующим образом нормализованным когерентное состояние с параметром z, где теперь мы выражаем когерентные состояния в позиционном представлении, а не в пространстве Сигала – Баргмана.

Теперь мы можем уточнить связь между пространством Сигала – Баргмана и функцией Хусими частицы. Если ж является единичным вектором в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),}$ тогда мы можем сформировать плотность вероятности на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ в качестве

${\displaystyle \pi ^{-n}|(Bf)(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})~.}$

Утверждается, что указанная выше плотность является Функция Хусими из ж, который можно получить из Функция Вигнера из ж путем свертки с двойным гауссианом ( Преобразование Вейерштрасса ). Этот факт легко проверяется с помощью формулы для Bf вместе со стандартной формулой для Функция Хусими в терминах когерентных состояний.

С B унитарен, его эрмитово сопряженный элемент - обратный. Напоминая, что мера по ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ является ${\displaystyle e^{-|z|^{2}}\,dz}$, получаем одну формулу обращения для B в качестве

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\exp[-({\overline {z}}\cdot {\overline {z}}-2{\sqrt {2}}{\overline {z}}\cdot x+x\cdot x)/2](Bf)(z)e^{-|z|^{2}}\,dz.}$

Однако поскольку Bf - голоморфная функция, может быть много интегралов, содержащих Bf которые дают такое же значение. (Подумайте об интегральной формуле Коши.) Таким образом, может быть много различных формул обращения для преобразования Сигала – Баргмана B.

Еще одна полезная формула обращения:^[1]

${\displaystyle f(x)=C\exp(-|x|^{2}/2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}(Bf)(x+iy)\exp(-|y|^{2}/2)\,dy,}$

куда

${\displaystyle C=\pi ^{-n/4}(2\pi )^{-n/2}.}$

Эту формулу инверсии можно понимать как утверждение, что "волновая функция" положения ж может быть получена из фазовой "волновой функции" Bf путем интегрирования импульсных переменных. Это должно быть контрастировано с функцией Вигнера, где положение плотность вероятности получается из фазового пространства (квази)плотность вероятности путем интегрирования импульсных переменных.

Обобщения

Существуют различные обобщения пространства и преобразования Сегала – Баргмана. В одном из них^[2][3] роль конфигурационного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ играет групповое многообразие компактной группы Ли, такой как SU (N). Роль фазового пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ затем играет комплексирование компактной группы Ли, такой как ${\displaystyle \operatorname {SL} (N,\mathbb {C} )}$ в случае SU (N). Различные гауссианы, появляющиеся в обычном пространстве и преобразовании Сигала – Баргмана, заменяются на нагревать ядра. Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана можно применить, например, к вращательным степеням свободы твердого тела, где конфигурационное пространство представляет собой компактные группы Ли SO (3).

Это обобщенное преобразование Сегала – Баргмана приводит к системе когерентные состояния, известный как когерентные состояния теплового ядра. Они широко использовались в литературе по петля квантовой гравитации.

Смотрите также

• Тета-представление
• Харди космос

Рекомендации

1. ДО Н.Э. Холл, «Диапазон тепловоза», в г. Повсеместное тепловое ядропод редакцией Джея Йоргенсена и Линн Х. Уоллинг, AMS 2006, стр. 203–231
2. ДО Н.Э. Зал, "Преобразование «когерентного состояния» Сигала – Баргмана для компактных групп Ли ", Журнал функционального анализа 122 (1994), 103–151
3. ДО Н.Э. Зал, "Обратное преобразование Сегала – Баргмана для компактных групп Ли ", Журнал функционального анализа 143 (1997), 98–116

Источники

• Баргманн, В. (1961), «О гильбертовом пространстве аналитических функций и соответствующем интегральном преобразовании», Сообщения по чистой и прикладной математике, 14 (3): 187, Дои:10.1002 / cpa.3160140303, HDL:10338.dmlcz / 143587
• Сегал, И. (1963), "Математические проблемы релятивистской физики", в Kac, M. (ed.), Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, Vol. II, Лекции по прикладной математике, Американское математическое общество, гл. VI, LCCN  62-21480
• Фолланд, Г. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Princeton University Press, ISBN  978-0691085289
• Баэз, Дж.; Segal, I.E .; Чжоу, З. (1992), Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0691605128
• Холл, Б. С. (2000), «Голоморфные методы анализа и математической физики», в Pérez-Esteva, S .; Виллегас-Блас, К. (ред.), Первая летняя школа по анализу и математической физике: квантование, преобразование Сегала-Баргмана и полуклассический анализ, Современная математика, 260, AMS, стр. 1–59, ISBN  978-0-8218-2115-2
• Холл, Б. С. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer Verlag, Дои:10.1007/978-1-4614-7116-5, ISBN  978-1-4614-7115-8