Частичная функция - Partial function

В математика, а частичная функция $ж$ из набор $Икс$ к набору $Y$ является функцией от подмножество $S$ из $Икс$ (возможно $Икс$ сам) $Y$ . Подмножество $S$ , это домен из $ж$ рассматривается как функция, называется область определения из $ж$ . Если $S$ равно $Икс$ , частичная функция называется общий.

С технической точки зрения частичная функция - это бинарное отношение более двух наборы который ассоциируется с каждым элементом первого набора в большинстве один элемент второго набора; Таким образом, это функциональное бинарное отношение. Он обобщает понятие функция не требуя, чтобы каждый элемент первого набора был связан с точно один элемент второго набора.

Частичные функции часто используются, когда их точная область определения неизвестна или трудно определить. Так обстоит дело в исчисление, где, например, частное двух функций является частичной функцией, область определения которой не может содержать нули знаменателя. По этой причине в исчислении и в целом в математический анализ, частичная функция обычно называется просто функция. В теория вычислимости, а общая рекурсивная функция является частичной функцией от целых чисел к целым; для многих из них нет алгоритм могут существовать для определения того, являются ли они на самом деле тотальными.

Когда обозначение стрелки используется для функций, частичная функция $ж$ из $Икс$ к $Y$ иногда пишется как $ж : Икс ↛ Y$ , $ж : Икс ⇸ Y$ , или же $ж : Икс ↪ Y$ . Однако общего соглашения не существует, и последнее обозначение чаще используется для инъективные функции.^{[нужна цитата ]}.

В частности, для частичной функции $ж : Икс ↛ Y$ , и любые $Икс \in Икс$ , есть либо:

$ж (Икс) = у \in Y$ (это единственный элемент в $Y$ ), или же
$ж (Икс)$ не определено.

Например, если $ж$ это квадратный корень функция ограничена целые числа

ж : Z \to Z

, определяется:

ж (п) = м

если и только если,

м 2 = п

, для всех

м, п \in Z

,

тогда $ж (п)$ определяется только если $п$ это идеальный квадрат (то есть, $0, 1, 4, 9, 16, \dots$ ). Так, $ж (25) = 5$ , но $ж (26)$ не определено.

Базовые концепты

Пример частичной функции, которая инъективный.

Пример функция это не инъективно.

Частичная функция называется инъективный, сюръективный, или же биективный когда функция, заданная ограничением частичной функции на область ее определения, инъективна, сюръективна, биективна соответственно.

Поскольку функция тривиально сюръективна, если ограничена ее изображением, термин частичная биекция обозначает частичную функцию, которая является инъективной.^[1]

Инъективная частичная функция может быть инвертирована в инъективную частичную функцию, а частичная функция, которая является одновременно инъективной и сюръективной, имеет инъективную функцию как обратную. Кроме того, инъективная функция может быть преобразована в инъективную частичную функцию.

Понятие трансформация можно обобщить и на частичные функции. А частичное преобразование это функция $ж : А ⇸ B$ , где оба $А$ и $B$ находятся подмножества некоторого набора $Икс$ .^[1]

Функция

А функция это бинарное отношение, которое функциональный (также называемый уникальным справа) и серийный (также называется левым тоталом). Это более сильное определение, чем определение частичной функции, которое требует только функционального свойства.

Функциональные пространства

Набор всех частичных функций ж: Икс ⇸ Y из набора Икс к набору Y, обозначаемый [Икс ⇸ Y], является объединением всех функций, определенных на подмножествах Икс с тем же доменом Y:

{displaystyle [Xot o Y] = igcup _ {Dsubseteq {X}} [D o Y],}

последний также записывается как ${displaystyle igcup limits _ {Dsubseteq {X}} Y ^ {D}}$ . В конечном случае его мощность равна

{displaystyle | [Xot o Y] | = (| Y | +1) ^ {| X |},}

потому что любая частичная функция может быть расширена до функции любым фиксированным значением c не содержится в Y, так что кодомен Y ∪ {c}, операция, которая является инъективной (единственной и обратимой по ограничению).

Обсуждение и примеры

Первая диаграмма вверху статьи представляет собой частичную функцию, которая нет функция, поскольку элемент 1 в левом наборе не связан ни с чем в правом наборе. Принимая во внимание, что вторая диаграмма представляет функцию, поскольку каждый элемент в левом наборе связан ровно с одним элементом в правом наборе.

Натуральный логарифм

Рассмотрим натуральный логарифм функция, отображающая действительные числа себе. Логарифм неположительного действительного числа не является действительным числом, поэтому функция натурального логарифма не связывает ни одно действительное число в кодомене с каким-либо неположительным действительным числом в домене. Следовательно, функция натурального логарифма не является функцией, если рассматривать ее как функцию от вещественных чисел к себе, но это частичная функция. Если домен ограничен включением только положительные реалы (то есть, если функция натурального логарифма рассматривается как функция от положительных вещественных чисел до действительных), тогда натуральный логарифм является функцией.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание натуральные числа (неотрицательный целые числа ) можно рассматривать как частичную функцию:

{displaystyle f: mathbb {N} imes mathbb {N} ot o mathbb {N}}

{displaystyle f (x, y) = x-y.}

Он определяется только тогда, когда ${displaystyle xgeq y}$ .

Нижний элемент

В денотационная семантика частичная функция считается возвращающей нижний элемент когда он не определен.

В Информатика частичная функция соответствует подпрограмме, которая вызывает исключение или зацикливается навсегда. В IEEE с плавающей точкой стандарт определяет не число значение, которое возвращается, когда операция с плавающей запятой не определена и исключения подавляются, например когда запрашивается квадратный корень отрицательного числа.

В язык программирования где параметры функции статически типизированный, функция может быть определена как частичная функция, потому что язык система типов не может выразить точную область определения функции, поэтому программист вместо этого дает ей наименьшую область, которая может быть выражена как тип и содержит область определения функции.

В теории категорий

В теория категорий, при рассмотрении работы морфизм композиция в конкретные категории, операция композиции ${displaystyle circ: operatorname {hom} (C) imes operatorname {hom} (C) o operatorname {hom} (C)}$ является функцией тогда и только тогда, когда ${displaystyle operatorname {ob} (C)}$ имеет один элемент. Причина в том, что два морфизма ${displaystyle f: X o Y}$ и ${displaystyle g: U o V}$ может быть составлен только как ${displaystyle gcirc f}$ если ${displaystyle Y = U}$ , то есть содомен ${displaystyle f}$ должен равняться области ${displaystyle g}$ .

Категория множеств и частичных функций эквивалент но не изоморфный с категорией заостренные наборы и карты, сохраняющие точки.^[2] В одном учебнике отмечается, что «это формальное пополнение множеств и частичных отображений путем добавления« несобственных »,« бесконечных »элементов было изобретено много раз заново, в частности, в топологии (одноточечная компактификация ) И в теоретическая информатика."^[3]

Категория множеств и частичных биекций эквивалентна своей двойной.^[4] Это прототип обратная категория.^[5]

В абстрактной алгебре

Частичная алгебра обобщает понятие универсальная алгебра к частичному операции. Примером может быть поле, в котором мультипликативная инверсия является единственной правильной частичной операцией (поскольку деление на ноль не определено).^[6]

Набор всех частичных функций (частичный трансформации ) на заданном базовом наборе, Икс, образует регулярная полугруппа называется полугруппой всех частичных преобразований (или полугруппой частичных преобразований на Икс), обычно обозначаемый ${displaystyle {mathcal {PT}} _ {X}}$ .^[7]^[8]^[9] Множество всех частичных биекций на Икс формирует симметричная инверсная полугруппа.^[7]^[8]

Карты и атласы для многообразий и пучков волокон

Графики в атласы которые определяют структуру коллекторы и пучки волокон являются частичными функциями. В случае многообразий область представляет собой точечное множество многообразия. В случае расслоений область представляет собой пространство расслоения. В этих приложениях наиболее важной конструкцией является карта перехода, который является составной частью одной диаграммы с инверсией другой. Первоначальная классификация многообразий и расслоений в значительной степени выражается в терминах ограничений на эти отображения переходов.

Причина использования частичных функций вместо функций состоит в том, чтобы разрешить представление общих глобальных топологий путем сшивания локальных патчей для описания глобальной структуры. «Патчи» - это области, в которых определены диаграммы.

Смотрите также

Аналитическое продолжение - Расширение области определения аналитической функции (математика)
Многозначная функция - Обобщение функции, которая может производить несколько выходов для каждого входа
Плотно определенный оператор - Функция, которая определена почти везде (математика)