Топологическая векторная решетка - Topological vector lattice

В математике, особенно в функциональный анализ и теория порядка, а топологическая векторная решетка это Хаусдорф топологическое векторное пространство (TVS) Икс что есть частичный заказ ≤ превращается в векторная решетка который имеет базу окрестностей в начале координат, состоящую из твердые наборы.^[1] Упорядоченные векторные решетки имеют важные приложения в спектральная теория.

Определение

Если Икс является векторной решеткой, то по операции с векторной решеткой мы имеем в виду следующие карты:

1. три карты Икс себе определяется ${\displaystyle x\mapsto |x|}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$, и
2. две карты из ${\displaystyle X\times X}$ в Икс определяется ${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup \left\{x,y\right\}}$ и${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf \left\{x,y\right\}}$.

Если Икс является ТВП над вещественными числами и векторной решеткой, то Икс является локально твердым тогда и только тогда, когда (1) его положительный конус является нормальный конус, и (2) операции векторной решетки непрерывны.^[1]

Если Икс является векторной решеткой и упорядоченное топологическое векторное пространство это Fréchet space в котором положительный конус является нормальный конус, то решеточные операции непрерывны.^[1]

Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS) и упорядоченное векторное пространство тогда Икс называется локально твердый если Икс имеет базу окрестности в начале координат, состоящую из твердые наборы.^[1] А топологическая векторная решетка это Хаусдорф TVS Икс что есть частичный заказ ≤ превращается в векторная решетка что локально твердое.^[1]

Характеристики

Каждая топологическая векторная решетка имеет замкнутый положительный конус и, следовательно, является упорядоченное топологическое векторное пространство.^[1] Позволять ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ обозначим множество всех ограниченных подмножеств топологической векторной решетки с положительным конусом C и для любого подмножества S, позволять ${\displaystyle [S]_{C}:=\left(S+C\right)\cap \left(S-C\right)}$ быть C-насыщенный корпус S. Тогда положительный конус топологической векторной решетки C это строгий ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-конус,^[1] куда C это строгий ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-конус Значит это ${\displaystyle \left\{\left[B\right]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ является фундаментальным подсемейством ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ (т.е. каждый ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ содержится как подмножество некоторого элемента ${\displaystyle \left\{\left[B\right]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$).^[2]

Если топологическая векторная решетка Икс является заказ завершен тогда каждая группа закрывается в Икс.^[1]

Примеры

Банаховы пространства ${\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)}$ (${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) находятся Банаховы решетки в их каноническом порядке. Эти места заполнены по порядку для ${\displaystyle p<\infty }$.

Смотрите также

• Банаховая решетка
• Решетка Фреше
• Локально выпуклая векторная решетка
• Нормированная решетка
• Упорядоченное векторное пространство
• Пространство Рисса

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 234–242.
2. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 215–222.

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.