Приближение пустой решетки - Empty lattice approximation

В приближение пустой решетки теоретический электронная зонная структура модель, в которой потенциал периодический и слабый (близка к постоянной). Можно также считать пустой^{[требуется разъяснение ]} нерегулярная решетка, в которой потенциал даже не периодичен.^[1] Приближение пустой решетки описывает ряд свойств энергодисперсионных соотношений невзаимодействующих свободные электроны которые проходят через кристаллическая решетка. Энергия электронов в «пустой решетке» такая же, как энергия свободных электронов. Модель полезна, поскольку она ясно иллюстрирует ряд иногда очень сложных особенностей соотношений дисперсии энергии в твердых телах, которые являются фундаментальными для всех электронных зонных структур.

Рассеяние и периодичность

Зоны свободных электронов в одномерной решетке

Периодический потенциал решетки в этой модели свободных электронов должен быть слабым, потому что в противном случае электроны не были бы свободными. Сила рассеяния в основном зависит от геометрии и топологии системы. Топологически определенные параметры, например рассеяние поперечные сечения, зависят от величины потенциала и размера потенциальная яма. Для 1-, 2- и 3-мерных пространств потенциальные ямы всегда рассеивают волны, независимо от того, насколько малы их потенциалы, каковы их знаки или насколько ограничены их размеры. Для частицы в одномерной решетке, такой как Модель Кронига – Пенни, можно рассчитать зонную структуру аналитически, подставив значения для потенциала, шага решетки и размера потенциальной ямы.^[2] Для двумерных и трехмерных задач сложнее точно рассчитать ленточную структуру на основе аналогичной модели с несколькими параметрами. Тем не менее свойства зонной структуры в большинстве областей легко аппроксимировать формулой методы возмущения.

Теоретически решетка бесконечно велика, поэтому слабый периодический потенциал рассеяния в конечном итоге будет достаточно сильным, чтобы отразить волну. Процесс рассеяния приводит к хорошо известному Размышления Брэгга электронов периодическим потенциалом Кристальная структура. Отсюда периодичность дисперсионного соотношения и деление k-пространство в зонах Бриллюэна. Соотношение периодической дисперсии энергии выражается как:

{ displaystyle E_ {n} ( mathbf {k}) = { frac { hbar ^ {2} ( mathbf {k} + mathbf {G} _ {n}) ^ {2}} {2m} }}

В ${ displaystyle mathbf {G} _ {n}}$ являются обратная решетка векторы, к которым полосы^{[требуется разъяснение ]} ${ Displaystyle E_ {п} ( mathbf {k})}$ принадлежать.

На рисунке справа показано дисперсионное соотношение для трех периодов в обратном пространстве одномерной решетки с ячейками длины а.

Энергетические зоны и плотность состояний

В одномерной решетке число векторов обратной решетки ${ displaystyle mathbf {G} _ {n}}$ которые определяют полосы в интервале энергий, ограничивается двумя, когда энергия возрастает. В двумерных и трехмерных решетках количество векторов обратной решетки, определяющих зоны свободных электронов ${ Displaystyle E_ {п} ( mathbf {k})}$ увеличивается быстрее, когда увеличивается длина волнового вектора и растет энергия. Это связано с тем, что количество векторов обратной решетки ${ displaystyle mathbf {G} _ {n}}$ которые лежат в интервале ${ displaystyle [ mathbf {k}, mathbf {k} + d mathbf {k}]}$ увеличивается. В плотность состояний в энергетическом интервале ${ displaystyle [E, E + dE]}$ зависит от количества состояний в интервале ${ displaystyle [ mathbf {k}, mathbf {k} + d mathbf {k}]}$ в обратном пространстве и наклон дисперсионного соотношения ${ Displaystyle E_ {п} ( mathbf {k})}$ .

Рисунок 3: DOS свободных электронов в 3-мерном k-пространстве

Хотя ячейки решетки не являются сферически симметричными, дисперсионное соотношение по-прежнему имеет сферическую симметрию с точки зрения фиксированной центральной точки в ячейке обратной решетки, если дисперсионное соотношение распространяется за пределы центральной зоны Бриллюэна. В плотность состояний в трехмерной решетке будет такой же, как и в случае отсутствия решетки. Для трехмерного случая плотность состояний ${ Displaystyle D_ {3} влево (Е вправо)}$ является;

{ displaystyle D_ {3} left (E right) = 2 pi { sqrt { frac {E-E_ {0}} {c_ {k} ^ {3}}}} .}

В трехмерном пространстве границы зоны Бриллюэна - плоскости. Дисперсионные соотношения показывают коники парабол энергетической дисперсии свободных электронов для всех возможных векторов обратной решетки. Это приводит к очень сложному набору пересечений кривых при вычислении дисперсионных соотношений, поскольку существует большое количество возможных углов между оценочными траекториями, границами зоны Бриллюэна первого и более высокого порядка и конусами пересечения дисперсионных парабол.

Вторая, третья и высшие зоны Бриллюэна

Зона Бриллюэна FCC

«Свободные электроны», движущиеся по решетке твердого тела с волновыми векторами. ${ displaystyle mathbf {k}}$ далеко за пределами первой зоны Бриллюэна все еще отражаются обратно в первую зону Бриллюэна. Увидеть внешняя ссылка раздел для сайтов с примерами и рисунками.

Модель почти свободных электронов

В большинстве простые металлы, подобно алюминий, то экранирующий эффект сильно уменьшает электрическое поле ионов в твердом теле. Электростатический потенциал выражается как

{ displaystyle V (r) = { frac {Ze} {r}} e ^ {- qr}}

куда Z это атомный номер, е - элементарный заряд единицы, р - расстояние до ядра внедренного иона и q - параметр экранирования, определяющий диапазон потенциала. В преобразование Фурье, ${ Displaystyle U _ { mathbf {G}}}$ , потенциала решетки, ${ Displaystyle V ( mathbf {r})}$ , выражается как

{ Displaystyle U _ { mathbf {G}} = { frac {4 pi Ze} {q ^ {2} + G ^ {2}}}}

Когда значения недиагональных элементов ${ Displaystyle U _ { mathbf {G}}}$ между векторами обратной решетки в гамильтониане почти равны нулю. В результате величина запрещенной зоны ${ displaystyle 2 | U _ { mathbf {G}} |}$ коллапсирует, и получается приближение пустой решетки.

Электронные зоны обычных металлических кристаллов

За исключением нескольких экзотических исключений, металлы кристаллизоваться в трех видах кристаллических структур: BCC и FCC кубические кристаллические структуры и шестиугольник плотно упакованный HCP Кристальная структура.