Ортогональный базис - Orthogonal basis

В математика, особенно линейная алгебра, ортогональный базис для внутреннее пространство продукта V это основа за V чьи векторы взаимно ортогональный. Если векторы ортогонального базиса равны нормализованный, результирующий базис ортонормированный базис.

Как координаты

Любой ортогональный базис можно использовать для определения системы ортогональные координаты V. Ортогональные (не обязательно ортонормированные) основания важны из-за их появления из криволинейный ортогональные координаты в Евклидовы пространства, а также в Риманов и псевдориманов коллекторы.

В функциональном анализе

В функциональный анализ, ортогональный базис - это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с помощью умножения на ненулевое скаляры.

Расширения

Понятие ортогонального (но не ортонормированного) базиса применимо к векторное пространство V (по любому поле ) оснащен симметричная билинейная форма ⟨·,·⟩, куда ортогональность двух векторов v и ш средства ⟨v, ш⟩ = 0. Для ортогонального базиса {е_k} :

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,}$

куда q это квадратичная форма связана с ⟨·,·⟩: q(v) = ⟨v, v⟩ (во внутреннем пространстве продукта q(v) = | v |²).

Следовательно, для ортогонального базиса {е_k},

${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,}$

куда v^k и ш^k компоненты v и ш в основании.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2004), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN  978-0-387-95385-4
• Милнор, Дж.; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 73. Springer-Verlag. п. 6. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Ортогональная основа». MathWorld.