Биекция, инъекция и сюръекция - Bijection, injection and surjection

	сюръективный	несюръективный
инъективный	биективный	только для инъекций
не- инъективный	только сюръективный	Общее

В математика, инъекции, сюрпризы и биекции классы функции отличается тем, как аргументы (Вход выражения от домен ) и изображений (выходные выражения из codomain ) связаны или сопоставлен с друг друга.

Функция карты элементы из своего домена в элементы в его кодомене. Учитывая функцию ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ :

Функция инъективный, или же один к одному, если каждый элемент codomain отображается на в большинстве один элемент домена или, что то же самое, если отдельные элементы домена сопоставляются с разными элементами в кодомене. Инъективная функция также называется инъекция.^[1]^[2] Условно:

{ displaystyle forall x, x ' in X, f (x) = f (x') подразумевает x = x ',}

или, что то же самое (используя логическая транспозиция ),

{ displaystyle forall x, x ' in X, x neq x' подразумевает f (x) neq f (x ').}

^[3]^[4]^[5]

Функция сюръективный, или же на, если каждый элемент codomain отображается на по меньшей мере один элемент домена. То есть изображение и домен функции равны. Сюръективная функция - это сюрприз.^[1]^[2] Условно:

{ displaystyle forall y in Y, существует x in X { text {такой, что}} y = f (x).}

^[3]^[4]^[5]

Функция биективный (один на один и на, индивидуальная переписка, или же обратимый), если каждый элемент codomain отображается на точно один элемент домена. То есть функция обе инъективный и сюръективный. Биективная функция также называется биекция.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] То есть, комбинируя определения инъективного и сюръективного,

{ displaystyle forall y in Y, существует! x in X { text {такой, что}} y = f (x),}

куда

{ Displaystyle существует! х}

означает "там существует ровно один

Икс

".

В любом случае (для любой функции) выполняется следующее:

{ displaystyle forall x in X существует! y in Y { text {такой, что}} y = f (x).}

Инъективная функция не обязательно должна быть сюръективной (не все элементы кодомена могут быть связаны с аргументами), а сюръективная функция не обязательно должна быть инъективной (некоторые изображения могут быть связаны с больше одного аргумент). Четыре возможных комбинации инъективных и сюръективных признаков показаны на соседних диаграммах.

Инъекция

Инъективная композиция: вторая функция не обязательно должна быть инъективной.

Функция инъективный (один к одному), если каждый возможный элемент codomain отображается не более чем одним аргументом. Точно так же функция является инъективной, если она отображает разные аргументы в разные изображения. Инъективная функция - это инъекция.^[1]^[2] Формальное определение следующее.

Функция

{ displaystyle f двоеточие от X до Y}

инъективен, если для всех

{ displaystyle x, x ' in X}

,

{ Displaystyle f (x) = f (x ') Rightarrow x = x'.}

^[3]^[4]^[5]

Ниже приведены некоторые факты, связанные с инъекциями:

Функция ж : Икс → Y инъективен тогда и только тогда, когда Икс пусто или ж осталось-обратимый; то есть существует функция g: f (X) → X такая, что грамм о ж = функция идентичности на Икс. Здесь f (X) - образ f.
Поскольку каждая функция сюръективна, когда ее codomain ограничивается своим изображение, каждая инъекция индуцирует биекцию на свой образ.^[1] Точнее каждая инъекция ж : Икс → Y можно факторизовать как биекцию с последующим включением следующим образом. Позволять ж_р : Икс → ж(Икс) быть ж с codomain, ограниченным его изображением, и пусть я : ж(Икс) → Y быть картой включения из ж(Икс) в Y. потом ж = я о ж_р. Ниже приводится двойственная факторизация сюръекций.
Состав из двух инъекций - снова укол, но если грамм о ж инъективно, то можно только сделать вывод, что ж является инъективным (см. рисунок).
Каждый встраивание инъективно.

Surjection

Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.

Функция сюръективный или же на если каждый элемент codomain отображается по крайней мере одним элементом домен. Другими словами, каждый элемент codomain имеет непустой прообраз. Эквивалентно функция сюръективна, если ее изображение совпадает с ее содоменом. Сюръективная функция - это сюрприз.^[1]^[2] Формальное определение следующее.

Функция

{ displaystyle f двоеточие от X до Y}

сюръективно, если для всех

{ displaystyle y in Y}

, есть

{ displaystyle x in X}

такой, что

{ displaystyle f (x) = y.}

^[3]^[4]^[5]

Ниже приведены некоторые факты, связанные с сюрпризами:

Функция ж : Икс → Y сюръективен тогда и только тогда, когда он обратим справа, то есть тогда и только тогда, когда существует функция грамм: Y → Икс такой, что ж о грамм = функция идентичности на Y. (Это утверждение эквивалентно аксиома выбора.)
Свертывая отображение всех аргументов в заданное фиксированное изображение, каждая сюръекция вызывает биекцию из набор частных своего домена в его кодомен. Точнее прообразы под ж элементов изображения ж являются классы эквивалентности из отношение эквивалентности в области ж, так что Икс и у эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же изображение под ж. Поскольку все элементы любого из этих классов эквивалентности отображаются ж на том же элементе кодомена, это вызывает биекцию между набор частных этим отношением эквивалентности (множеством классов эквивалентности) и образом ж (который является его кодоменом, когда ж скачкообразно). Более того, ж это сочинение из каноническая проекция из ж к фактормножеству, и взаимно однозначное соответствие между фактормножеством и доменом ж.
Сочетание двух сюрпризов снова является сюрпризом, но если грамм о ж сюръективно, то можно сделать только вывод, что грамм сюръективно (см. рисунок).

Биекция

Биективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной, а вторая функция не обязательно быть инъективной.

Функция биективный если он одновременно инъективен и сюръективен. Биективная функция также называется биекция или индивидуальная переписка.^[1] Функция биективна если и только если каждое возможное изображение отображается ровно одним аргументом.^[2] Это эквивалентное условие формально выражается следующим образом.

Функция

{ displaystyle f двоеточие от X до Y}

биективен, если для всех

{ displaystyle y in Y}

, есть уникальный

{ displaystyle x in X}

такой, что

{ displaystyle f (x) = y.}

^[3]^[4]^[5]

Ниже приведены некоторые факты, относящиеся к предубеждениям:

Функция ж : Икс → Y биективен тогда и только тогда, когда он обратим, т. е. существует функция грамм: Y → Икс такой, что грамм о ж = функция идентичности на Икс и ж о грамм = функция идентичности на Y. Эта функция сопоставляет каждое изображение с его уникальным прообразом.
Композиция двух биекций снова является взаимно однозначной, но если грамм о ж биекция, то можно только заключить, что ж инъективен и грамм является сюръективным (см. рисунок справа и замечания выше относительно инъекций и сюръекций).
Биекции из множества в себя образуют группа по составу, названный симметричная группа.

Мощность

Предположим, что кто-то хочет определить, что значит для двух наборов «иметь одинаковое количество элементов». Один из способов сделать это - сказать, что два набора «имеют одинаковое количество элементов», тогда и только тогда, когда все элементы одного набора могут быть объединены в пары с элементами другого таким образом, что каждый элемент связан с ровно один элемент. Соответственно, можно определить два набора так, чтобы они «имели одинаковое количество элементов» - если между ними существует взаимное соответствие. В этом случае говорят, что два набора имеют одинаковые мощность.

Точно так же можно сказать, что набор ${ displaystyle X}$ "имеет меньше или столько же элементов", как установлено ${ displaystyle Y}$ , если есть укол от ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ ; можно также сказать, что набор ${ displaystyle X}$ "имеет меньше, чем количество элементов" в наборе ${ displaystyle Y}$ , если есть укол от ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ , но не совпадение между ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ .

Примеры

Важно указать домен и кодомен каждой функции, поскольку при их изменении функции, которые кажутся одинаковыми, могут иметь разные свойства.

Инъективное и сюръективное (биективное): Идентификатор функции идентификации_Икс для каждого непустого набора Икс, и, следовательно, конкретно ${ displaystyle mathbf {R} to mathbf {R}: x mapsto x.}$; ${ displaystyle mathbf {R} ^ {+} to mathbf {R} ^ {+}: x mapsto x ^ {2}}$ , а значит, и обратное ${ displaystyle mathbf {R} ^ {+} to mathbf {R} ^ {+}: x mapsto { sqrt {x}}.}$; В экспоненциальная функция ${ displaystyle exp двоеточие mathbf {R} to mathbf {R} ^ {+}: x mapsto mathrm {e} ^ {x}}$ (то есть экспоненциальная функция с ее доменом, ограниченным ее изображением), и, следовательно, также ее обратная натуральный логарифм ${ displaystyle ln двоеточие mathbf {R} ^ {+} to mathbf {R}: x mapsto ln {x}.}$

Инъективный и несюръективный: Экспоненциальная функция ${ displaystyle exp двоеточие mathbf {R} to mathbf {R}: x mapsto mathrm {e} ^ {x}.}$

Неинъективный и сюръективный: ${ displaystyle mathbf {R} to mathbf {R}: x mapsto (x-1) x (x + 1) = x ^ {3} -x.}$; ${ displaystyle mathbf {R} to [-1,1]: x mapsto sin (x).}$

Неинъективный и не-сюръективный: ${ displaystyle mathbf {R} to mathbf {R}: x mapsto sin (x).}$

Характеристики

Для каждой функции $ж$ , подмножество $Икс$ домена и подмножества $Y$ кодомена, $Икс \subset ж -1 (ж (Икс))$ и $ж (ж -1 (Y)) \subset Y$ . Если $ж$ инъективно, то $Икс = ж -1 (ж (Икс))$ , и если $ж$ сюръективно, то $ж (ж -1 (Y)) = Y$ .
Для каждой функции $час : Икс \to Y$ , можно определить сюръекцию $ЧАС : Икс \to час (Икс) : Икс \to час (Икс)$ и укол $я : час (Икс) \to Y : у \to у$ . Следует, что ${ displaystyle h = I circ H}$ . Это разложение уникально вплоть до изоморфизм.

Теория категорий

в категория из наборы, инъекции, сюръекции и биекции точно соответствуют мономорфизмы, эпиморфизмы, и изоморфизмы, соответственно.^[6]

История

Инъективно-сюръективно-биективная терминология (как существительные, так и прилагательные) была первоначально введена французами. Группа Бурбаки, до их широкого распространения.^[7]

Смотрите также

внешняя ссылка

Самые ранние примеры использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимно-взаимной инъекции имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.

[:0-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм "Окончательный словарь высшего математического жаргона". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-07.

[:1-2] а ^б ^c ^d ^е ^ж «Инъективный, сюръективный и биективный». www.mathsisfun.com. Получено 2019-12-07.

[:2-3] а ^б ^c ^d ^е ^ж "Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2019-12-07.

[:3-4] а ^б ^c ^d ^е ^ж Фарлоу, С. Дж. «Уколы, уколы и инъекции» (PDF). math.umaine.edu. Получено 2019-12-06.

[:4-5] а ^б ^c ^d ^е ^ж «6.3: Инъекции, уколы и инъекции». Математика LibreTexts. 2017-09-20. Получено 2019-12-07.

[6] «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2019-12-07.

[7] Машааль, Морис (2006). Бурбаки. American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Биекция, инъекция и сюръекция - Bijection, injection and surjection

Содержание

Инъекция

Surjection

Биекция

Мощность

Примеры

Характеристики

Теория категорий

История

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка