База (топология) - Base (topology)

В математика, а основание или же основа для топология $τ$ из топологическое пространство $(Икс, τ)$ это семья $B$ из открытые подмножества из $Икс$ такое, что каждое открытое множество равно a союз некоторых подсемейство из $B$ ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] (это подсемейство может быть бесконечным, конечным или даже пустым^{[примечание 1]}). Например, набор всех открытые интервалы в действительная числовая линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$ является основой для Евклидова топология на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ потому что каждый открытый интервал является открытым множеством, а также каждое открытое подмножество ${ Displaystyle mathbb {R}}$ можно записать как объединение некоторого семейства открытых интервалов.

Базы встречаются повсюду в топологии. Наборы в основе топологии, которые называются базовые открытые наборы, часто проще описывать и использовать, чем произвольные открытые множества.^[6] Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и конвергенция можно проверить, используя только базовые открытые наборы вместо произвольных открытых наборов. Некоторые топологии имеют базу открытых наборов с определенными полезными свойствами, которые могут облегчить проверку таких топологических определений.

Не все семейства подмножеств составляют основу топологии. Например, потому что $Икс$ всегда является открытым подмножеством каждой топологии на $Икс$ , если семья $B$ подмножеств должен быть базой для топологии на $Икс$ тогда это должно крышка $Икс$ , что по определению означает, что объединение всех множеств в $B$ должно быть равно $Икс$ . Если $Икс$ имеет более одной точки, то существуют семейства подмножеств $Икс$ что не покрывает $Икс$ и, следовательно, они не могут служить основой для любой топология на $Икс$ . Семья $B$ подмножеств $Икс$ это формирует основу для немного топология на $Икс$ называется база для а топология на $Икс$ ,^[1]^[2]^[3] в этом случае эту обязательно уникальную топологию назовем $τ$ , как говорят, создано $B$ и $B$ следовательно, является основой для в топология $τ$ . Такие семейства наборов часто используются для определения топологий. Более слабое понятие, связанное с базисами, - это понятие суббазис для топологии. Основания для топологий тесно связаны с базы соседства.

Определение и основные свойства

База - это коллекция B подмножеств Икс удовлетворяющие следующим свойствам:

Базовые элементы крышка Икс.
Позволять B₁, B₂ быть базовыми элементами и пусть я быть их пересечением. Тогда для каждого Икс в я, есть базовый элемент B₃ содержащий Икс такой, что B₃ является подмножеством я.

Эквивалентное свойство: любое конечное пересечение^{[заметка 2]} элементов B можно записать как объединение элементов B. Эти два условия - именно то, что нужно, чтобы гарантировать, что набор всех объединений подмножеств B топология на Икс.

Если коллекция B подмножеств Икс не удовлетворяет этим свойствам, то это не основа для любой топология на Икс. (Это подоснование однако, как и любой набор подмножеств Икс.) Наоборот, если B удовлетворяет этим свойствам, то существует единственная топология на Икс для которого B это база; это называется топологией генерируется к B. (Эта топология пересечение всех топологий на Икс содержащий B.) Это очень распространенный способ определения топологий. Достаточное, но не необходимое условие для B создать топологию на Икс в том, что B закрывается на перекрестках; тогда мы всегда можем взять B₃ = я над.

Например, сбор всех открытые интервалы в реальная линия формирует основу для топологии на реальной прямой, потому что пересечение любых двух открытых интервалов само по себе является открытым интервалом или пустым. Фактически они являются базой для стандартной топологии на прямой действительные числа.

Однако база не уникальна. Множество разных баз, даже разного размера, могут создавать одну и ту же топологию. Например, открытые интервалы с рациональными конечными точками также являются базой для стандартной реальной топологии, как и открытые интервалы с иррациональными конечными точками, но эти два набора полностью не пересекаются и оба должным образом содержатся в базе всех открытых интервалов. В отличие от основа из векторное пространство в линейная алгебра, база не обязательно максимальный; действительно, единственная максимальная база - это сама топология. Фактически, любой открытый набор, созданный базой, может быть безопасно добавлен к базе без изменения топологии. Наименьший возможный мощность базы называется масса топологического пространства.

Примером набора открытых множеств, не являющегося базовым, является набор S всех полубесконечных интервалов вида (−∞, а) и (а, ∞), где а это действительное число. потом S является нет база для любой топологии на р. Чтобы показать это, предположим, что это было так. Тогда, например, (−∞, 1) и (0, ∞) будут в топологии, порожденной S, являющиеся объединениями одного базового элемента, и поэтому их пересечение (0,1) также будет. Но (0, 1) явно не может быть записано как объединение элементов S. Используя альтернативное определение, второе свойство терпит неудачу, поскольку ни один базовый элемент не может «поместиться» внутри этого пересечения.

При наличии базы для топологии, чтобы доказать сходимость сети или последовательности, достаточно доказать, что она в конечном итоге присутствует в каждом множестве в базе, которое содержит предполагаемый предел.

Примеры

Набор $Γ$ всех открытых интервалов в $ℝ$ составляют основу Евклидова топология на $ℝ$ . Каждая топология $τ$ на съемочной площадке $Икс$ является основой для себя (то есть $τ$ это основа для $τ$ ). Из-за этого, если гипотезы теоремы предполагают, что топология $τ$ имеет некоторую основу $Γ$ , то эту теорему можно применить, используя $Γ: = τ$ .

Непустое семейство подмножеств множества $Икс$ замкнутое относительно конечных пересечений двух или более множеств, которое называется $π$ -система на $Икс$ , обязательно является базой топологии на $Икс$ если и только если он покрывает $Икс$ . По определению каждый σ-алгебра, каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр соседства ), и каждый топология это покрытие $π$ -система, а также база для топологии. Фактически, если $Γ$ это фильтр на $Икс$ тогда ${\emptyset} \cup Γ$ топология на $Икс$ и $Γ$ это основа для этого. База топологии не должна быть замкнутой относительно конечных пересечений, а многие из них - нет. Но, тем не менее, многие топологии определяются базами, которые также замкнуты относительно конечных пересечений. Например, каждое из следующих семейств подмножества $ℝ$ замкнуто относительно конечных пересечений, и поэтому каждое из них составляет основу немного топология на $ℝ$ :

Набор $Γ$ из всех ограниченный открытые интервалы в $ℝ$ генерирует обычный Евклидова топология на $ℝ$ .
Набор $Σ$ всех ограниченных закрыто интервалы в $ℝ$ генерирует дискретная топология на $ℝ$ и поэтому евклидова топология является подмножеством этой топологии. И это несмотря на то, что $Γ$ не является подмножеством $Σ$ . Следовательно, топология, порожденная $Γ$ , какой Евклидова топология на $ℝ$ , является грубее чем топология, порожденная $Σ$ . На самом деле это строго грубее, потому что $Σ$ содержит непустые компакты, которые никогда не открываются в евклидовой топологии.
Набор $Γ ℚ$ всех интервалов в $Γ$ так что обе конечные точки интервала рациональное число генерирует ту же топологию, что и $Γ$ . Это остается верным, если каждый экземпляр символа $Γ$ заменяется на $Σ$ .
$Σ \infty = { [р, \infty) : р \in ℝ}$ генерирует топологию, которая строго грубее чем топология, порожденная $Σ$ . Нет элемента $Σ \infty$ открыто в евклидовой топологии на $ℝ$ .
$Γ \infty = { (р, \infty) : р \in ℝ}$ генерирует топологию, которая строго грубее, чем оба Евклидова топология и топология, порожденная $Σ \infty$ . Наборы $Σ \infty$ и $Γ \infty$ не пересекаются, но тем не менее $Γ \infty$ является подмножеством топологии, порожденной $Σ \infty$ .

Объекты, определенные в базах

В топология заказа обычно определяется как топология, генерируемая набором наборов, подобных открытым интервалам.
В метрическая топология обычно определяется как топология, созданная набором открытые шары.
А секундомер тот, у которого есть счетный основание.
В дискретная топология имеет синглтоны в качестве основы.
В проконечная топология на группе определяется взятием совокупности всех нормальных подгрупп конечного индекса за основу открытых окрестностей единицы.

В Топология Зарисского на спектр кольца имеет базу, состоящую из открытых наборов, обладающих определенными полезными свойствами. Для обычной основы этой топологии каждое конечное пересечение базисных элементов является базисным элементом. Поэтому иногда требуется, чтобы базис был устойчивым благодаря конечному пересечению.^{[нужна цитата ]}

В Топология Зарисского из ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ топология, имеющая алгебраические множества как закрытые множества. Его основу составляют набор дополнений из алгебраические гиперповерхности.
Топология Зарисского спектр кольца (набор главные идеалы ) имеет такой базис, что каждый элемент состоит из всех простых идеалов, не содержащих данный элемент кольца.

Теоремы

Для каждой точки Икс в открытом наборе U, есть базовый элемент, содержащий Икс и содержится в U.
Топология Т₂ является тоньше чем топология Т₁ если и только если для каждого Икс и каждый базовый элемент B из Т₁ содержащий Икс, есть базовый элемент Т₂ содержащий Икс и содержится в B.
Если B₁,B₂,...,B_п основы для топологий Т₁,Т₂,...,Т_п, то установить продукт B₁ × B₂ × ... × B_п является базой для топология продукта Т₁ × Т₂ × ... × Т_п. В случае бесконечного продукта это все еще применяется, за исключением того, что все, кроме конечного числа базовых элементов, должны составлять все пространство.
Позволять B быть базой для Икс и разреши Y быть подпространство из Икс. Тогда, если мы пересечем каждый элемент из B с Y, полученный набор множеств является базой для подпространства Y.
Если функция ж : Икс → Y отображает каждый базовый элемент Икс в открытый набор Y, это открытая карта. Аналогично, если каждый прообраз базового элемента Y открыт в Икс, тогда ж является непрерывный.
Коллекция подмножеств Икс топология на Икс тогда и только тогда, когда он сам генерирует.
B является основой топологического пространства Икс тогда и только тогда, когда подколлекция элементов B которые содержат Икс сформировать местная база в Икс, для любой точки Икс из Икс.

База для закрытых сетов

Закрытые наборы одинаково искусны в описании топологии пространства. Следовательно, существует двойственное понятие базы для замкнутых множеств топологического пространства. Учитывая топологическое пространство Икс, семейство замкнутых множеств F образует основу для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого множества А и каждая точка Икс не в А существует элемент F содержащий А но не содержащий Икс.

Легко проверить, что F является базой для замкнутых множеств Икс тогда и только тогда, когда семья дополняет членов F является базой для открытых множеств Икс.

Позволять F быть базой для замкнутых множеств Икс. потом

∩F = ∅
Для каждого F₁ и F₂ в F Союз F₁ ∪ F₂ является пересечением некоторого подсемейства F (т.е. для любого Икс не в F₁ или же F₂ существует F₃ в F содержащий F₁ ∪ F₂ и не содержащий Икс).

Любой набор подмножеств набора Икс удовлетворяющие этим свойствам, составляют основу замкнутых множеств топологии на Икс. Замкнутые множества этой топологии - это в точности пересечения элементов топологии F.

В некоторых случаях для закрытых множеств удобнее использовать базу, чем для открытых. Например, пробел полностью обычный если и только если нулевые наборы составляют основу закрытых множеств. Учитывая любое топологическое пространство Икс, нулевые множества образуют базу замкнутых множеств некоторой топологии на Икс. Эта топология будет лучшей полностью регулярной топологией на Икс грубее оригинального. Аналогичным образом Топология Зарисского на А^п определяется путем взятия нулевых наборов полиномиальных функций за основу для замкнутых множеств.

Вес и характер

Мы будем работать с понятиями, установленными в (Engelking 1977, п. 12, с. 127-128).

Исправить Икс топологическое пространство. Здесь сеть это семья ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ наборов, для которых для всех точек Икс и открытые кварталы U содержащий Икс, Существует B в ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ для которого Икс ∈ B ⊆ U. Обратите внимание, что, в отличие от базиса, наборы в сети не обязательно должны быть открытыми.

Мы определяем масса, ш(Икс), как минимальная мощность основы; мы определяем вес сети, nw(Икс), как минимальная мощность сети; в характер точки, ${ Displaystyle чи (х, х)}$ , как минимальную мощность базиса окрестности для Икс в Икс; и персонаж из Икс быть

{ Displaystyle чи (Х) треугольник q sup { чи (х, X): х в X }.}

Смысл вычисления символа и веса заключается в том, чтобы определить, какие базы и локальные базы могут существовать. У нас есть следующие факты:

nw(Икс) ≤ ш(Икс).
если Икс дискретно, то ш(Икс) = nw(Икс) = |Икс|.
если Икс Хаусдорф, то nw(Икс) конечно тогда и только тогда, когда Икс конечно дискретно.
если B является основой Икс тогда есть основа ${ displaystyle B ' substeq B}$ размера ${ Displaystyle | В '| Leq ш (Х)}$ .
если N основа соседства для Икс в Икс тогда существует базис соседства ${ Displaystyle N ' substeq N}$ размера ${ Displaystyle | N '| Leq чи (х, X)}$ .
если ж : Икс → Y является непрерывной сюръекцией, то nw(Y) ≤ ш(Икс). (Просто рассмотрите Y-сеть ${ Displaystyle f '' 'B треугольник {f''U: U in B }}$ для каждой основы B из Икс.)
если ${ Displaystyle (Х, тау)}$ хаусдорфова, то существует более слабая хаусдорфова топология ${ Displaystyle (Х, тау ')}$ так что ${ Displaystyle ш (Икс, тау ') leq nw (Х, тау)}$ . Так a fortiori, если Икс также компактно, то такие топологии совпадают и, следовательно, вместе с первым фактом имеем nw(Икс) = ш(Икс).
если ж : Икс → Y непрерывное сюръективное отображение компактного метризуемого пространства в хаусдорфово пространство, то Y компактно метризуемо.

Последний факт следует из ж(Икс) компактно по Хаусдорфу, и, следовательно, ${ Displaystyle NW (е (Х)) = вес (е (Х)) Leq ш (Х) Leq Алеф _ {0}}$ (так как компактные метризуемые пространства обязательно вторые счетные); а также тот факт, что компактные хаусдорфовы пространства метризуемы именно в том случае, если они счетны вторыми. (Применение этого, например, состоит в том, что каждый путь в хаусдорфовом пространстве компактно метризуем.)

Возрастающие цепочки открытых множеств

Используя указанные выше обозначения, предположим, что ш(Икс) ≤ κ какой-то бесконечный кардинал. Тогда не существует строго возрастающей последовательности открытых множеств (эквивалентно строго убывающей последовательности замкнутых множеств) длины ≥ κ⁺.

Чтобы убедиться в этом (без аксиомы выбора), зафиксируйте

{ displaystyle left {U _ { xi} right } _ { xi in kappa},}

как основу открытых наборов. И предположим за против, который

{ displaystyle left {V _ { xi} right } _ { xi in kappa ^ {+}}}

были строго возрастающей последовательностью открытых множеств. Это означает

{ displaystyle forall alpha < kappa ^ {+}: qquad V _ { alpha} setminus bigcup _ { xi < alpha} V _ { xi} neq varnothing.}

За

{ Displaystyle х в V _ { альфа} setminus bigcup _ { xi < alpha} V _ { xi},}

мы можем использовать основу, чтобы найти некоторые U_γ с Икс в U_γ ⊆ V_α. Таким образом мы можем определить карту, ж : κ⁺ → κ отображение каждого α в последнюю очередь γ для которого U_γ ⊆ V_α и встречает

{ Displaystyle V _ { alpha} setminus bigcup _ { xi < alpha} V _ { xi}.}

Эта карта инъективна, иначе было бы α < β с ж(α) = ж(β) = γ, что в дальнейшем означало бы U_γ ⊆ V_α но также встречается

{ Displaystyle V _ { beta} setminus bigcup _ { xi < alpha} V _ { xi} substeq V _ { beta} setminus V _ { alpha},}

что является противоречием. Но это должно показать, что κ⁺ ≤ κ, противоречие.

Смотрите также

Примечания

^ По стандартному соглашению пустой набор, который всегда открыт, представляет собой объединение пустой коллекции.
^ Мы используем соглашение о том, что пустое пересечение подмножеств Икс считается конечным и равно Икс.

Библиография

Адамс, Колин; Франзоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистая и прикладная. Нью-Дели: образование Пирсона. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC 789880519.
Архангельский, А.В .; Пономарев, В. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения. Математика и ее приложения. 13. Перевод с русского В. К. Джайна. Дордрехт: издательство D. Reidel Publishing. Zbl 0568.54001.
Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Бурбаки, Николас (1989) [1967]. Общая топология 2: главы 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
Диксмье, Жак (1984). Общая топология. Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Бербериана, С. К. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Долецкий, Шимон; Майнард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология. Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Энгелькинг, Рышард (1977). Общая топология. Monografie Matematyczne. 60. Варшава: PWN. Zbl 0373.54002.
Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию. Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
Джеймс Мункрес (1975) Топология: первый курс. Прентис-Холл.
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Верхний Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Шуберт, Хорст (1968). Топология. Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
Уиллард, Стивен (1970) Общая топология. Эддисон-Уэсли. Перепечатано 2004 г., Dover Publications.

[6] По стандартному соглашению пустой набор, который всегда открыт, представляет собой объединение пустой коллекции.

[8] Мы используем соглашение о том, что пустое пересечение подмножеств Икс считается конечным и равно Икс.

[FOOTNOTEBourbaki198918-21-1] а ^б Бурбаки 1989, стр. 18-21.

[FOOTNOTEDugundji196662-68-2] а ^б Дугунджи 1966 С. 62-68.

[FOOTNOTEWillard200437-40-3] а ^б Уиллард 2004 С. 37-40.

[4] Меррифилд, Ричард Э .; Симмонс, Говард Э. (1989). Топологические методы в химии. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п.16. ISBN 0-471-83817-9. Получено 27 июля 2012. Определение. Коллекция B открытых подмножеств топологического пространства (Х, Т) называется основа за Т если каждый открытый набор может быть выражен как объединение членов B.

[5] Армстронг, М.А. (1983). Базовая топология. Springer. п. 30. ISBN 0-387-90839-0. Получено 13 июн 2013. Предположим, у нас есть топология на множестве $Икс$ , и коллекция ${ displaystyle beta}$ открытых множеств, так что каждое открытое множество является объединением членов ${ displaystyle beta}$ . Такое семейство открытых множеств называется генерировать или же определять эта топология. потом ${ displaystyle beta}$ называется основание для топологии ...

[FOOTNOTEAdamsFranzosa200946-56-7] Адамс и Франзоза 2009 С. 46-56.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[примечание 1]

[6]

[заметка 2]