Фазовая скорость - Phase velocity

Частотная дисперсия в группах гравитационные волны на поверхности глубокой воды. В красный квадрат движется вместе с фазовая скорость, а зеленые круги распространяются вместе с групповая скорость. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости. Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.

Кажется, что новые волны возникают позади группы волн, растут по амплитуде, пока не окажутся в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой.

Распространение волнового пакета с фазовой скоростью, превышающей групповую скорость, без дисперсии.

Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. Групповая скорость положительна, а фазовая скорость отрицательна.^[1]

В фазовая скорость из волна скорость, с которой волна размножается в какой-то среде. Это скорость на котором фаза любого частота составляющая волновых перемещений. Для такого компонента любая заданная фаза волны (например, гребень ) будет двигаться с фазовой скоростью. Фазовая скорость выражается через длина волны $λ$ (лямбда) и временной период $Т$ в качестве

{displaystyle v_ {mathrm {p}} = {frac {lambda} {T}}.}

Эквивалентно, с точки зрения волн угловая частота $ω$ , который определяет угловое изменение в единицу времени, и волновое число (или угловое волновое число) $k$ , который представляет собой пропорциональность угловой частоты $ω$ и линейная скорость (скорость распространения) ν_$п$,

{displaystyle v_ {mathrm {p}} = {frac {omega} {k}}.}

Чтобы понять, откуда взялось это уравнение, рассмотрим основной косинусная волна, $А cos (kx - ωt)$ . По истечении времени $т$ , источник произвел $ωt / 2π = ft$ колебания. За это же время начальный волновой фронт распространился от источника в пространстве на расстояние $Икс$ чтобы уместить такое же количество колебаний, $kx = ωt$ .

Таким образом, скорость распространения v является $v = Икс / т = ω / k$ . Волна должна распространяться быстрее, когда колебания более высокой частоты распространяются в пространстве менее плотно, если только длина волны компенсаторно укорачивается.^[2] Формально, $Φ = kx - ωt$ фаза, где

{displaystyle {frac {partial x} {partial t}} = - {frac {partial Phi / partial t} {partial Phi / partial x}}.}

С $ω = -d Φ / д т$ и $k = + d Φ / д Икс$ , скорость волны равна $v = d Икс / д т = ω / k$ .

Связь с групповой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

Суперпозиция одномерных плоских волн (синие), каждая из которых движется с разной фазовой скоростью (обведена синими точками), приводит к гауссовскому волновому пакету (красный), который распространяется с групповой скоростью (обведен красной линией).

Поскольку чистая синусоида не может передавать никакой информации, некоторые изменения амплитуды или частоты, известные как модуляция, необходимо. Комбинируя два синуса с немного разными частотами и длинами волн,

{displaystyle {egin {выровнено} & cos [(k-Delta k) x- (omega -Delta omega) t]; +; cos [(k + Delta k) x- (omega + Delta omega) t] & = 2 ; cos (Delta kx-Delta omega t); cos (kx-omega t), конец {выровнен}}}

амплитуда становится синусоидой с фаза скорость $Δ ω / Δ k$ . Именно эта модуляция представляет содержание сигнала. Поскольку каждая амплитуда конверт содержит группу внутренних волн, эту скорость обычно называют групповая скорость, v_грамм.^[2]

В данной среде частота является некоторой функцией $ω (k)$ волнового числа, так что в общем случае фазовая скорость $v п = ω / k$ и групповая скорость $v грамм = d ω / д k$ зависят от частоты и среды. Отношение скорости света c к фазовой скорости v_п известен как показатель преломления, $п = c / v п = ск / ω$ .

Взяв производную от $ω = ск / п$ относительно $k$ , даст групповая скорость,

{displaystyle {frac {{ext {d}} omega} {{ext {d}} k}} = {frac {c} {n}} - {frac {ck} {n ^ {2}}} cdot {frac {{ext {d}} n} {{ext {d}} k}} ~.}

за исключением того, что нельзя создать группу только с конечным числом волновых частот / волновых векторов. (То есть: оболочка в такой ситуации меняет форму так быстро, что групповая скорость теряет смысл.) $c / п = v п$ , указывает, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления является постоянным. $d п / д k = 0$ , и в этом случае фазовая скорость и групповая скорость не зависят от частоты, $ω / k = d ω / д k = c / п$ .^[2]

В противном случае и фазовая скорость, и групповая скорость изменяются с частотой, и среда называется диспергирующий; Соотношение $ω = ω (k)$ известен как соотношение дисперсии среды.

Групповая скорость электромагнитное излучение может - при определенных обстоятельствах (например, аномальная дисперсия ) - превышают скорость света в вакууме, но это не означает сверхсветовой передача информации или энергии.^{[нужна цитата ]} Теоретически это описали такие физики, как Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн.

Фазовая скорость - Phase velocity

Содержание

Связь с групповой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

Смотрите также

Рекомендации

Сноски

Библиография