Тождество Эйлера с четырьмя квадратами - Eulers four-square identity

В математика, Тождество Эйлера с четырьмя квадратами говорит, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой четырех квадраты, представляет собой сумму четырех квадратов.

Алгебраическая идентичность

Для любой пары четверок из коммутативное кольцо, следующие выражения равны:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.}$

Эйлер писал об этом тождестве в письме от 4 мая 1748 г. Гольдбах^[1][2] (но он использовал другое соглашение о знаках, чем указано выше). Это можно проверить с помощью элементарная алгебра.

Идентификатор использовался Лагранж чтобы доказать его теорема о четырех квадратах. Более конкретно, из этого следует, что достаточно доказать теорему для простые числа, после чего следует более общая теорема. Используемое выше соглашение о знаках соответствует знакам, полученным путем умножения двух кватернионов. Другие условные обозначения знаков можно получить, изменив любое ${\displaystyle a_{k}}$ к ${\displaystyle -a_{k}}$, и / или любой ${\displaystyle b_{k}}$ к ${\displaystyle -b_{k}}$.

Если ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle b_{k}}$ находятся действительные числа, тождество выражает тот факт, что абсолютное значение произведения двух кватернионы равна произведению их абсолютных значений, так же, как Тождество двух квадратов Брахмагупты – Фибоначчи делает для сложные числа. Это свойство является отличительной чертой композиционные алгебры.

Теорема Гурвица утверждает, что идентичность формы,

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+...+c_{n}^{2}}$

где ${\displaystyle c_{i}}$ находятся билинейный функции ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ возможно только для п = 1, 2, 4 или 8.

Подтверждение личности с помощью кватернионов

Позволять ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$ и ${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$ быть парой кватернионов. Их кватернионными конъюгатами являются ${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$ и ${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$. потом

${\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$

и

${\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}}$.

Продукт этих двух ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$, куда ${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$ вещественное число, поэтому оно может переключаться с кватернионом ${\displaystyle \alpha ^{*}}$, уступая

${\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}}$.

Выше скобки не нужны, потому что кватернионы ассоциировать. Сопряжение продукта равно коммутируемому произведению конъюгатов факторов продукта, поэтому

${\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ это Гамильтон продукт из ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle \gamma =(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle )(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle )}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.}$

потом

${\displaystyle \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i-(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k}$

и

${\displaystyle AB=\gamma \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.}$

(Если ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$ куда ${\displaystyle r}$ - скалярная часть и ${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$ - векторная часть, то ${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$ так ${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.}$)

Личность Пфистера

Пфистер нашел еще одно квадратное обозначение любой четной силы:^[3]

Если ${\displaystyle c_{i}}$ просто рациональные функции одного набора переменных, так что каждый ${\displaystyle c_{i}}$ имеет знаменатель, то это возможно для всех ${\displaystyle n=2^{m}}$.

Таким образом, еще одно тождество из четырех квадратов выглядит следующим образом:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}}$

куда ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{2}}$ даны

${\displaystyle u_{1}=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}}$

${\displaystyle u_{2}=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}}$

Кстати, верно и следующее тождество:

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^{2}+b_{4}^{2})}$

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи (суммы двух квадратов)
• Восьмиугольная личность Дегена
• Личность Пфистера на шестнадцати квадратах
• Латинский квадрат

Рекомендации

1. Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие, R.E. Брэдли и С.Э. Сандифер (редакторы), Elsevier, 2007, стр. 193
2. Математическая эволюция, А. Шеницер и Дж. Стиллвелл (ред.), Math. Доц. Америка, 2002, стр. 174
3. Кейт Конрад Теорема Пфистера о суммах квадратов из Университет Коннектикута

внешняя ссылка

• Коллекция алгебраических тождеств
• [1] Lettre CXV от Эйлера до Гольдбаха