Hilberts Nullstellensatz - Hilberts Nullstellensatz

Nullstellensatz Гильберта (По-немецки «теорема нулей» или, точнее, «теорема о множестве нулей» - см. Satz ) - теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрия и алгебра. Эти отношения лежат в основе алгебраическая геометрия, филиал математика. Это относится алгебраические множества к идеалы в кольца многочленов над алгебраически замкнутые поля. Эта связь была обнаружена Дэвид Гильберт который доказал Nullstellensatz и несколько других важных связанных теорем, названных в его честь (например, Базисная теорема Гильберта ).

Формулировка

Позволять k быть полем (например, рациональное число ) и K быть алгебраически замкнутым расширение поля (такой как сложные числа ). Рассмотрим кольцо многочленов ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ и разреши я быть идеальный в этом кольце. В алгебраический набор V (я), определяемая этим идеалом, состоит из всех п- пары Икс = (Икс₁,...,Икс_п) в K^п такой, что ж(Икс) = 0 для всех ж в я. Nullstellensatz Гильберта утверждает, что если п является некоторым полиномом от ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ который обращается в нуль на алгебраическом множестве V (я), т.е. п(Икс) = 0 для всех Икс в V(я), то существует натуральное число р такой, что п^р в я.

Непосредственным следствием является слабый Nullstellensatz: Идеал ${\displaystyle I\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ содержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены из я не имеют общих нулей в K^п. Его также можно сформулировать так: если я настоящий идеал в ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}],}$ тогда V (я) не может быть пустой, т.е. существует общий нуль для всех многочленов идеала в каждом алгебраически замкнутом расширении k. Отсюда и название теоремы, которую легко доказать из «слабой» формы с помощью Трюк Рабиновича. Предположение о рассмотрении общих нулей в алгебраически замкнутом поле здесь существенно; например, элементы собственного идеала (Икс² + 1) в ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ не имеют общего нуля в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Используя обозначения, общие для алгебраической геометрии, Nullstellensatz также можно сформулировать как

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

для каждого идеала J. Здесь, ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ обозначает радикальный из J и я(U) - идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на множестве U.

Таким образом, мы получаем обратный порядок биективный соответствие между алгебраическими множествами в K^п и радикальные идеалы из ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$ Фактически, в более общем смысле Связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры, где "Зариски закрытие "и" радикал порожденного идеала "суть операторы закрытия.

В качестве конкретного примера рассмотрим точку ${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$. потом ${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$. В более общем смысле,

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

И наоборот, каждые максимальный идеал кольца многочленов ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ (Обратите внимание, что ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто) имеет вид ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ для некоторых ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$.

Другой пример: алгебраическое подмножество W в K^п неприводимо (в топологии Зарисского) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle I(W)}$ это главный идеал.

Доказательство и обобщение

Есть много известных доказательств теоремы. Одно доказательство использует Лемма Зарисского, который утверждает, что если поле конечно порожденный как ассоциативная алгебра над полем k, то это конечное расширение поля из k (то есть он также конечно порожден как векторное пространство ). Вот набросок этого доказательства.^[1]

Позволять ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ (k алгебраически замкнутое поле), я идеал А, и V общие нули я в ${\displaystyle k^{n}}$. Четко, ${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$. Позволять ${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$. потом ${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$ для какого-то главного идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$ в А. Позволять ${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ максимальный идеал в ${\displaystyle R}$. По лемме Зарисского ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ является конечным расширением k; таким образом, это k поскольку k алгебраически замкнуто. Позволять ${\displaystyle x_{i}}$ быть изображениями ${\displaystyle t_{i}}$ под естественной картой ${\displaystyle A\to k}$. Следует, что ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$ и ${\displaystyle f(x)\neq 0}$.

Nullstellensatz также тривиально следует из систематического развития Кольца Якобсона, в которой радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Позволять ${\displaystyle R}$ кольцо Якобсона. Если ${\displaystyle S}$ является конечно порожденным р-алгебра, тогда ${\displaystyle S}$ кольцо Якобсона. Далее, если ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subset S}$ - максимальный идеал, то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ - максимальный идеал в R, а ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ является конечным полем расширения ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$.

Другое обобщение утверждает, что строго плоский морфизм схем ${\displaystyle f:Y\to X}$ локально конечного типа с Икс квазикомпакт имеет квази-разрез, т.е. существует ${\displaystyle X'}$ аффинно и точно плоский и квазиконечный над Икс вместе с Икс-морфизм ${\displaystyle X'\to Y}$

Эффективный Nullstellensatz

Во всех своих вариантах Nullstellensatz Гильберта утверждает, что некоторый многочлен грамм принадлежит или нет идеалу, порожденному, скажем, ж₁, ..., ж_k; у нас есть грамм = ж ^р в сильной версии, грамм = 1 в слабой форме. Это означает наличие или отсутствие многочленов грамм₁, ..., грамм_k такой, что грамм = ж₁грамм₁ + ... + ж_kграмм_k. Обычные доказательства Nullstellensatz не являются конструктивными, неэффективными в том смысле, что они не дают возможности вычислить грамм_я.

Таким образом, возникает довольно естественный вопрос, есть ли эффективный способ вычисления грамм_я (и показатель степени р в сильной форме) или доказать, что их не существует. Для решения этой проблемы достаточно дать оценку сверху полной степени грамм_я: такая оценка сводит задачу к конечному система линейных уравнений это может быть решено обычным линейная алгебра техники. Любая такая верхняя граница называется эффективный Nullstellensatz.

Связанная проблема - это проблема идеального членства, который заключается в проверке принадлежности многочлена идеалу. Для этой проблемы также решение обеспечивается верхней границей степени грамм_я. Общее решение проблемы идеального членства дает эффективный Nullstellensatz, по крайней мере, для слабой формы.

В 1925 г. Грета Германн дал верхнюю границу для проблемы идеального членства, которая является дважды экспоненциальной по количеству переменных. В 1982 году Майр и Мейер привели пример, когда грамм_я имеют степень, по крайней мере, двойную экспоненциальную, что показывает, что каждая общая верхняя граница для проблемы идеального членства является дважды экспоненциальной по количеству переменных.

Поскольку большинство математиков в то время считали, что эффективный Nullstellensatz по крайней мере так же сложен, как идеальное членство, немногие математики искали оценку лучше, чем двойная экспонента. Однако в 1987 г. В. Дейл Браунауэлл дали верхнюю границу для эффективного Nullstellensatz, который просто экспоненциально зависит от числа переменных.^[2] Доказательство Браунавелла основывалось на аналитических методах, применимых только для характеристики 0, но год спустя Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство, справедливое для любой характеристики, несколько лучшей оценки.

В случае слабого Nullstellensatz оценка Коллара следующая:^[3]

Позволять ж₁, ..., ж_s быть полиномами от п ≥ 2 переменные общей степени d₁ ≥ ... ≥ d_s. Если существуют многочлены грамм_я такой, что ж₁грамм₁ + ... + ж_sграмм_s = 1, то их можно выбрать так, чтобы

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Эта оценка оптимальна, если все степени больше 2.

Если d это максимум из степеней ж_я, эту оценку можно упростить до

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

Результат Коллара был улучшен несколькими авторами. По состоянию на 14 октября 2012 г.^{[Обновить]}, лучшее улучшение, благодаря M. Sombra, это^[4]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Его оценка улучшает оценку Коллара, как только по крайней мере две из участвующих степеней ниже 3.

Проективный Nullstellensatz

Мы можем сформулировать определенное соответствие между однородными идеалами многочленов и алгебраическими подмножествами проективного пространства, называемое проективный Nullstellensatz, аналогичное аффинному. Для этого введем некоторые обозначения. Позволять ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$ Однородный идеал,

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

называется максимальный однородный идеал (смотрите также неуместный идеал ). Как и в аффинном случае, пусть: для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ и однородный идеал я из р,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

К ${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$ мы имеем в виду: для любых однородных координат ${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$ точки S у нас есть ${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$. Это означает, что однородные компоненты ж также равны нулю на S и таким образом ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ является однородным идеалом. Эквивалентно ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ однородный идеал, порожденный однородными многочленами ж которые исчезают на S. Теперь для любого однородного идеала ${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$, согласно обычному Nullstellensatz, мы имеем:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

и так, как и в аффинном случае, имеем:^[5]

Существует взаимно однозначное соответствие между собственными однородными радикальными идеалами р и подмножества ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ формы ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$ Соответствие дается ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$ и ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

Аналитический Nullstellensatz

Нуллстеллензац также имеет место для ростков голоморфных функций в точке комплексного п-Космос ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Точно для каждого открытого подмножества ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$ позволять ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$ обозначим кольцо голоморфных функций на U; тогда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$ это пучок на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Стебель ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ при, скажем, начало координат может быть показано как Нётерян местное кольцо это уникальная область факторизации.

Если ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ - росток, представленный голоморфной функцией ${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$, тогда пусть ${\displaystyle V_{0}(f)}$ - класс эквивалентности множества

${\displaystyle \left\{z\in U|{\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

где два подмножества ${\displaystyle X,Y\subset \mathbb {C} ^{n}}$ считаются эквивалентными, если ${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ для некоторого района U из 0. Примечание ${\displaystyle V_{0}(f)}$ не зависит от выбора представителя ${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$ Для каждого идеала ${\displaystyle I\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$ позволять ${\displaystyle V_{0}(I)}$ обозначать ${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$ для некоторых генераторов ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ из я. Это четко определено; т.е. не зависит от выбора генераторов.

Для каждого подмножества ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$, позволять

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}|V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Легко заметить, что ${\displaystyle I_{0}(X)}$ это идеал ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ и это ${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ если ${\displaystyle X\sim Y}$ в рассмотренном выше смысле.

В аналитический Nullstellensatz затем заявляет:^[6] для каждого идеала ${\displaystyle I\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$,

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

где левая часть - это радикальный из я.

Смотрите также

• Positivstellensatz Стенгла
• Дифференциальный Nullstellensatz
• Комбинаторный Nullstellensatz
• Лемма Артина – Тейта.
• Настоящий радикал
• Ограниченный степенной ряд # алгебра Тейта, для алгебр Тейта выполняется аналог гильбертовского нульстеллензаца.

Примечания

1. Атья-Макдональд 1969, Гл. 7 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAtiyah – MacDonald1969 (помощь)
2. Браунавелл, В. Дейл (1987), "Границы степеней в Nullstellensatz", Анна. математики., 126 (3): 577–591, Дои:10.2307/1971361, МИСТЕР  0916719
3. Коллар, Янош (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF), Журнал Американского математического общества, 1 (4): 963–975, Дои:10.2307/1990996, МИСТЕР  0944576, заархивировано из оригинал (PDF) на 2014-03-03, получено 2012-10-14
4. Сомбра, Мартин (1999), "Редкий эффективный Nullstellensatz", Успехи в прикладной математике, 22 (2): 271–295, arXiv:alg-geom / 9710003, Дои:10.1006 / aama.1998.0633, МИСТЕР  1659402
5. Эта формулировка взята из Милна, Алгебраическая геометрия. [1] и отличается от Хартсхорн 1977, Гл. I, упражнение 2.4
6. Huybrechts, Предложение 1.1.29. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHuybrechts (помощь)

Рекомендации

• Дж. М. Альмира, Возвращение к Nullstellensatz, Ренд. Сем. Мат. Univ. Pol. Турин - Том. 65 (3) (2007) 365-369
• М. Атия, I.G. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон – Уэсли, 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули. Кембриджские исследования по высшей математике. 81. Уильям Оксбери (пер.). п. 82. ISBN  0-521-80906-1.
• Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1999.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: введение. Springer. ISBN  3-540-21290-6.