Алгебра Клиффорда - Clifford algebra

Эта статья посвящена (ортогональной) алгебре Клиффорда. Для симплектической алгебры Клиффорда см. Алгебра Вейля.

В математика, а Алгебра Клиффорда является алгеброй, порожденной векторное пространство с квадратичная форма, и является единый ассоциативная алгебра. Так как K-алгебры, они обобщают действительные числа, сложные числа, кватернионы и несколько других гиперкомплексное число системы.^[1][2] Теория алгебр Клиффорда тесно связана с теорией квадратичные формы и ортогональные преобразования. Алгебры Клиффорда имеют важные приложения во множестве областей, включая геометрия, теоретическая физика и цифровая обработка изображений. Они названы в честь английского математика. Уильям Кингдон Клиффорд.

Наиболее известные алгебры Клиффорда - ортогональные алгебры Клиффорда, также обозначаются как (псевдо-)Римановы алгебры Клиффорда, в отличие от симплектические алгебры Клиффорда.^[3]

Введение и основные свойства

Алгебра Клиффорда - это единый ассоциативная алгебра который содержит и генерируется векторное пространство V через поле K, где V оснащен квадратичная форма Q : V → K. Алгебра Клиффорда Cl (V, Q) это "свободнейшая" алгебра Сгенерированно с помощью V при условии^[4]

${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,}$

где произведение слева - это произведение алгебры, а 1 - ее мультипликативная идентичность. Идея быть «самой свободной» или «самой общей» алгеброй, подчиняющейся этому тождеству, может быть формально выражена через понятие универсальная собственность, как сделано ниже.

куда V является конечномерным вещественным векторным пространством и Q невырожденный, Cl (V, Q) может обозначаться меткой Cl_п,q(р), указывая, что V имеет ортогональный базис с п элементы с е_я² = +1, q с участием е_я² = −1, и где р указывает, что это алгебра Клиффорда над действительными числами; т.е. коэффициенты элементов алгебры - действительные числа.

Свободная алгебра, порожденная V можно записать как тензорная алгебра ⊕_п≥0 V ⊗ ⋯ ⊗ V, то есть сумма тензорное произведение из п копии V в общем и целом п, и поэтому алгебра Клиффорда будет частное этой тензорной алгебры двусторонним идеальный генерируется элементами формы v ⊗ v − Q(v)1 для всех элементов v ∈ V. Произведение, индуцированное тензорным произведением в фактор-алгебре, записывается с использованием сопоставления (например, УФ). Его ассоциативность следует из ассоциативности тензорного произведения.

Алгебра Клиффорда имеет подпространство V, будучи образ из встраивание карта. Такое подпространство, вообще говоря, не может быть однозначно определено, если только K-алгебра изоморфный к алгебре Клиффорда.

Если характеристика наземного поля K не равно 2, то это фундаментальное тождество можно переписать в виде

${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$

где

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$

это симметричная билинейная форма связан с Q, через поляризационная идентичность.

Квадратичные формы и алгебры Клиффорда характеристики 2 составляют исключительный случай. В частности, если символ (K) = 2 неверно, что квадратичная форма однозначно определяет симметричную билинейную форму, удовлетворяющую Q(v) = ⟨v, v⟩, ни то, что каждая квадратичная форма допускает ортогональный базис. Многие утверждения в этой статье включают условие, что характеристика не равна 2, и являются ложными, если это условие будет удалено.

Как квантование внешней алгебры

Алгебры Клиффорда тесно связаны с внешние алгебры. Действительно, если Q = 0 тогда алгебра Клиффорда Cl (V, Q) это просто внешняя алгебра ⋀ (V). Для ненулевого Q существует канонический линейный изоморфизм между ⋀ (V) и Cl (V, Q) всякий раз, когда наземное поле K не имеет характеристики два. То есть они естественно изоморфный как векторные пространства, но с разными умножениями (в случае характеристики два они все еще изоморфны как векторные пространства, только не естественно). Умножение Клиффорда вместе с выделенным подпространством строго богаче, чем внешний продукт поскольку он использует дополнительную информацию, предоставленную Q.

Алгебра Клиффорда - это фильтрованная алгебра, то ассоциированная градуированная алгебра - внешняя алгебра.

Точнее, алгебры Клиффорда можно рассматривать как квантования (ср. квантовая группа ) внешней алгебры точно так же, как Алгебра Вейля квантование симметрическая алгебра.

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дальнейшую структуру *-алгебра, и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебра, как обсуждалось в CCR и CAR алгебры.

Универсальное имущество и строительство

Позволять V быть векторное пространство через поле K, и разреши Q : V → K быть квадратичная форма на V. В большинстве случаев интересующие поля K это либо поле действительные числа р, или поле сложные числа C, или конечное поле.

Алгебра Клиффорда Cl (V, Q) пара (А, я),^[5][6] где А это единый ассоциативная алгебра над K и я это линейная карта я : V → Cl (V, Q) удовлетворение я(v)² = Q(v)1 для всех v в V, определяемый следующими универсальная собственность: для любой ассоциативной алгебры с единицей А над K и любая линейная карта j : V → А такой, что

${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V}$

(где 1_А обозначает мультипликативное тождество А) существует единственный гомоморфизм алгебр ж : Cl (V, Q) → А такая, что следующая диаграмма ездит на работу (т.е. такие, что ж∘я = j):

Квадратичная форма Q может быть заменен на (не обязательно симметричный) билинейная форма ⟨⋅,⋅⟩ что имеет свойство ⟨v, v⟩ = Q(v), v ∈ V, в этом случае эквивалентное требование на j является

${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V\ ,}$

${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V\ .}$

Когда характеристика поля не равна 2, первое требование может быть опущено, поскольку оно подразумевается вторым, а билинейная форма может быть ограничена симметрией без потери общности.

Алгебра Клиффорда, описанная выше, всегда существует и может быть построена следующим образом: начните с наиболее общей алгебры, содержащей V, а именно тензорная алгебра Т(V), а затем усилить фундаментальное тождество, выбрав подходящий частное. В нашем случае мы хотим взять двусторонний идеальный я_Q в Т(V), порожденные всеми элементами формы

${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$ для всех ${\displaystyle v\in V}$

и определить Cl (V, Q) как фактор-алгебра

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$

В кольцо продукт, унаследованный от этого частного, иногда называют Клиффорд продукт^[7] чтобы отличить его от внешнего произведения и скалярного произведения.

Тогда несложно показать, что Cl (V, Q) содержит V и удовлетворяет вышеуказанному универсальному свойству, так что Cl единственно с точностью до единственного изоморфизма; так говорят об "" алгебре Клиффорда Cl (V, Q). Из этой конструкции также следует, что я является инъективный. Обычно бросают я и считает V как линейное подпространство из Cl (V, Q).

Универсальная характеризация алгебры Клиффорда показывает, что построение Cl (V, Q) является функториальный в природе. А именно, Cl можно рассматривать как функтор от категория векторных пространств с квадратичными формами (чьи морфизмы являются линейными отображениями, сохраняющими квадратичную форму) в категорию ассоциативных алгебр. Универсальное свойство гарантирует, что линейные отображения между векторными пространствами (сохраняющие квадратичную форму) однозначно расширяются до гомоморфизмов алгебр между ассоциированными алгебрами Клиффорда.

Основа и размер

поскольку V имеет квадратную форму Q, в характеристике не равной 2 существуют базы для V которые ортогональный. An ортогональный базис такое, что для симметричной билинейной формы

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ для ${\displaystyle i\neq j}$, и ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$

Из фундаментального тождества Клиффорда следует, что для ортогонального базиса

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$ для ${\displaystyle i\neq j}$, и ${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i})}$.

Это значительно упрощает манипуляции с ортогональными базисными векторами. Учитывая продукт ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$ из отчетливый ортогональные базисные векторы V, их можно расположить в стандартном порядке с включением общего знака, определяемого количеством попарные свопы необходимо для этого (т.е. подпись заказа перестановка ).

Если измерение из V над K является п и {е₁, …, е_п} ортогональный базис (V, Q), тогда Cl (V, Q) свободен K с основой

${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\mbox{ and }}0\leq k\leq n\}}$.

Пустой товар (k = 0) определяется как мультипликативный элемент идентичности. Для каждого значения k есть п выбирать k базисных элементов, поэтому общая размерность алгебры Клиффорда равна

${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}.}$

Примеры: вещественные и комплексные алгебры Клиффорда.

Наиболее важными алгебрами Клиффорда являются те, что настоящий и сложный векторные пространства, оснащенные невырожденные квадратичные формы.

Каждая из алгебр Cl_п,q(р) и Cl_п(C) изоморфна А или А ⊕ А, где А это полное матричное кольцо с записями из р, C, или ЧАС. Полную классификацию этих алгебр см. классификация алгебр Клиффорда.

Действительные числа

Основная статья: Геометрическая алгебра

Вещественные алгебры Клиффорда также иногда называют геометрические алгебры.

Всякая невырожденная квадратичная форма на конечномерном вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\ldots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\ldots -v_{p+q}^{2},}$

где п = п + q - размерность векторного пространства. Пара целых чисел (п, q) называется подпись квадратичной формы. Вещественное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается р^п,q. Алгебра Клиффорда на р^п,q обозначается Cl_п,q(р). Символ Cl_п(р) означает либо Cl_п,0(р) или Cl_0,п(р) в зависимости от того, предпочитает ли автор положительно-определенные или отрицательно-определенные пространства.

Стандарт основа {е₁, ..., е_п} для р^п,q состоит из п = п + q взаимно ортогональные векторы, п из которых квадрат на +1 и q из которых квадрат к -1. Из такого базиса алгебра Cl_п,q(р) поэтому будет п векторы, которые возводятся в квадрат +1 и q векторы, которые возводятся в квадрат с -1.

Вот несколько низкоразмерных случаев:

Cl_0,0(р) естественно изоморфна р так как ненулевых векторов нет.

Cl_0,1(р) - двумерная алгебра, порожденная е₁ квадраты равны −1 и алгебра-изоморфны C, Поле сложные числа.

Cl_0,2(р) - четырехмерная алгебра, натянутая на {1, е₁, е₂, е₁е₂}. Последние три элемента все в квадрате с −1 и антикоммутируют, поэтому алгебра изоморфна кватернионы ЧАС.

Cl_0,3(р) является 8-мерной алгеброй, изоморфной прямая сумма ЧАС ⊕ ЧАС, то сплит-бикватернионы.

Сложные числа

Можно также изучать алгебры Клиффорда на комплексных векторных пространствах. Каждая невырожденная квадратичная форма на комплексном векторном пространстве размерности п эквивалентен стандартной диагональной форме

${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}}$.

Таким образом, для каждого измерения п, с точностью до изоморфизма существует только одна алгебра Клиффорда комплексного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой. Обозначим алгебру Клиффорда на C^п со стандартной квадратичной формой по Cl_п(C).

Для первых нескольких случаев обнаруживается, что

Cl₀(C) ≅ C, то сложные числа

Cl₁(C) ≅ C ⊕ C, то бикомплексные числа

Cl₂(C) ≅ M₂(C), бикватернионы

где M_п(C) обозначает алгебру п × п матрицы над C.

Примеры: построение кватернионов и двойных кватернионов

Кватернионы

В этом разделе Гамильтон кватернионы строятся как четная подалгебра алгебры Клиффорда Cl_0,3(р).

Пусть векторное пространство V быть реальным трехмерным пространством р³, а квадратичная форма Q быть отрицательным по отношению к обычной евклидовой метрике. Тогда для v, ш в р³ у нас есть билинейная форма (или скалярное произведение)

${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

Теперь представим произведение Клиффорда векторов v и ш данный

${\displaystyle vw+wv=-2(v\cdot w).}$

В этой формулировке используется отрицательный знак, поэтому соответствие с кватернионы легко показать.

Обозначим набор ортогональных единичных векторов р³ так как е₁, е₂, и е₃, то произведение Клиффорда дает соотношения

${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$

и

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1.}$

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl_0,3(р) дан кем-то

${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$

Линейная комбинация элементов четной степени Cl_0,3(р) определяет четную подалгебру Cl^[0]
_0,3(р) с общим элементом

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$

Базовые элементы можно отождествить с кватернионными базисными элементами. я, j, k так как

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},}$

что показывает, что четная подалгебра Cl^[0]
_0,3(р) является действительным кватернион алгебра.

Чтобы увидеть это, вычислите

${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$

и

${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$

В заключение,

${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2}=-1.}$

Двойные кватернионы

В этой секции, двойные кватернионы строятся как четная алгебра Клиффорда вещественного четырехмерного пространства с вырожденной квадратичной формой.^[8][9]

Пусть векторное пространство V быть реальным четырехмерным пространством р⁴, и пусть квадратичная форма Q - вырожденная форма, полученная из евклидовой метрики на р³. Для v, ш в р⁴ введем вырожденную билинейную форму

${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$

Это вырожденное скалярное произведение проецирует измерения расстояний в р⁴ на р³ гиперплоскость.

Произведение Клиффорда векторов v и ш дан кем-то

${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$

Обратите внимание, что отрицательный знак введен для упрощения соответствия с кватернионами.

Обозначим набор взаимно ортогональных единичных векторов р⁴ так как е₁, е₂, е₃ и е₄, то произведение Клиффорда дает соотношения

${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$

и

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl (р⁴, d) состоит из 16 компонентов. Линейная комбинация элементов четной степени определяет четную подалгебру Cl^[0]
(р⁴, d) с общим элементом

${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$

Базовые элементы можно отождествить с кватернионными базисными элементами. я, j, k и двойной блок ε так как

${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$

Это обеспечивает соответствие Cl^[0]
_0,3,1(р) с участием двойной кватернион алгебра.

Чтобы увидеть это, вычислите

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$

и

${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$

Обмены е₁ и е₄ чередуйте знаки четное количество раз и покажите двойную единицу ε коммутирует с кватернионными базисными элементами я, j, и k.

Примеры: малый размер

Позволять K - любое поле характеристики не 2.

Размер 1

Для тусклый V = 1, если Q имеет диагонализацию диагонали (а), то есть существует ненулевой вектор Икс такой, что Q(Икс) = а, тогда Cl (V, Q) алгебра-изоморфна K-алгебра, порожденная элементом Икс удовлетворение Икс² = а, квадратичная алгебра K[Икс] / (Икс² − а).

В частности, если а = 0 (это, Q - нулевая квадратичная форма), то Cl (V, Q) алгебра-изоморфна двойные числа алгебра над K.

Если а ненулевой квадрат в K, тогда Cl (V, Q) ≃ K ⊕ K.

В противном случае, Cl (V, Q) изоморфно квадратичному расширению поля K(√а) из K.

Размер 2

Для тусклый V = 2, если Q имеет диагонализацию диаг (а, б) с ненулевым а и б (который всегда существует, если Q невырожден), то Cl (V, Q) изоморфен K-алгебра, порожденная элементами Икс и у удовлетворение Икс² = а, у² = б и ху = −yx.

Таким образом Cl (V, Q) изоморфен (обобщенному) кватернионная алгебра (а, б)_K. Мы получаем кватернионы Гамильтона, когда а = б = −1, поскольку ЧАС = (−1, −1)_р.

Как частный случай, если некоторые Икс в V удовлетворяет Q(Икс) = 1, тогда Cl (V, Q) ≃ M₂(K).

Свойства

Отношение к внешней алгебре

Учитывая векторное пространство V можно построить внешняя алгебра ⋀(V), определение которой не зависит от какой-либо квадратичной формы на V. Получается, что если K не имеет характеристики 2, то существует естественный изоморфизм между ⋀ (V) и Cl (V, Q) рассматриваются как векторные пространства (и существует изоморфизм в характеристике два, что может быть неестественным). Это изоморфизм алгебр тогда и только тогда, когда Q = 0. Таким образом, можно рассматривать алгебру Клиффорда Cl (V, Q) как обогащение (или, точнее, квантование, ср. Введение) внешней алгебры на V с умножением, которое зависит от Q (внешний продукт все еще можно определить независимо от Q).

Самый простой способ установить изоморфизм - выбрать ортогональный основа {е₁, ..., е_п} для V и расширить его до основы для Cl (V, Q) как описано над. Карта Cl (V, Q) → ⋀(V) определяется

${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$

Обратите внимание, что это работает, только если основа {е₁, …, е_п} ортогонален.Можно показать, что это отображение не зависит от выбора ортогонального базиса и тем самым дает естественный изоморфизм.

Если характеристика из K равно 0, изоморфизм также можно установить антисимметризацией. Определить функции ж_k: V × ⋯ × V → Cl (V, Q) от

${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$

где сумма берется по симметричная группа на k элементы, S_k. поскольку ж_k является чередование он индуцирует уникальное линейное отображение ⋀^k(V) → Cl (V, Q). В прямая сумма этих отображений дает линейное отображение между ⋀ (V) и Cl (V, Q). Можно показать, что это отображение является линейным изоморфизмом, и это естественно.

Более сложный способ взглянуть на отношения - построить фильтрация на Cl (V, Q). Напомним, что тензорная алгебра Т(V) имеет естественную фильтрацию: F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ ..., где F^k содержит суммы тензоров с порядок ≤ k. Проецирование этого на алгебру Клиффорда дает фильтрацию на Cl (V, Q). В ассоциированная градуированная алгебра

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$

естественно изоморфна внешней алгебре ⋀ (V). Поскольку ассоциированная градуированная алгебра фильтрованной алгебры всегда изоморфна фильтрованной алгебре как фильтрованные векторные пространства (выбирая дополнения к F^k в F^k+1 для всех k), это обеспечивает изоморфизм (хотя и не естественный) любой характеристики, даже двух.

Оценка

Далее предположим, что характеристика не равна 2.^[10]

Алгебры Клиффорда Z₂-градуированные алгебры (также известен как супералгебры ). Действительно, линейное отображение на V определяется v ↦ −v (отражение через начало координат ) сохраняет квадратичную форму Q и поэтому в силу универсального свойства алгебр Клиффорда продолжается до алгебры автоморфизм

${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$

поскольку α является инволюция (т.е. он равен квадрату идентичность ) можно разложить Cl (V, Q) на положительные и отрицательные собственные подпространства α

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$

где

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$

поскольку α является автоморфизмом, то:

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$

где верхние индексы в квадратных скобках читаются по модулю 2. Это дает Cl (V, Q) структура Z₂-градуированная алгебра. Подпространство Cl^[0](V, Q) образует подалгебра из Cl (V, Q), называется даже подалгебра. Подпространство Cl^[1](V, Q) называется странная часть из Cl (V, Q) (это не подалгебра). Эта Z₂-градуировка играет важную роль в анализе и применении алгебр Клиффорда. Автоморфизм α называется основной инволюция или инволюция степени. Элементы, которые чисты в этом Z₂-классификация просто считается четной или нечетной.

Замечание. В характеристике not 2 лежащее в основе векторное пространство Cl (V, Q) наследует N-сортировка и Z-градуировка из канонического изоморфизма с основным векторным пространством внешней алгебры ⋀ (V).^[11] Однако важно отметить, что это только классификация в векторном пространстве. То есть умножение Клиффорда не учитывает N-сортировка или Z-сортировка, только Z₂-градуировка: например, если Q(v) ≠ 0, тогда v ∈ Cl¹(V, Q), но v² ∈ Cl⁰(V, Q), не в Cl²(V, Q). К счастью, оценки связаны естественным образом: Z₂ ≅ N/2N ≅ Z/2Z. Кроме того, алгебра Клиффорда Z-фильтрованный:

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$

В степень числа Клиффорда обычно относится к степени в N-градуировка.

Четная подалгебра Cl^[0](V, Q) алгебры Клиффорда сама изоморфна алгебре Клиффорда.^[12][13] Если V это ортогональная прямая сумма вектора а ненулевой нормы Q(а) и подпространство U, тогда Cl^[0](V, Q) изоморфен Cl (U, −Q(а)Q), где -Q(а)Q это форма Q ограниченный U и умножается на -Q(а). В частности, это означает, что:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$

В отрицательно-определенном случае это дает включение Cl_0,п−1(р) ⊂ Cl_0,п(р), который расширяет последовательность

р ⊂ C ⊂ ЧАС ⊂ ЧАС ⊕ ЧАС ⊂ …

Точно так же в комплексном случае можно показать, что четная подалгебра в Cl_п(C) изоморфна Cl_п−1(C).

Антиавтоморфизмы

Помимо автоморфизма α, есть два антиавтоморфизмы которые играют важную роль в анализе алгебр Клиффорда. Напомним, что тензорная алгебра Т(V) имеет антиавтоморфизм, который меняет порядок во всех произведениях векторов:

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$

Поскольку идеальный я_Q инвариантна относительно этого обращения, эта операция спускается к антиавтоморфизму Cl (V, Q) называется транспонировать или разворот операция, обозначаемая Икс^т. Транспонирование - это антиавтоморфизм: (ху)^т = у^т Икс^т. Операция транспонирования не использует Z₂-градуируя, поэтому мы определяем второй антиавтоморфизм, составляя α и транспонировать. Мы называем эту операцию Спряжение Клиффорда обозначенный ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$

Из двух антиавтоморфизмов транспонирование является более фундаментальным.^[14]

Обратите внимание, что все эти операции инволюции. Можно показать, что они действуют как ± 1 на элементах, чистых в Z-градуировка. На самом деле все три операции зависят только от степени по модулю 4. То есть, если Икс чисто со степенью k тогда

${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$

где знаки приведены в следующей таблице:

k мод 4	0	1	2	3	…
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	+	−	+	−	(−1)k
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	+	+	−	−	(−1)k(k − 1)/2
${\displaystyle {\bar {x}}}$	+	−	−	+	(−1)k(k + 1)/2

Скалярное произведение Клиффорда

Смотрите также: Внешняя алгебра § Произведение Клиффорда

Когда характеристика не равна 2, квадратичная форма Q на V продолжается до квадратичной формы на всех Cl (V, Q) (который мы также обозначили Q). Базисно-независимое определение одного такого расширения:

${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$

где ⟨а⟩₀ обозначает скалярную часть а (часть степени 0 в Z-градуировка). Можно показать, что

${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$

где v_я являются элементами V - эта личность не верно для произвольных элементов Cl (V, Q).

Соответствующая симметричная билинейная форма на Cl (V, Q) дан кем-то

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$

Можно проверить, что это сводится к исходной билинейной форме при ограничении V. Билинейная форма на всех Cl (V, Q) является невырожденный тогда и только тогда, когда он невырожден на V.

Оператор левого (соответственно правого) умножения Клиффорда на транспонированный а^т элемента а это прилегающий левого (соответственно правого) умножения Клиффорда на а относительно этого внутреннего продукта. Это,

${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$

и

${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$

Структура алгебр Клиффорда

В этом разделе мы предполагаем, что характеристика не равна 2, векторное пространство V конечномерна и что соответствующая симметричная билинейная форма Q неособен. А центральная простая алгебра над K является матричной алгеброй над (конечномерной) алгеброй с делением с центром K. Например, центральные простые алгебры над действительными числами являются матричными алгебрами над действительными числами или кватернионами.

• Если V имеет четное измерение тогда Cl (V, Q) центральная простая алгебра над K.
• Если V имеет четное измерение тогда Cl^[0](V, Q) центральная простая алгебра над квадратичным расширением K или сумма двух изоморфных центральных простых алгебр над K.
• Если V имеет нечетную размерность, тогда Cl (V, Q) центральная простая алгебра над квадратичным расширением K или сумма двух изоморфных центральных простых алгебр над K.
• Если V имеет нечетное измерение, тогда Cl^[0](V, Q) центральная простая алгебра над K.

Строение алгебр Клиффорда может быть определено явно, используя следующий результат. Предположим, что U имеет четную размерность и неособую билинейную форму с дискриминант d, и предположим, что V - другое векторное пространство с квадратичной формой. Алгебра Клиффорда U + V изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда U и (−1)^{тусклый (U)/2}dV, то есть пространство V с его квадратичной формой, умноженной на (−1)^{тусклый (U)/2}d. Это означает, в частности, что

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$

Эти формулы можно использовать для нахождения структуры всех вещественных алгебр Клиффорда и всех комплексных алгебр Клиффорда; увидеть классификация алгебр Клиффорда.

Примечательно, что Эквивалентность Морита класс алгебры Клиффорда (ее теория представлений: класс эквивалентности категории модулей над ней) зависит только от сигнатуры (п − q) мод 8. Это алгебраическая форма Периодичность Ботта.

Группа Липшица

Класс липшицевых групп (a.k.a.^[15] Группы Клиффорда или группы Клиффорда – Липшица) была открыта Рудольф Липшиц.^[16]

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерна, а квадратичная форма Q является невырожденный.

Действие на элементах алгебры Клиффорда ее группа единиц можно определить в терминах скрученного сопряжения: скрученное сопряжение Икс карты у ↦ α(Икс) у Икс⁻¹, где α это основная инволюция определены над.

Липшицева группа Γ определяется как множество обратимых элементов Икс это стабилизировать набор векторов под этим действием,^[17] это означает, что для всех v в V у нас есть:

${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}$

Эта формула также определяет действие липшицевой группы на векторном пространстве V что сохраняет квадратичную форму Q, и тем самым дает гомоморфизм липшицевой группы в ортогональную группу. Группа Липшица содержит все элементы р из V для которого Q(р) обратима в K, и они действуют на V соответствующими отражениями, которые принимают v к v − (⟨р, v⟩ + ⟨v, р⟩)р/Q(р). (В характеристике 2 они называются ортогональными трансвекциями, а не отражениями.)

Если V - конечномерное вещественное векторное пространство с невырожденный квадратичной формы, то липшицева группа отображается на ортогональную группу V по форме ( Теорема Картана – Дьедонне ), а ядро ​​состоит из ненулевых элементов поля K. Это приводит к точным последовательностям

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.\,}$

По другим полям или с неопределенными формами карта, как правило, не отображается, и сбой фиксируется спинорной нормой.

Спинорная норма

Дальнейшая информация: Спинорная норма § Когомологии Галуа и ортогональные группы

В произвольной характеристике спинорная норма Q определяется на липшицевой группе формулой

${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$

Это гомоморфизм липшицевой группы в группу K^× ненулевых элементов K. Он совпадает с квадратичной формой Q из V когда V отождествляется с подпространством алгебры Клиффорда. Некоторые авторы определяют спинорную норму несколько иначе, так что она отличается от приведенной здесь в −1, 2 или −2 раза на Γ.¹. Отличие не очень важно в характеристиках, кроме 2.

Ненулевые элементы K имеют спинорную норму в группе (K^×)² квадратов ненулевых элементов поля K. Так когда V конечномерно и неособо, мы получаем индуцированное отображение из ортогональной группы V к группе K^×/(K^×)², также называемая спинорной нормой. Спинорная норма отражения о р^⊥, для любого вектора р, есть изображение Q(р) в K^×/(K^×)², и это свойство однозначно определяет его на ортогональной группе. Это дает точные последовательности:

${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)&\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_{V}(K)&\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Отметим, что в характеристике 2 группа {± 1} имеет только один элемент.

С точки зрения Когомологии Галуа из алгебраические группы, спинорная норма есть связывающий гомоморфизм по когомологиям. Написание μ₂ для алгебраическая группа квадратных корней из 1 (над полем характеристики не 2 она примерно такая же, как двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа) короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1}$

дает длинную точную последовательность на когомологиях, которая начинается

${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$

0-я группа когомологий Галуа алгебраической группы с коэффициентами в K это просто группа K-значные баллы: ЧАС⁰(г; K) = г(K), и ЧАС¹(μ₂; K) ≅ K^×/(K^×)², который восстанавливает предыдущую последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$

где спинорная норма - это связывающий гомоморфизм ЧАС⁰(O_V; K) → ЧАС¹(μ₂; K).

Группы Spin и Pin

Дальнейшая информация: Спиновая группа, Группа контактов, и Спинор

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерна и ее билинейная форма неособа. (Если K имеет характеристику 2, это означает, что размерность V даже.)

В Группа контактов Штырь_V(K) - подгруппа липшицевой группы Γ элементов спинорной нормы 1, и аналогично Спиновая группа Вращение_V(K) - подгруппа элементов Инвариант Диксона 0 в Pin_V(K). Если характеристика не равна 2, это элементы определителя 1. Группа Spin обычно имеет индекс 2 в группе Pin.

Напомним из предыдущего раздела, что существует гомоморфизм группы Клиффорда на ортогональную группу. Мы определяем специальная ортогональная группа быть образом Γ⁰. Если K не имеет характеристики 2, это просто группа элементов ортогональной группы определителя 1. Если K действительно имеет характеристику 2, то все элементы ортогональной группы имеют определитель 1, а специальная ортогональная группа - это множество элементов инварианта Диксона 0.

Существует гомоморфизм группы Пина в ортогональную группу. Изображение состоит из элементов спинорной нормы 1 ∈ K^×/(K^×)². Ядро состоит из элементов +1 и -1 и имеет порядок 2, если K имеет характеристику 2. Аналогично существует гомоморфизм группы Spin в специальную ортогональную группу группы V.

В общем случае, когда V является положительно или отрицательно определенным пространством над вещественными числами, спиновая группа отображается в специальную ортогональную группу и односвязна, когда V имеет размерность не менее 3. Далее, ядро ​​этого гомоморфизма состоит из 1 и −1. Итак, в этом случае спиновая группа Spin (п), является двойным покрытием SO (п). Обратите внимание, однако, что простая связность спиновой группы в общем случае неверна: если V является р^п,q для п и q как минимум 2, то спиновая группа не односвязна. В этом случае алгебраическая группа Spin_п,q односвязна как алгебраическая группа, даже если ее группа вещественных точек Spin_п,q(р) не просто связано. Это довольно тонкий момент, который полностью сбил с толку авторов как минимум одной стандартной книги о спиновых группах.^{[который? ]}

Спиноры

Алгебры Клиффорда Cl_п,q(C), с участием п + q = 2п четные, являются матричными алгебрами, которые имеют комплексное представление размерности 2^п. Ограничив пин-код группы_п,q(р) мы получаем комплексное представление группы Pin той же размерности, называемой представление вращения. Если мы ограничимся спиновой группой Spin_п,q(р), то он разбивается как сумма двух представления половинного спина (или Представления Вейля) размерности 2^п−1.

Если п + q = 2п + 1 нечетно, то алгебра Клиффорда Cl_п,q(C) представляет собой сумму двух матричных алгебр, каждая из которых имеет представление размерности 2^п, и это также оба представления группы Pin Pin_п,q(р). Об ограничении спиновой группой Spin_п,q(р) они становятся изоморфными, поэтому спинорная группа имеет комплексное спинорное представление размерности 2^п.

В более общем плане спинорные группы и пин-группы над любым полем имеют аналогичные представления, точная структура которых зависит от структура соответствующих алгебр Клиффорда: всякий раз, когда алгебра Клиффорда имеет фактор, который является матричной алгеброй над некоторой алгеброй с делением, мы получаем соответствующее представление групп шпилек и спинов над этой алгеброй с делением. Примеры с вещественными числами см. в статье о спиноры.

Настоящие спиноры

Дальнейшая информация: спинор

Чтобы описать реальные представления спина, нужно знать, как спиновая группа находится внутри своей алгебры Клиффорда. В Группа контактов, Штырь_п,q - множество обратимых элементов в Cl_п,q который можно записать как произведение единичных векторов:

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{p,q}=\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\}.}$

По сравнению с указанными выше конкретными реализациями алгебр Клиффорда группа Пина соответствует произведениям произвольного числа отражений: это покрытие полной ортогональной группы O (п, q). В Спиновая группа состоит из этих элементов Pin_{п, q} которые являются произведениями четного числа единичных векторов. Таким образом Теорема Картана-Дьедонне Спин - это обложка группы собственных вращений. ТАК(п, q).

Позволять α : Cl → Cl - автоморфизм, задаваемый отображением v ↦ −v действуя на чистые векторы. Тогда, в частности, Spin_п,q является подгруппой Pin_п,q элементы которого фиксируются α. Позволять

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$

(Это как раз элементы четной степени из Cl_п,q.) Тогда спиновая группа лежит внутри Cl^[0]
_п,q.

Неприводимые представления Cl_п,q ограничить, чтобы дать представление о группе контактов. И наоборот, поскольку группа выводов порождается единичными векторами, все ее неприводимое представление индуцируется таким образом. Таким образом, два представления совпадают. По тем же причинам неприводимые представления спина совпадают с неприводимыми представлениями Cl^[0]
_п,q.

Чтобы классифицировать представления выводов, достаточно обратиться к классификация алгебр Клиффорда. Чтобы найти спиновые представления (которые являются представлениями четной подалгебры), можно сначала использовать любой из изоморфизмов (см. Выше)

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$

и реализовать представление спина в подписи (п, q) как представление булавки в любой подписи (п, q − 1) или (q, п − 1).

Приложения

Дифференциальная геометрия

Одно из основных приложений внешней алгебры - в дифференциальная геометрия где он используется для определения связка из дифференциальные формы на гладкое многообразие. В случае (псевдо -)Риманово многообразие, то касательные пространства снабжены естественной квадратичной формой, индуцированной метрика. Таким образом, можно определить Связка Клиффорда по аналогии с внешний комплект. Это имеет ряд важных приложений в Риманова геометрия. Возможно, более важным является ссылка на спиновый коллектор, связанный с ним спинорный пучок и вращать^c коллекторы.

Физика

Алгебры Клиффорда имеют множество важных приложений в физике. Физики обычно рассматривают алгебру Клиффорда как алгебру с базисом, порожденным матрицами γ₀, …, γ₃ называется Матрицы Дирака которые обладают свойством

${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,}$

где η - матрица квадратичной формы подписи (1, 3) (или (3, 1) соответствующие двум эквивалентным вариантам метрической подписи). Это в точности определяющие соотношения для алгебры Клиффорда Cl
_1,3(р), чья комплексирование является Cl
_1,3(р)_C который, по классификация алгебр Клиффорда, изоморфна алгебре 4 × 4 комплексные матрицы Cl₄(C) ≈ M₄(C). Однако лучше сохранить обозначения Cl
_1,3(р)_C, поскольку любое преобразование, приводящее билинейную форму к канонической, есть не преобразование Лоренца основного пространства-времени.

Таким образом, алгебра пространства-времени Клиффорда, используемая в физике, имеет больше структуры, чем Cl₄(C). Кроме того, он имеет набор предпочтительных преобразований - преобразований Лоренца. Необходима ли комплексификация для начала, частично зависит от используемых соглашений и частично от того, сколько человек хочет напрямую включить, но комплексификация чаще всего необходима в квантовой механике, где спиновое представление алгебры Ли так(1, 3) сидение внутри алгебры Клиффорда обычно требует сложной алгебры Клиффорда. Для справки, спиновая алгебра Ли задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$

Это в (3, 1) конвенции, следовательно, подходит Cl
_3,1(р)_C.^[18]

Матрицы Дирака были впервые записаны Поль Дирак когда он пытался написать релятивистское волновое уравнение первого порядка для электрон, и задают явный изоморфизм алгебры Клиффорда в алгебру комплексных матриц. Результат был использован для определения Уравнение Дирака и представить Оператор Дирака. Вся алгебра Клиффорда проявляется в квантовая теория поля в виде Билинейные поля Дирака.

Использование алгебр Клиффорда для описания квантовой теории было продвинуто, среди прочего, Марио Шёнберг,^[19] от Дэвид Хестенес с точки зрения геометрическое исчисление, от Дэвид Бом и Бэзил Хили и коллеги в форме иерархия алгебр Клиффорда, а также Элио Конте и др.^[20][21]

Компьютерное зрение

Алгебры Клиффорда применялись в проблеме распознавания и классификации действий в компьютерное зрение. Родригес и др.^[22] предложите вложение Клиффорда для обобщения традиционных фильтров MACH на видео (трехмерный пространственно-временной объем) и векторные данные, такие как оптический поток. Векторнозначные данные анализируются с использованием Преобразование Клиффорда Фурье. На основе этих векторов фильтры действий синтезируются в области Клиффорда Фурье, а распознавание действий выполняется с использованием корреляции Клиффорда. Авторы демонстрируют эффективность вложения Клиффорда, распознавая действия, обычно выполняемые в классических художественных фильмах и спортивном телевидении.

Обобщения

• Хотя в этой статье основное внимание уделяется алгебре Клиффорда векторного пространства над полем, определение без изменений распространяется на модуль над любым унитальным, ассоциативным, коммутативным кольцом.^[3]
• Алгебры Клиффорда могут быть обобщены до степени выше квадратичной над векторным пространством.^[23]

Конференции и журналы

Вокруг Клиффорда и геометрических алгебр существует активное и междисциплинарное сообщество с широким спектром приложений. Основные конференции по этой теме: Международная конференция по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике (ICCA) и Приложения геометрической алгебры в информатике и инженерии (AGACSE) серии. Основное издание - журнал Springer. Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда.

Смотрите также

• Математический портал

• Алгебра физического пространства, APS
• Конструкция Кэли-Диксона
• Классификация алгебр Клиффорда
• Клиффорд анализ
• Модуль Клиффорда
• Сложная спиновая структура
• Оператор Дирака
• Внешняя алгебра
• Фирц идентичность
• Гамма-матрицы
• Обобщенная алгебра Клиффорда
• Геометрическая алгебра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Номер гиперкомплекса
• Октонион
• Паравектор
• Кватернион
• Спиновая группа
• Структура спина
• Спинор
• Связка спиноров

Заметки

1. Клиффорд, W.K. (1873 г.). «Предварительный набросок би-кватернионов». Proc. Лондонская математика. Soc. 4: 381–395.
2. Клиффорд, W.K. (1882 г.). Такер Р. (ред.). Математические статьи. Лондон: Макмиллан.
3. см. например. Oziewicz, Z .; Sitarczyk, Sz. (1992). «Параллельное рассмотрение римановой и симплектической алгебр Клиффорда». В Микали, А .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике. Kluwer. п. 83. ISBN  0-7923-1623-1.
4. Математики, которые работают с реальными алгебрами Клиффорда и предпочитают положительно определенные квадратичные формы (особенно те, кто работает в теория индекса ) иногда используют другой выбор знака в фундаментальной идентичности Клиффорда. То есть они берут v² = −Q(v). Надо заменить Q с -Q переходя от одной конвенции к другой.
5. (ВАЗ & да Роча 2016 ) дайте понять, что карта я (γ в цитате) включается в структуру алгебры Клиффорда, определяя ее как "Пара (А, γ) является алгеброй Клиффорда для квадратичного пространства (V, г) когда А порождается как алгебра {γ(v) | v ∈ V} и {а1_А | а ∈ р}, и γ удовлетворяет γ(v)γ(ты) + γ(ты)γ(v) = 2г(v, ты) для всех v, ты ∈ V."
6. П. Лунесто (1996), "Контрпримеры в алгебрах Клиффорда с CLICAL", Алгебры Клиффорда с числовыми и символьными вычислениями: 3–30, Дои:10.1007/978-1-4615-8157-4_1, ISBN  978-1-4615-8159-8 или сокращенная версия
7. Лунесто 2001, §1.8.
8. Маккарти, Дж. М. (1990). Введение в теоретическую кинематику. MIT Press. С. 62–65. ISBN  978-0-262-13252-7.
9. Bottema, O .; Рот, Б. (2012) [1979]. Теоретическая кинематика. Дувр. ISBN  978-0-486-66346-3.
10. Таким образом групповая алгебра K[Z/ 2] равно полупростой а алгебра Клиффорда распадается на собственные подпространства основной инволюции.
11. В Z- оценка получается из N оценивание путем добавления копий нулевого подпространства, индексированных отрицательными целыми числами.
12. Технически она не имеет полной структуры алгебры Клиффорда без обозначенного векторного подпространства и поэтому изоморфна как алгебра, но не как алгебра Клиффорда.
13. Мы все еще предполагаем, что характеристика не равна 2.
14. Обратное верно при использовании альтернативного знака (-) для алгебр Клиффорда: более важным является сопряжение. В общем, значения спряжения и транспонирования меняются местами при переходе от одного соглашения о знаках к другому. Например, в используемом здесь соглашении вектор, обратный вектору, определяется как v⁻¹ = v^т / Q(v) в то время как в соглашении (-) это дается v⁻¹ = v / Q(v).
15. ВАЗ & да Роча 2016, п. 126.
16. Лунесто 2001, §17.2.
17. Первасс, Кристиан (2009), Геометрическая алгебра с приложениями в технике, Springer Science & Business Media, Bibcode:2009gaae.book ..... P, ISBN  978-3-540-89068-3, §3.3.1
18. Вайнберг 2002
19. См. Ссылки на работы Шенберга 1956 и 1957 годов, описанные в разделе «Алгебра Грассмана – Шенберга». ${\displaystyle G_{n}}$"из: А. О. Боливар, Классический предел фермионов в фазовом пространстве, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) Дои:10.1063/1.1386411
20. Конте, Элио (14 ноября 2007 г.). «Квантовоподобная интерпретация и решение парадокса Эйнштейна, Подольского и Розена в квантовой механике». arXiv:0711.2260 [Quant-ph ].
21. Элио Конте: О некоторых соображениях математической физики: можем ли мы идентифицировать алгебру Клиффорда как общую алгебраическую структуру для классических уравнений диффузии и Шредингера? Adv. Исследования Теор. Phys., Т. 6, вып. 26 (2012), стр. 1289–1307.
22. Родригес, Микель; Шах, М. (2008). «Action MACH: пространственно-временной фильтр максимальной средней корреляционной высоты для классификации действий». Компьютерное зрение и распознавание образов (CVPR).
23. Даррелл Э. Хейл (декабрь 1984 г.). "Об алгебре Клиффорда двоичной кубической формы". Американский журнал математики. Издательство Университета Джона Хопкинса. 106 (6): 1269–1280. Дои:10.2307/2374394. JSTOR  2374394.

использованная литература

• Бурбаки, Николас (1988), Алгебра, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-19373-9, раздел IX.9.
• Карнахан, С. Заметки о семинаре Борчердса, без купюр. Неделя 5, «Спиноры и алгебры Клиффорда».
• Гарлинг, Д. Дж. Х. (2011), Алгебры Клиффорда. Введение, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 78, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-09638-7, Zbl  1235.15025
• Джаганнатан, Р. (2010), Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях, arXiv:1005.4300, Bibcode:2010arXiv1005.4300J
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1095-2, Г-Н  2104929, Zbl  1068.11023
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08542-5. Расширенный учебник по алгебрам Клиффорда и их приложениям к дифференциальной геометрии.
• Лунесто, Пертти (2001), Алгебры Клиффорда и спиноры, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-00551-7
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55177-9
• Сильвестр, Дж. Дж. (1882 г.), Несколько слов о нонионах, Циркуляры Университета Джона Хопкинса, я, стр. 241–2, HDL:1774.2/32845; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Обобщено в Сборник статей Джеймса Джозефа Сильвестра по математике (Издательство Кембриджского университета, 1909 г.) v III. онлайн и в дальнейшем.
• Vaz, J .; да Роша, Р. (2016), Введение в алгебры Клиффорда и спиноры, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-878292-6
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-55001-7

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-75401-2, ISBN  3-540-52117-8, Г-Н  1096299, Zbl  0756.11008

внешние ссылки

• «Алгебра Клиффорда», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Запись в планетарной математике по алгебрам Клиффорда
• История алгебр Клиффорда (непроверено)
• Джон Баэз об алгебрах Клиффорда
• Алгебра Клиффорда: визуальное введение