K · p теория возмущений - K·p perturbation theory

В физика твердого тела, то k · p теория возмущений приближенный полуэмпирический подход для расчета ленточная структура (особенно эффективная масса ) и оптические свойства кристаллических твердых тел.^[1][2][3] Это произносится как «к точка р», а также называется «k · p метод ". Эта теория была применена именно в рамках Модель Латтинджера – Кона (после Хоакин Маздак Латтинджер и Уолтер Кон ), а также Модель Кейна (после Эван О. Кейн ).

Предпосылки и происхождение

Теорема Блоха и волновые векторы

Смотрите также: Состояние Блоха

В соответствии с квантовая механика (в одноэлектронное приближение ), квазисвободный электроны в любом твердом теле характерны волновые функции которые являются собственными состояниями следующих стационарных Уравнение Шредингера:

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

куда п это квантово-механический оператор импульса, V это потенциал, и м - вакуумная масса электрона. (Это уравнение не учитывает спин-орбитальный эффект; Смотри ниже.)

В кристаллическое твердое вещество, V это периодическая функция, с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Теорема Блоха доказывает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать следующим образом:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

куда k вектор (называемый волновой вектор), п дискретный индекс (называемый группа индекс), и ты_п,k является функцией с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.

Для любого данного пассоциированные состояния называются группа. В каждой полосе будет связь между волновым вектором k и энергия государства E_п,k, называется полосовая дисперсия. Расчет этой дисперсии - одно из основных приложений k·п теория возмущений.

Теория возмущений

Смотрите также: Теория возмущений (квантовая механика)

Периодическая функция ты_п,k удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера (просто прямому разложению уравнения Шредингера с волновой функцией типа Блоха):^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

где Гамильтониан является

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Обратите внимание, что k - вектор, состоящий из трех действительных чисел размерности обратная длина, пока п - вектор операторов; чтобы быть точным,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

В любом случае мы запишем этот гамильтониан как сумму двух членов:

${\displaystyle H=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

Это выражение является основой для теория возмущений. «Невозмущенный гамильтониан» есть ЧАС₀, что фактически равно точному гамильтониану в точке k = 0 (т. Е. На гамма-точка ). "Возмущение" - это термин ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$. Результат анализа называется "k · p теория возмущений », благодаря члену, пропорциональному k · p. Результатом этого анализа является выражение для E_п,k и ты_п,k с точки зрения энергий и волновых функций при k = 0.

Обратите внимание, что термин "возмущение" ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$ становится все меньше по мере того, как k приближается к нулю. Следовательно, теория возмущений k · p наиболее точна для малых значений k. Однако, если в пертурбативное расширение, то теория может быть достаточно точной для любого значения k в целом Зона Бриллюэна.

Выражение невырожденной полосы

Для невырожденной зоны (т. Е. Зоны, имеющей другую энергию при k = 0 из любой другой полосы), с экстремум в k = 0, а без спин-орбитальная связь, результат k·п теория возмущений (к низший нетривиальный порядок ):^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

С k является вектором действительных чисел (а не вектором более сложных линейных операторов), матричный элемент в этих выражениях можно переписать как:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

Следовательно, можно рассчитать энергию при любой k используя только несколько неизвестные параметры, а именно E_п,0 и ${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$. Последние называются «оптическими матричными элементами», тесно связанными с переходные дипольные моменты. Эти параметры обычно выводятся из экспериментальных данных.

На практике сумма более п часто включает только ближайшую одну или две полосы, поскольку они, как правило, являются наиболее важными (из-за знаменателя). Однако для повышения точности, особенно при больших kнеобходимо включить больше полос, а также больше членов в пертурбативном разложении, чем написано выше.

Эффективная масса

Основная статья: Эффективная масса (физика твердого тела)

Используя приведенное выше выражение для уравнения дисперсии энергии, можно найти упрощенное выражение для эффективной массы в зоне проводимости полупроводника.^[3] Для аппроксимации дисперсионного соотношения в случае зоны проводимости возьмем энергию E_n0 как минимальная энергия зоны проводимости E_c0 и включать в суммирование только члены с энергиями, близкими к максимуму валентной зоны, где разница энергий в знаменателе наименьшая. (Эти члены вносят наибольший вклад в суммирование.) Этот знаменатель затем аппроксимируется как ширина запрещенной зоны E_грамм, что приводит к выражению энергии:

${\displaystyle E_{c}({\boldsymbol {k}})\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle |^{2}}}$

Тогда эффективная масса в направлении ℓ равна:

${\displaystyle {\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}}+{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }}$

Игнорирование деталей матричных элементов приводит к тому, что ключевыми последствиями являются то, что эффективная масса изменяется с наименьшей шириной запрещенной зоны и стремится к нулю, когда щель стремится к нулю.^[3] Полезное приближение для матричных элементов в прямой разрыв полупроводники это:^[4]

${\displaystyle {\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}}\ ,}$

что применимо в пределах примерно 15% или лучше к большинству полупроводников групп IV, III-V и II-VI.^[5]

В отличие от этого простого приближения, в случае энергии валентной зоны спин-орбита необходимо ввести взаимодействие (см. ниже) и индивидуально рассмотреть еще много групп. Расчет представлен в Ю. и Кардона.^[6] В валентной зоне операторы мобильной связи дыры. Было обнаружено, что есть два типа отверстий, названных тяжелый и свет, с анизотропными массами.

k · p модель со спин-орбитальным взаимодействием

В том числе спин-орбитальное взаимодействие, уравнение Шредингера для ты является:^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

куда^[7]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

куда ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ вектор, состоящий из трех Матрицы Паули. Этот гамильтониан можно подвергнуть тому же анализу теории возмущений, что и выше.

Расчет в вырожденном случае

Для вырожденных или почти вырожденных полос, в частности валентные полосы в определенных материалах, таких как арсенид галлия, уравнения могут быть проанализированы методами вырожденная теория возмущений.^[1][2] Модели этого типа включают "Модель Латтинджера – Кона "(также известная как" модель Кона – Латтинджера "),^[8] и "Модель Кейна ".^[7]

Как правило, эффективный гамильтониан ${\displaystyle H^{\rm {eff}}}$ вводится, и в первом порядке его матричные элементы могут быть выражены как

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle }$

После ее решения получаются волновые функции и энергетические зоны.

Смотрите также

Электронная зонная структура Электронная зонная структура Модель почти свободных электронов Модель Кронига – Пенни Свойства браслета Ширина запрещенной зоны Эффективная масса Плотность состояний Поверхность Ферми

Волновые функции Функции Ванье Теорема Блоха Фундаментальная теория Уравнения Кона – Шэма Приближение локальной плотности

Примечания и ссылки

1. П. Ю., М. Кардона (2005). Основы полупроводников: физика и свойства материалов (3-е изд.). Springer. Раздел 2.6, стр. 68 ff '. ISBN  3-540-25470-6.
2. К. Киттель (1987). Квантовая теория твердого тела (Второе исправленное издание - ред.). Нью-Йорк: Wiley. стр.186 –190. ISBN  0-471-62412-8.
3. У. П. Харрисон (1989) [1980]. Электронная структура и свойства твердых тел. (Перепечатка ред.). Dover Publications. стр.158ff. ISBN  0-486-66021-4.
4. А прямой разрыв полупроводник - это тот, в котором максимум валентной зоны и минимум зоны проводимости находятся в одном месте в k-пространство, обычно это так называемая Γ-точка, где k = 0.
5. Видеть Таблица 2.22 в Ю и Кардона, op. соч.
6. См Ю и Кардона, op. соч. стр. 75–82
7. Эван О. Кейн (1957). «Зонная структура антимонида индия». Журнал физики и химии твердого тела. 1: 249. Bibcode:1957JPCS .... 1..249K. Дои:10.1016/0022-3697(57)90013-6.
8. Дж. М. Латтинджер, В. Кон (1955). «Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях». Физический обзор. 97: 869. Bibcode:1955ПхРв ... 97..869Л. Дои:10.1103 / PhysRev.97.869.