Дегенс восьмиквадратная идентичность - Degens eight-square identity

В математика, Восьмиугольная личность Дегена устанавливает, что произведение двух чисел, каждое из которых представляет собой сумму восьми квадратов, само является суммой восьми квадратов.

{ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = }

{ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2}}

Впервые обнаружен Карл Фердинанд Деген около 1818 года личность была независимо открыта заново Джон Томас Грейвс (1843) и Артур Кэли (1845 г.). Последние два получили его, работая над расширением кватернионы называется октонионы. В алгебраические термины идентичность означает, что норма произведения двух октонионов равно произведению их норм: ${ Displaystyle | ab | = | а | | b |}$ . Аналогичные утверждения верны для кватернионов (Тождество Эйлера с четырьмя квадратами ), комплексные числа ( Тождество двух квадратов Брахмагупты – Фибоначчи ) и действительные числа. В 1898 г. Адольф Гурвиц доказал, что нет подобных билинейный айдентика на 16 квадратов (седенионы ) или любое другое количество квадратов, кроме 1,2,4 и 8. Однако в 1960-х Х. Цассенхаус, У. Эйххорн и А. Пфистер (независимо) показали, что может существовать небилинейное тождество для 16 квадратов.

Обратите внимание, что каждый квадрант сводится к версии Тождество Эйлера с четырьмя квадратами:

{ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}}

и то же самое для остальных трех квадрантов. К Теорема Пфистера, можно задать тождество с восьмью квадратами другого типа, где ${ displaystyle z_ {i}}$ , вводимые ниже, небилинейны и просто рациональные функции из ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ . Таким образом,