Метод Лакса – Вендроффа - Lax–Wendroff method

В Метод Лакса – Вендроффа, названный в честь Питер Лакс и Бертон Вендрофф, это числовой метод решения гиперболические уравнения в частных производных, на основе конечные разности. Он имеет второй порядок точности как в пространстве, так и во времени. Этот метод является примером явное интегрирование по времени где функция, определяющая основное уравнение, оценивается в текущий момент.

Определение

Предположим, у вас есть уравнение следующего вида:

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0}$

куда Икс и т - независимые переменные, а начальное состояние u (Икс, 0) дано.

Линейный случай

В линейном случае, когда f (u) = Au , и А константа,^[1]

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$

Эта линейная схема может быть распространена на общий нелинейный случай разными способами. Один из них позволяет

${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$

Нелинейный случай

Тогда консервативная форма Лакса-Вендроффа для общего нелинейного уравнения имеет следующий вид:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].}$

куда ${\displaystyle A_{i\pm 1/2}}$ матрица Якоби, вычисленная на ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i\pm 1}^{n})}$.

Бесплатные методы Якоби

Чтобы избежать вычисления Якоби, используйте двухэтапную процедуру.

Метод Рихтмайера

Далее следует двухшаговый метод Рихтмайера Лакса – Вендроффа. На первом этапе двухэтапного метода Рихтмайера Лакса – Вендроффа вычисляются значения для f (u (Икс, т)) на половинных шагах времени, т_п + 1/2 и половинные точки сетки, Икс_я + 1/2. На втором шаге значения при т_п + 1 рассчитываются с использованием данных для т_п и т_п + 1/2.

Первые (слабые) шаги:

${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$

${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Второй шаг:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].}$

Маккормак метод

Другой метод того же типа был предложен МакКормаком. В методе МакКормака сначала используется прямое разложение, а затем обратное:

Первый шаг:

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).}$

Второй шаг:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].}$

В качестве альтернативы, Первый шаг:

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Второй шаг:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].}$

Рекомендации

1. Левек, Рэнди Дж. Численные методы для законов сохранения ", Birkhauser Verlag, 1992, стр. 125.

• П.Д. Лакс; Б. Вендрофф (1960). «Системы законов сохранения». Commun. Pure Appl. Математика. 13 (2): 217–237. Дои:10.1002 / cpa.3160130205.
• Майкл Дж. Томпсон, Введение в астрофизическую гидродинамику, Imperial College Press, Лондон, 2006.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 20.1. Проблемы с консервативным потоком начальных значений». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 1040. ISBN  978-0-521-88068-8.