Конверт (волны) - Envelope (waves)

Функции верхней и нижней огибающей для модулированной синусоидальной волны.

В физика и инженерное дело, то конверт из колеблющийся сигнал представляет собой плавную кривую, очерчивающую ее крайности.^[1] Таким образом, оболочка обобщает концепцию постоянной амплитуда в мгновенная амплитуда. На рисунке показан модулированный синусоидальная волна варьируется между верхним и нижним конвертом. Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.

Пример: бьющиеся волны

Смотрите также: Beat (акустика)

Модулированная волна, полученная в результате сложения двух синусоидальных волн почти одинаковой длины и частоты.

Обычная ситуация, приводящая к огибающей функции в обоих пространствах Икс и время т представляет собой суперпозицию двух волн почти одинаковой длины волны и частоты:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

который использует тригонометрическую формулу для сложение двух синусоидальных волн, а приближение Δλ ≪ λ:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Здесь длина волны модуляции λ_мод дан кем-то:^[2][3]

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

Длина волны модуляции вдвое больше длины самой огибающей, потому что каждая полуволна модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Аналогичным образом частота биений огибающей, в два раза больше модулирующей волны, или 2Δж.^[4]

Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с ж и амплитуда этого звука зависит от частоты ударов.^[4]

Фаза и групповая скорость

Основные статьи: Фазовая скорость и Групповая скорость

Смотрите также: Волна § Фазовая скорость и групповая скорость

Красный квадрат движется вместе с фазовая скорость, а зеленые кружки распространяются вместе с групповая скорость.

Аргумент синусоид выше, не считая фактора 2π находятся:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

с индексами C и E ссылаясь на перевозчик и конверт. Такая же амплитуда F волны получается из тех же значений ξ_C и ξ_E, каждый из которых может сам возвращаться к одному и тому же значению при разных, но должным образом связанных вариантах Икс и т. Эта инвариантность означает, что можно проследить эти формы волны в пространстве, чтобы найти скорость положения фиксированной амплитуды, когда оно распространяется во времени; для того, чтобы аргумент несущей волны оставался неизменным, выполняется условие:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

что показывает сохранение постоянной амплитуды расстояния ΔИкс связана с интервалом времени Δт так называемым фазовая скорость v_п

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

С другой стороны, те же соображения показывают, что огибающая распространяется в так называемом групповая скорость v_грамм:^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

Более общее выражение для групповой скорости получается введением волновой вектор k:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

Заметим, что при малых изменениях Δλ, величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δk, является:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

поэтому групповая скорость может быть переписана как:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

куда ω частота в радианах / с: ω = 2πж. Во всех средах частота и волновой вектор связаны соотношением соотношение дисперсии, ω = ω(k), а групповую скорость можно записать:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

Соотношение дисперсии ω = ω (k) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.^[6]

В среде, такой как классический вакуум уравнение дисперсии для электромагнитных волн:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

куда c₀ это скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c₀.

В так называемом дисперсионные среды в соотношение дисперсии может быть сложной функцией волнового вектора, а фазовая и групповая скорости не совпадают. Например, для нескольких типов волн, проявляемых колебаниями атомов (фононы ) в GaAs на рисунке показаны дисперсионные соотношения для различные направления волнового вектора k. В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления.^[7]

Пример: приближение огибающей функции

Смотрите также: k · p теория возмущений

Вероятности электронов в двух нижних квантовых состояниях квантовой ямы 160À GaAs в GaAs-GaAlAs гетероструктура как рассчитано из огибающих функций.^[8]

В физика конденсированного состояния энергия собственная функция для мобильного носителя заряда в кристалле можно выразить как Волна Блоха:

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

куда п - индекс зоны (например, зоны проводимости или валентной зоны) р это пространственное расположение, и k это волновой вектор. Экспонента - это синусоидально изменяющаяся функция, соответствующая медленно меняющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции. ты_п,k описывающее поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Конверт ограничен k-значения в диапазоне, ограниченном Зона Бриллюэна кристалла, и это ограничивает скорость его изменения в зависимости от местоположения. р.

При определении поведения носителей с помощью квантовая механика, то аппроксимация конверта обычно используется, в котором Уравнение Шредингера упрощено и относится только к поведению огибающей, а граничные условия применяются непосредственно к огибающей функции, а не ко всей волновой функции.^[9] Например, волновая функция носителя, захваченного около примеси, определяется огибающей функцией F который управляет суперпозицией функций Блоха:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

где фурье-компоненты огибающей F(k) находятся из приближенного уравнения Шредингера.^[10] В некоторых приложениях периодическая часть ты_k заменяется его значением около края полосы, скажем k=k₀, а потом:^[9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

Пример: дифракционные картины

Смотрите также: Дифракция

Дифракционная картина от двойной щели имеет одинарную огибающую.

Дифракционные картины от нескольких щелей огибающие определяются дифракционной картиной с одной щелью. Для одиночной щели образец определяется следующим образом:^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

где α - угол дифракции, d - ширина щели, λ - длина волны. Для нескольких прорезей шаблон ^[11]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

куда q - количество щелей, а грамм - постоянная решетки. Первый фактор, однощелевой результат я₁, модулирует более быстро меняющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и их расстояния.

Смотрите также

• Сложный конверт
• Разложение по эмпирическим модам
• Конверт (математика)
• Детектор конверта
• Отслеживание конвертов
• Мгновенная фаза
• Модуляция
• Математика колебаний
• Пиковая мощность огибающей
• Спектральная огибающая

Рекомендации

1. К. Ричард Джонсон-младший; Уильям А. Сетхарес; Эндрю Г. Кляйн (2011). «Рисунок C.1: Огибающая функции плавно очерчивает ее экстремумы». Разработка программного приемника: создайте собственную систему цифровой связи за пять простых шагов. Издательство Кембриджского университета. п. 417. ISBN  0521189446.
2. Блэр Кинсман (2002). Ветровые волны: их зарождение и распространение на поверхности океана (Перепечатка изд. Prentice-Hall 1965). Courier Dover Publications. п. 186. ISBN  0486495116.
3. Марк В. Денни (1993). Воздух и вода: биология и физика среды обитания. Princeton University Press. стр.289. ISBN  0691025185.
4. Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2008). Физика для ученых и инженеров, Том 1 (6-е изд.). Макмиллан. п. 538. ISBN  142920124X.
5. Питер В. Милонни; Джозеф Х. Эберли (2010). «§8.3 Групповая скорость». Лазерная физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 336. ISBN  0470387718.
6. Петр Юрьевич; Мануэль Кардона (2010). «Рис. 3.2: Дисперсионные кривые фононов в GaAs вдоль осей высокой симметрии». Основы полупроводников: физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. п. 111. ISBN  3642007090.
7. В. Червени; Властислав Червены (2005). «§2.2.9 Связь векторов фазовой и групповой скорости». Теория сейсмических лучей. Издательство Кембриджского университета. п. 35. ISBN  0521018226.
8. G Bastard; JA Brum; Р. Феррейра (1991). "Рисунок 10 в Электронные состояния в полупроводниковых гетероструктурах ». В Генри Эренрайх; Дэвид Тернбулл (ред.). Физика твердого тела: полупроводниковые гетероструктуры и наноструктуры. п. 259. ISBN  0126077444.
9. Кристиан Шюллер (2006). «§2.4.1 Приближение огибающей функции (EFA)». Неупругое рассеяние света полупроводниковыми наноструктурами: основы и последние достижения. Springer. п. 22. ISBN  3540365257.
10. Например, см. Марко Фанчулли (2009). «§1.1 Приближение огибающей функции». Электронный спиновой резонанс и связанные с ним явления в низкоразмерных структурах. Springer. стр.224 ff. ISBN  354079364X.
11. Кордт Грипенкерль (2002). "Распределение интенсивности при дифракции на щели и Картина интенсивности для дифракции на решетке ". У Джона У. Харриса; Уолтера Бененсона; Хорста Штекера; Хольгера Лутца (ред.). Справочник по физике. Springer. стр.306 ff. ISBN  0387952691.

В этой статье использованы материалы из Citizendium статья "Функция конверта "под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Непортированная лицензия но не под GFDL.