Клиффорд анализ - Clifford analysis

Клиффорд анализ, с помощью Алгебры Клиффорда названный в честь Уильям Кингдон Клиффорд, это изучение Операторы Дирака, и операторы типа Дирака в анализе и геометрии вместе с их приложениями. Примеры операторов типа Дирака включают, помимо прочего, оператор Ходжа-Дирака, ${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$ на Риманово многообразие, оператор Дирака в евклидовом пространстве и обратный к нему на ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$ и их конформные эквиваленты на сфере, Лапласиан в евклидовом п-пространство и Атья –Оператор Зингера – Дирака на спиновый коллектор, Операторы типа Рариты – Швингера / Штейна – Вейсса, конформные лапласианы, спинориальные лапласианы и операторы Дирака на Вращение^C многообразия, системы операторов Дирака, Оператор Панейца, Операторы Дирака на гиперболическое пространство, гиперболические уравнения лапласиана и Вайнштейна.

Евклидово пространство

В евклидовом пространстве оператор Дирака имеет вид

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

куда е₁, ..., е_п ортонормированный базис для р^п, и р^п считается включенным в комплекс Алгебра Клиффорда, Cl_п(C) так что е_j² = −1.

Это дает

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

где Δ_п это Лапласиан в п-евклидово пространство.

В фундаментальное решение к евклидову оператору Дирака

${\displaystyle G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {x-y}{\|x-y\|^{n}}}}$

где ω_п площадь поверхности единичной сферы S^п−1.

Обратите внимание, что

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|x-y\|^{n-2}}}=G(x-y)}$

куда

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|x-y\|^{n-2}}}}$

это фундаментальное решение к Уравнение Лапласа за п ≥ 3.

Самый простой пример оператора Дирака - это Оператор Коши – Римана

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}}$

в комплексной плоскости. Действительно, многие основные свойства одной переменной комплексный анализ выполнить для многих операторов типа Дирака первого порядка. В евклидовом пространстве это включает Теорема Коши, а Интегральная формула Коши, Теорема Мореры, Серия Тейлор, Серия Laurent и Теорема Лиувилля. В этом случае Ядро Коши является грамм(Икс−у). Доказательство Интегральная формула Коши то же самое, что и в одной сложной переменной, и использует тот факт, что каждый ненулевой вектор Икс в евклидовом пространстве имеет мультипликативную обратную в алгебре Клиффорда, а именно

${\displaystyle -{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

С точностью до знака это обратное Кельвин обратный из Икс. Решения евклидова уравнения Дирака Df = 0 называются (слева) моногенными функциями. Моногенные функции - это частные случаи гармонические спиноры на спиновый коллектор.

Трехмерный и четырехмерный анализ Клиффорда иногда называют кватернионный анализ. Когда п = 4, оператор Дирака иногда называют оператором Коши – Римана – Фютера. В дальнейшем некоторые аспекты анализа Клиффорда называются гиперкомплексным анализом.

Анализ Клиффорда имеет аналоги Преобразования Коши, Ядра Бергмана, Ядра Szeg, Операторы Племеля, Пространства Харди, а Формула Керцмана – Стейна и Π, или Бёрлинг-Альфорс, преобразовать. Все они нашли применение в решении краевые задачи, включая подвижные краевые задачи, сингулярные интегралы и классический гармонический анализ. В частности, анализ Клиффорда использовался для решения некоторых Соболевские пространства, полная задача водной волны в 3D. Этот метод работает во всех измерениях больше 2.

Большая часть анализа Клиффорда сработает, если мы заменим сложный Алгебра Клиффорда настоящим Алгебра Клиффорда, Cl_п. Но это не тот случай, когда нам нужно иметь дело с взаимодействием между Оператор Дирака и преобразование Фурье.

Преобразование Фурье

Когда мы рассматриваем верхнее полупространство р^п,+ с границей р^п−1, промежуток е₁, ..., е_п−1, под преобразование Фурье символ оператора Дирака

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

является iζ куда

${\displaystyle \zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}.}$

В этой настройке Формулы Племеля находятся

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}+G(x-y)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}}$

а символы для этих операторов с точностью до знака

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).}$

Это операторы проектирования, иначе известные как взаимно уничтожающие идемпотенты, на пространство Cl_п(C) значных квадратично интегрируемых функций на р^п−1.

Обратите внимание, что

${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}}$

куда р_j это j-й потенциал Рисса,

${\displaystyle {\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.}$

Как символ ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$ является

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}}$

из умножения Клиффорда легко определить, что

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

Так что оператор свертки ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$ является естественным обобщением евклидова пространства Преобразование Гильберта.

Предположим U′ - домен в р^п−1 и г(Икс) является Cl_п(C) оценен вещественная аналитическая функция. потом г имеет Расширение Коши – Ковалевской к Уравнение Дирака в каком-то районе U' в р^п. Расширение явно задается

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

Когда это расширение применяется к переменной Икс в

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)}$

мы получаем это

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

это ограничение на р^п−1 из E₊ + E₋ куда E₊ является моногенной функцией в верхнем полупространстве и E₋ является моногенной функцией в нижнем полупространстве.

Также есть Теорема Пэли – Винера. в п-Евклидово пространство, возникающее в анализе Клиффорда.

Конформная структура

Многие операторы типа Дирака обладают ковариантностью при конформном изменении метрики. Это верно для оператора Дирака в евклидовом пространстве и оператора Дирака на сфере при преобразованиях Мёбиуса. Следовательно, это верно для операторов Дирака на конформно плоские многообразия и конформные многообразия которые одновременно спиновые многообразия.

Преобразование Кэли (стереографическая проекция)

В Преобразование Кэли или стереографическая проекция из р^п к единичной сфере S^п преобразует евклидов оператор Дирака в сферический оператор Дирака D_S. Явно

${\displaystyle D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)}$

где Γ_п - сферический оператор Бельтрами – Дирака

${\displaystyle \sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)}$

и Икс в S^п.

В Преобразование Кэли над п-пространство

${\displaystyle y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Его обратное

${\displaystyle x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.}$

Для функции ж(Икс), определенный в домене U в п-евклидово пространство и решение Уравнение Дирака, тогда

${\displaystyle J(C^{-1},y)f(C^{-1}(y))}$

уничтожен D_S, на C(U) где

${\displaystyle J(C^{-1},y)={\frac {y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^{n}}}.}$

В дальнейшем

${\displaystyle D_{S}(D_{S}-x)=\triangle _{S},}$

конформный оператор Лапласа или Ямабе на S^п. Явно

${\displaystyle \triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}}n(n-2)}$

куда ${\displaystyle \triangle _{LB}}$ это Оператор Лапласа – Бельтрами на S^п. Оператор ${\displaystyle \triangle _{S}}$ через преобразование Кэли конформно эквивалентен евклидову лапласиану. Также

${\displaystyle D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)}$

- оператор Панейца,

${\displaystyle -\triangle _{S}(\triangle _{S}+2),}$

на п-сфера. Благодаря преобразованию Кэли этот оператор конформно эквивалентен билапласиану: ${\displaystyle \triangle _{n}^{2}}$. Все это примеры операторов типа Дирака.

Преобразование Мебиуса

А Преобразование Мебиуса над п-евклидово пространство можно выразить как

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},}$

куда а, б, c и d ∈ Cl_п и удовлетворять определенным ограничениям. Связанный 2 × 2 Матрица называется матрицей Альфорса – Валена. Если

${\displaystyle y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}}$

и Df(у) = 0, тогда ${\displaystyle J(M,x)f(M(x))}$ является решением уравнения Дирака, где

${\displaystyle J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}}}$

и ~ является основным антиавтоморфизм действуя на Алгебра Клиффорда. Операторы D^k, или Δ_п^k/2 когда k четное, демонстрируют аналогичные ковариации при Преобразование Мебиуса в том числе Преобразование Кэли.

Когда топор+б и сх+d не равны нулю, они оба являются членами Клиффорд группа.

В качестве

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}}$

тогда у нас есть выбор в знаке определения J(M, Икс). Это означает, что для конформно плоское многообразие M нам нужно спиновая структура на M чтобы определить спинорный пучок на сечениях которых мы можем позволить действовать оператору Дирака. Явные простые примеры включают п-цилиндр, Коллектор Хопфа получен из п-евклидово пространство за вычетом начала координат и обобщения k-управляемые торы, полученные из верхнего полупространства путем факторизации его действиями обобщенных модулярных групп, действующих в верхнем полупространстве полностью разрывно. А Оператор Дирака могут быть введены в этих контекстах. Эти операторы Дирака являются частными примерами операторов Атьи – Зингера – Дирака.

Оператор Атьи – Зингера – Дирака

Учитывая спиновый коллектор M с спинорный пучок S и гладкий участок s(Икс) в S тогда в терминах локального ортонормированного базиса е₁(Икс), ..., е_п(Икс) касательного пучка M, оператор Атьи – Зингера – Дирака, действующий на s определяется как

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

куда ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$ это спин-соединение, подъем на S из Леви-Чивита связь на M. Когда M является п-евклидово пространство возвращаемся в евклидово Оператор Дирака.

От оператора Атьи – Зингера – Дирака D у нас есть Формула Лихнеровича

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

куда τ это скалярная кривизна на многообразие, и Γ^∗ является сопряженным к Γ. Оператор D² известен как спинориальный лапласиан.

Если M компактный и τ ≥ 0 и τ > 0 где то нет нетривиальных нетривиальных гармонические спиноры на коллекторе. Это теорема Лихнеровича. Легко видеть, что теорема Лихнеровича является обобщением Теорема Лиувилля из одного переменного комплексного анализа. Это позволяет отметить, что над пространством гладких спинорных сечений оператор D обратимо такое многообразие.

В случаях, когда оператор Атьи – Зингера – Дирака обратим на пространстве гладких спинорных сечений с компактным носителем, можно ввести

${\displaystyle C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

куда δ_у это Дельта-функция Дирака оценивается в у. Это порождает Ядро Коши, какой фундаментальное решение к этому оператору Дирака. Отсюда можно получить Интегральная формула Коши за гармонические спиноры. С этим ядром многое из того, что описано в первом разделе этой статьи, переносится на обратимые операторы Атьи – Зингера – Дирака.

С помощью Теорема Стокса или иначе, можно дополнительно определить, что при конформном изменении метрики операторы Дирака, связанные с каждой метрикой, пропорциональны друг другу, и, следовательно, их обратные, если они существуют.

Все это обеспечивает потенциальные связи с теорией индекса Атьи – Зингера и другими аспектами геометрического анализа с участием операторов типа Дирака.

Гиперболические операторы типа Дирака

В анализе Клиффорда также рассматриваются дифференциальные операторы в верхнем полупространстве, диске или гиперболе относительно гиперболического или Метрика Пуанкаре.

Для верхнего полупространства делится Алгебра Клиффорда, Cl_п в Cl_п−1 + Cl_п−1е_п. Таким образом, для а в Cl_п можно выразить а в качестве б + ce_п с а, б в Cl_п−1. Тогда есть операторы проекции п и Q определяется следующим образом п(а) = б и Q(а) = c. Оператор Ходжа – Дирака, действующий на функцию ж относительно гиперболической метрики в верхнем полупространстве теперь определяется как

${\displaystyle Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)}$.

В этом случае

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$.

Оператор

${\displaystyle \triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

это Лапласиан с уважением к Метрика Пуанкаре в то время как другой оператор является примером оператора Вайнштейна.

В гиперболический лапласиан инвариантен относительно действий конформной группы, а гиперболический оператор Дирака ковариантен относительно таких действий.

Операторы Рариты – Швингера / Штейна – Вейсса

Операторы Рариты – Швингера, также известные как операторы Штейна – Вейсса, возникают в теории представлений для Spin и Группы контактов. Оператор р_k это конформно-ковариантный дифференциальный оператор первого порядка. Здесь k = 0, 1, 2, .... Когда k = 0, оператор Рариты – Швингера - это просто оператор Дирака. В теории представлений для ортогональная группа, O (п) принято рассматривать функции, принимающие значения в пространствах однородных гармонические полиномы. Когда это уточняется теория представлений к двойному накладному штифту (п) из O (п) заменяются пространства однородных гармонических многочленов на пространства k однородный многочлен решения уравнения Дирака, иначе известные как k моногенные полиномы. Считается функция ж(Икс, ты) где Икс в U, домен в р^п, и ты варьируется в зависимости от р^п. В дальнейшем ж(Икс, ты) это k-моногенный полином от ты. Теперь применим оператор Дирака D_Икс в Икс к ж(Икс, ты). Теперь, поскольку алгебра Клиффорда не коммутативна D_Иксж(Икс, ты), то эта функция больше не k моногенный, но является однородным гармоническим полиномом от ты. Теперь для каждого гармонического полинома час_k однородный по степени k существует Разложение Альманси – Фишера

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)}$

куда п_k и п_k−1 соответственно k и k−1 моногенные многочлены. Позволять п быть проекцией час_k к п_k то оператор Рариты – Швингера определяется как PD_k, и обозначается он р_k. Используя лемму Эйлера, можно определить, что

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

Так

${\displaystyle R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.}$

Конференции и журналы

Вокруг Клиффорда и геометрических алгебр существует активное и междисциплинарное сообщество с широким спектром приложений. Основные конференции по этой теме: Международная конференция по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике (ICCA) и Приложения геометрической алгебры в информатике и инженерии (AGACSE) серии. Основное издание - журнал Springer. Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда.

Смотрите также

• Алгебра Клиффорда
• Сложная спиновая структура
• Конформное многообразие
• Конформно плоский коллектор
• Оператор Дирака
• Метрика Пуанкаре
• Спиновая группа
• Структура спина
• Связка спиноров

Рекомендации

• Альфорс, Л.В. (1981), Преобразования Мёбиуса в нескольких измерениях, Лекции профессора Ордуэя по математике, Университет Миннесоты, HDL:2027 / mdp.39015015619276, OCLC  681384835.
• Альфорс, Л. (1986), "Преобразования Мебиуса в р^п выражается через матрицы чисел Клиффорда 2 × 2 ", Комплексные переменные, 5: 215–224, Дои:10.1080/17476938608814142.
• Brackx, F .; Delanghe, R .; Соммен, Ф. (1982), Клиффорд анализ, Исследовательские заметки Питмана по математике, Longman, ISBN  0-273-08535-2.
• Bures, J .; Sommen, F .; Soucek, V .; Ванланкер П. (2001), "Операторы типа Рариты – Швингера в анализе Клиффорда", Журнал функционального анализа, 185 (2): 425–455, Дои:10.1006 / jfan.2001.3781.
• Коломбо, Ф .; Sabadini, I .; Sommen, F .; Струппа, Д. (2004), Анализ систем Дирака и вычислительная алгебра, Успехи математической физики, Birkhauser Verlag, ISBN  0-8176-4255-2.
• Eastwood, M .; Райан, Дж. (2007), "Аспекты операторов Дирака в анализе", Миланский математический журнал, 75 (1): 91–116, Дои:10.1007 / s00032-007-0077-5.
• Фридрих, Т. (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии, Аспирантура по математике, 25, Американское математическое общество.
• Джеффрис, Б. (2004), Спектральные свойства некоммутирующих операторов., Конспект лекций по математике, 1843, Springer Verlag, ISBN  3-540-21923-4.
• Краусшар, Р. С. (2004), Обобщенные аналитические автоморфные формы в гиперкомплексном пространстве., Границы математики, Birkhauser Verlag, ISBN  3-7643-7059-9.
• Lawson, H.B .; Микелсон, М.-Л. (1989), Спиновая геометрия, Принстонская математическая серия, 38, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08542-0.
• Макинтош, A. (1996), "Алгебры Клиффорда, теория Фурье, сингулярные интегралы и гармонические функции на липшицевых областях", в Ryan, J. (ed.), Алгебры Клиффорда в анализе и смежных областях, Исследования по высшей математике, CRC Press, стр. 33–87, ISBN  0-8493-8481-8.
• Митреа, М. (1994), Сингулярные интегралы, пространства Харди и всплески Клиффорда, Конспект лекций по математике, 1575, Springer Verlag, ISBN  0-387-57884-6.
• Роу, Дж. (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы., Исследования Питмана по математике, 395 Longman (2-е изд.), Харлоу, ISBN  0-582-32502-1.
• Райан, Дж. (1996), Алгебры Клиффорда в Аналитике и связанных темах, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8481-8.
• Stein, E .; Вайс, Г. (1968), "Обобщения Уравнения Коши Римана и представления группы вращения », Американский журнал математики, 90 (1): 163–196, Дои:10.2307/2373431, JSTOR  2373431.
• Садбери А. (1979) "Кватернионный анализ", Математические труды Кембриджского философского общества, 85 (02): 199–225, Bibcode:1979MPCPS..85..199S, Дои:10.1017 / S0305004100055638.
• Тао, Т. (1996) "Операторы свертки о липшицевых графах с гармоническими ядрами », Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда, 6: 207–218, ISSN  0188-7009.
• Ву, С. (1999), «Корректность в Соболевские пространства задачи полной водной волны в 3-D ", Журнал Американского математического общества, 12 (02): 445–495, Дои:10.1090 / S0894-0347-99-00290-8.

внешняя ссылка

• Конспект лекций по операторам Дирака в анализе и геометрии
• Колдербанк, Дэвид М.Дж. (19 декабря 1997 г.), Операторы Дирака и анализ Клиффорда на многообразиях с краем, Датское математическое общество, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, архивировано из оригинал на 2009-08-13