Решетка непересекающаяся - Lattice disjoint

В математике, особенно в теория порядка и функциональный анализ, два элемента Икс и у из векторная решетка Икс находятся решетка непересекающаяся или просто непересекающийся если ${\displaystyle \inf \left\{|x|,|y|\right\}=0}$, в этом случае мы пишем ${\displaystyle x\perp y}$, где абсолютная величина из Икс определяется как ${\displaystyle |x|:=\sup \left\{x,-x\right\}}$.^[1] Мы говорим, что два набора А и B находятся решетка непересекающаяся или же непересекающийся если а и б не пересекаются для всех а в А и все б в B, в этом случае мы пишем ${\displaystyle A\perp B}$.^[2] Если А это одноэлементный набор ${\displaystyle \{a\}}$ тогда мы напишем ${\displaystyle a\perp B}$ на месте ${\displaystyle \{a\}\perp B}$. Для любого набора А, мы определяем непересекающееся дополнение быть набором ${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}}$.^[2]

Характеристики

Два элемента Икс и у не пересекаются тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|}$. Если Икс и у не пересекаются, то ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$ и ${\displaystyle \left(x+y\right)^{+}=x^{+}+y^{+}}$, где для любого элемента z, ${\displaystyle z^{+}:=\sup \left\{z,0\right\}}$ и ${\displaystyle z^{-}:=\sup \left\{-z,0\right\}}$.

Характеристики

Непересекающиеся дополнения всегда группы, но в целом обратное неверно. Если А это подмножество Икс такой, что ${\displaystyle x=\sup A}$ существует, и если B является решеткой подмножеств в Икс это не пересекается с А, тогда B решетка, не пересекающаяся с ${\displaystyle \{x\}}$.^[2]

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов

Для любого Икс в Икс, позволять ${\displaystyle x^{+}:=\sup \left\{x,0\right\}}$ и ${\displaystyle x^{-}:=\sup \left\{-x,0\right\}}$, где заметим, что оба эти элемента являются ${\displaystyle \geq 0}$ и ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ с ${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}}$. потом ${\displaystyle x^{+}}$ и ${\displaystyle x^{-}}$ не пересекаются, и ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ является уникальным представлением Икс как разность непересекающихся элементов, которые ${\displaystyle \geq 0}$.^[2] Для всех Икс и у в Икс, ${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$ и ${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}}$.^[3] Если у ≥ 0 и Икс ≤ у тогда Икс⁺ ≤ у. Более того, ${\displaystyle x\leq y}$ если и только если ${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$ и ${\displaystyle x^{-}\leq x^{-1}}$.^[2]

Смотрите также

• Твердый набор
• Локально выпуклая векторная решетка
• Векторная решетка

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 204–214.
2. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 74–78.
3. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 74-78.

Источники

• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.