Уравнение Рариты – Швингера - Rarita–Schwinger equation

В теоретическая физика, то Уравнение Рариты – Швингера эторелятивистский уравнение поля из вращение -3/2 фермионы. Это похоже на Уравнение Дирака для фермионов спина 1/2. Это уравнение было впервые введено Уильям Рарита и Джулиан Швингер в 1941 г.

В современных обозначениях это можно записать так:^[1]

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0}$

куда ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }}$ это Символ Леви-Чивита,${\displaystyle \gamma _{5}}$ и ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ находятся Матрицы Дирака,${\displaystyle m}$ это масса,${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$,и ${\displaystyle \psi _{\nu }}$ векторнозначный спинор с дополнительными компонентами по сравнению с четырехкомпонентным спинором в уравнении Дирака. Это соответствует (1/2, 1/2) ⊗ ((1/2, 0) ⊕ (0, 1/2)) представление группы Лоренца а точнее его (1, 1/2) ⊕ (1/2, 1) часть.^[2]

Это уравнение поля может быть получено как Уравнение Эйлера – Лагранжа. соответствующему методу Рариты – Швингера Лагранжиан:^[3]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }}$

где бар выше ${\displaystyle \psi _{\mu }}$ обозначает Дирак сопряженный.

Это уравнение контролирует распространение волновая функция составных объектов, таких как дельта-барионы (
Δ
) или для предположительного Gravitino. Пока нет элементарная частица со спином 3/2 обнаружено экспериментально.

Безмассовое уравнение Рарита – Швингера обладает фермионной калибровочной симметрией: инвариантно относительно калибровочного преобразования ${\displaystyle \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon }$, куда ${\displaystyle \epsilon \equiv \epsilon _{\alpha }}$ - произвольное спинорное поле. Это просто местный суперсимметрия из супергравитация, и поле должно быть гравитино.

Существуют также «вейлевские» и «майорановские» версии уравнения Рариты – Швингера.

Уравнения движения в безмассовом случае.

Рассмотрим безмассовое поле Рарита-Швингера, описываемое плотностью лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{RS}={\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

где сумма по спиновым индексам неявная, ${\displaystyle \psi _{\mu }}$ спиноры Майораны и

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\equiv {\frac {1}{3!}}\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]}.}$

Для получения уравнений движения варьируем лагранжиан по полям ${\displaystyle \psi _{\mu }}$, получение:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }+{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\delta \psi _{\rho }=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }-\partial _{\nu }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\delta \psi _{\rho }+{\text{ boundary terms}}}$

с использованием свойств переворота Майораны^[4]мы видим, что второй и первый члены на правой стороне равны, заключая, что

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=2\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

плюс неважные граничные условия. ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=0}$ Таким образом, мы видим, что уравнение движения безмассового спинора Майорана Рариты-Швингера имеет вид:

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }=0.}$

Недостатки уравнения

Текущее описание массивных полей с более высоким спином через Рариту – Швингер или Фирц – Паули формализм поражен несколькими недугами.

Сверхсветовое распространение

Как и в случае с уравнением Дирака, электромагнитное взаимодействие может быть добавлено путем преобразования частной производной в калибровочная ковариантная производная:

${\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }}$.

В 1969 г. Вело и Цванцигер показали, что лагранжиан Рариты – Швингера связан с электромагнетизм приводит к уравнению с решениями, представляющими волновые фронты, некоторые из которых распространяются быстрее света. Другими словами, тогда поле страдает от акаузального сверхсветового распространения; следовательно, квантование во взаимодействии с электромагнетизмом существенно ошибочен^{[Почему? ]}. Однако в расширенной супергравитации Дас и Фридман^[5] показали, что локальная суперсимметрия решает эту проблему^{[как? ]}.

Рекомендации

1. С. Вайнберг, "Квантовая теория полей", Vol. 3, Кембридж, стр. 335
2. С. Вайнберг, "Квантовая теория полей", Vol. 1, Кембридж, стр. 232
3. С. Вайнберг, "Квантовая теория полей", Vol. 3, Кембридж, стр. 335
4. Пьер Рамонд - Теория поля, современный учебник - с.40
5. Das, A .; Фридман, Д. З. (1976). «Калибровочное квантование для полей со спином 3/2». Ядерная физика B. 114 (2): 271. Bibcode:1976НуФБ.114..271Д. Дои:10.1016/0550-3213(76)90589-7.; Freedman, D. Z .; Дас, А. (1977). «Калибровочная внутренняя симметрия в расширенной супергравитации». Ядерная физика B. 120 (2): 221. Bibcode:1977НуФБ.120..221Ф. Дои:10.1016/0550-3213(77)90041-4.

Источники

• Рарита, Уильям; Швингер, Джулиан (1941-07-01). «К теории частиц с полуинтегральным спином». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 60 (1): 61–61. Дои:10.1103 / Physrev.60.61. ISSN  0031-899X.
• Коллинз П.Д.Б., Мартин А.Д., Сквайрз Э.Дж., Физика элементарных частиц и космология (1989) Уайли, Раздел 1.6.
• Вело, Джорджио; Цванцигер, Даниэль (1969-10-25). «Распространение и квантование волн Рарита-Швингера во внешнем электромагнитном потенциале». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 186 (5): 1337–1341. Дои:10.1103 / Physrev.186.1337. ISSN  0031-899X.
• Вело, Джорджио; Цванзингер, Даниэль (1969-12-25). «Беспричинность и другие дефекты лагранжианов взаимодействия для частиц со спином один и выше». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 188 (5): 2218–2222. Дои:10.1103 / Physrev.188.2218. ISSN  0031-899X.
• Кобаяши, М .; Шамалы, А. (1978-04-15). «Минимальная электромагнитная связь для массивных полей спина два». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 17 (8): 2179–2181. Дои:10.1103 / Physrevd.17.2179. ISSN  0556-2821.