В математика, то Метод фиктивного домена это метод нахождения решения уравнения в частных производных на сложном домен
, подставив заданную задачу в область
, с новой проблемой, поставленной на простом домене
содержащий
.
Общая формулировка
Предположим в какой-то области
мы хотим найти решение
из уравнение:
![{ displaystyle Lu = - phi (x), x = (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0b0ba5c10a40e57323474d6386cb2f1fc2d43)
с граничные условия:
![{ Displaystyle lu = г (х), х в частичном D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badde09fb314ecf43068ea808f24cc2aeea5031c)
Основная идея метода фиктивных доменов состоит в том, чтобы подставить заданную задачу в домен
, с новой задачей, поставленной на простом сформированный домен
содержащий
(
). Например, мы можем выбрать п-мерный параллелоэдр как
.
Проблема в расширенный домен
для нового решения
:
![{ displaystyle L _ { epsilon} u _ { epsilon} = - phi ^ { epsilon} (x), x = (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) in Омега}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ec13be8a681f4f162b6570ff737db585c74513)
![{ displaystyle l _ { epsilon} u _ { epsilon} = g ^ { epsilon} (x), x in partial Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0e7f6d8b50816b1fcdee0f3ea7076cc8e20216)
Задачу необходимо поставить в расширенной области так, чтобы выполнялось следующее условие:
![{ displaystyle u _ { epsilon} (x) { xrightarrow [{ epsilon rightarrow 0}] {}} u (x), x in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b631489e1686019104e60a79c137d8cb9fed2666)
Простой пример, одномерная задача
![{ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} = - 2, quad 0 <x <1 quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb24852c24bd282962f5c26bd8ac11b01146082)
![{ Displaystyle и (0) = 0, и (1) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aaa235a98e70c510a6d27dec5168c940f1d389)
Продление на ведущие коэффициенты
решение проблемы:
![{ displaystyle { frac {d} {dx}} k ^ { epsilon} (x) { frac {du _ { epsilon}} {dx}} = - phi ^ { epsilon} (x), 0 <х <2 quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93923f90e90cb91fc4004c0552a6fb35e147e36)
Прерывистый коэффициент
и правую часть предыдущего уравнения получаем из выражений:
![{ displaystyle k ^ { epsilon} (x) = { begin {cases} 1, & 0 <x <1 { frac {1} { epsilon ^ {2}}}, & 1 <x <2 конец {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e456ef06f07163ef06f31734a860ba71133453)
![{ displaystyle phi ^ { epsilon} (x) = { begin {cases} 2, & 0 <x <1 2c_ {0}, & 1 <x <2 end {cases}} quad (3) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adab327efec0609c53f7b71ce73004d1878a5ac9)
Граничные условия:
![{ displaystyle u _ { epsilon} (0) = 0, u _ { epsilon} (2) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9868d4f15a511f9eb06496b3b5d28ebaceff75c)
Условия подключения в точке
:
![{ displaystyle [и _ { epsilon}] = 0, left [k ^ { epsilon} (x) { frac {du _ { epsilon}} {dx}} right] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5d0fff3e1d5a74c1314c40cbf5d89a80eb9c82)
куда
средства:
![{ Displaystyle [п (х)] = п (х + 0) -p (х-0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308458c63068288908dc190ddd0475940fcd2b31)
Уравнение (1) имеет аналитическое решение поэтому мы можем легко получить ошибку:
![{ displaystyle u (x) -u _ { epsilon} (x) = O ( epsilon ^ {2}), quad 0 <x <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1753b6d7b35288a87ccb413d50dd8fe0c666cc)
Продление на младшие коэффициенты
решение проблемы:
![{ displaystyle { frac {d ^ {2} u _ { epsilon}} {dx ^ {2}}} - c ^ { epsilon} (x) u _ { epsilon} = - phi ^ { epsilon} (х), quad 0 <x <2 quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530ca2fd47e3e6c61194a95eb1b0f9b2bff81c91)
Где
берем то же, что и в (3), а выражение для ![{ displaystyle c ^ { epsilon} (х)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84be9b7f9ea980f7dabdaa1d1e16b3d3119f8467)
![{ displaystyle c ^ { epsilon} (x) = { begin {cases} 0, & 0 <x <1 { frac {1} { epsilon ^ {2}}}, & 1 <x <2. end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27d1e514be71f945905264fc993ab9c4708c374)
Граничные условия для уравнения (4) такие же, как для (2).
Условия подключения в точке
:
![{ displaystyle [и _ { epsilon} (0)] = 0, left [{ frac {du _ { epsilon}} {dx}} right] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf31b2d4d05429863841e47193564a63b8e4a9f)
Ошибка:
![{ displaystyle u (x) -u _ { epsilon} (x) = O ( epsilon), quad 0 <x <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415fd0de098ebba569f61848e516ad1aac209d82)
Литература
- П.Н. Вабищевич, Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Издательство Московского университета, Москва, 1991.
- Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье – Стокса, Препринт ЦК СА СССР, 68, 1979.
- Бугров А.Н., Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье – Стокса, Математическая модель течения жидкости, Новосибирск, 1978, с. 79–90