Классификация алгебр Клиффорда - Classification of Clifford algebras

В абстрактная алгебра, в частности в теории невырожденный квадратичные формы на векторные пространства, структуры конечномерный настоящий и сложный Алгебры Клиффорда для невырожденная квадратичная форма были полностью засекречены. В каждом случае алгебра Клиффорда имеет вид алгебра изоморфна в полной мере матричное кольцо над р, C, или же ЧАС (в кватернионы ) или в прямая сумма двух экземпляров такой алгебры, но не в канонический путь. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебро-изоморфный, как и в случае Cl_2,0(р) и Cl_1,1(р), которые оба изоморфны кольцу матриц два на два над действительными числами.

Обозначения и соглашения

В Клиффорд продукт является манифестным кольцевым произведением алгебры Клиффорда, а вся алгебра гомоморфизмы в этой статье относятся к этому кольцевому изделию. Другие продукты, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешний продукт, здесь не используются. В этой статье используется (+) подписать соглашение для умножения Клиффорда, так что

${\displaystyle v^{2}=Q(v)}$

для всех векторов v ∈ V, куда Q квадратичная форма на векторном пространстве V. Обозначим алгебру п×п матрицы с записями в алгебра с делением K автор: M_п(K) или же М (п, K). В прямая сумма двух таких одинаковых алгебр будем обозначать M_п(K) ⊕ M_п(K) = M_п²(K), который изоморфен M_п(K ⊕ K).

Периодичность Ботта

Алгебры Клиффорда демонстрируют 2-кратную периодичность по комплексным числам и 8-кратную периодичность по действительным числам, что связано с такими же периодичностями для гомотопических групп стабильного унитарная группа и стабильный ортогональная группа, и называется Периодичность Ботта. Связь объясняется геометрическая модель петлевых пространств подход к периодичности Ботта: их 2-кратные / 8-кратные периодические вложения классические группы друг в друге (соответствующие группам изоморфизмов алгебр Клиффорда), а их последовательные факторы равны симметричные пространства которые гомотопический эквивалент к пространства петель унитарной / ортогональной группы.

Сложный случай

Сложный случай особенно прост: любая невырожденная квадратичная форма на комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}}$

куда п = тусклый V, так что, по сути, существует только одна алгебра Клиффорда в каждом измерении. Это потому, что комплексные числа включают ${\displaystyle i}$ по которому ${\displaystyle -u_{k}^{2}=+(iu_{k})^{2}}$ и поэтому положительные и отрицательные термины эквивалентны. Обозначим алгебру Клиффорда на C^п со стандартной квадратичной формой по Cl_п(C).

Следует рассмотреть два отдельных случая в зависимости от того, п четное или нечетное. Когда п даже алгебра Cl_п(C) является центральный простой и так Теорема Артина – Веддерберна изоморфна матричной алгебре над C. Когда п нечетно, в центр входят не только скаляры, но и псевдоскаляры (степень п элементы). Мы всегда можем найти нормализованный псевдоскаляр ω такой, что ω² = 1. Определите операторы

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).}$

Эти два оператора образуют полный набор ортогональные идемпотенты, а так как они центральные, они дают разложение Cl_п(C) в прямую сумму двух алгебр

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\operatorname {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \operatorname {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),}$

куда

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\operatorname {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

Алгебры ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )}$ это просто положительные и отрицательные собственные подпространства ω и п_± являются просто операторами проекции. С ω нечетно, эти алгебры смешаны α (линейная карта на V определяется v ↦ −v):

${\displaystyle \alpha (\operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} ))=\operatorname {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} )}$.

а значит, изоморфен (так как α является автоморфизм ). Каждая из этих двух изоморфных алгебр центрально простая и, следовательно, снова изоморфна матричной алгебре над C. Размеры матриц можно определить из того, что размерность Cl_п(C) равно 2^п. В результате мы получаем следующую таблицу:

п	Clп(C)
2м	M (2м,C)
2м+1	M (2м,C) ⊕ M (2м,C)

Четная подалгебра в Cl_п(C) (неканонически) изоморфна Cl_п−1(C). Когда п четная, четная подалгебра может быть отождествлена ​​с блочно-диагональными матрицами (при разбиении на 2 × 2 блочная матрица ). Когда п нечетно, четная подалгебра - это элементы M (2^м,C) ⊕ M (2^м,C) для которого два фактора идентичны. Выбор любой части дает изоморфизм с Cl_п−1(C) ≅ M (2^м,C).

Реальный случай

Реальный случай значительно сложнее, демонстрируя периодичность 8, а не 2, и существует 2-параметрическое семейство алгебр Клиффорда.

Классификация квадратичных форм

Во-первых, существуют неизоморфные квадратичные формы заданной степени, классифицированные по сигнатуре.

Любая невырожденная квадратичная форма на вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

куда п = п + q - размерность векторного пространства. Пара целых чисел (п, q) называется подпись квадратичной формы. Вещественное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается р^п,q. Алгебра Клиффорда на р^п,q обозначается Cl_п,q(р).

Стандарт ортонормированный базис {е_я} за р^п,q состоит из п = п + q взаимно ортогональные векторы, п из которых имеют норму +1 и q из которых имеют норму −1.

Псевдоскалярный модуль

Смотрите также: Псевдоскалярный

Псевдоскалярная единица в Cl_п,q(р) определяется как

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Это одновременно Элемент Кокстера своего рода (продукт отражений) и самый длинный элемент группы Кокстера в Заказ Брюа; это аналогия. Он соответствует и обобщает объемная форма (в внешняя алгебра; для тривиальной квадратичной формы единичный псевдоскаляр является формой объема) и поднимает отражение через начало координат (это означает, что изображение единичного псевдоскаляра является отражением через начало координат в ортогональная группа ).

Чтобы вычислить квадрат ${\displaystyle \omega ^{2}=(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})}$, можно либо изменить порядок второй группы, получив ${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\sigma )e_{1}e_{2}\cdots e_{n}e_{n}\cdots e_{2}e_{1}}$, или применить идеальное перемешивание, уступая ${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\sigma )(e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}\cdots e_{n}e_{n})}$. У них обоих есть знак ${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}}$, которая является 4-периодической (доказательство ) и в сочетании с ${\displaystyle e_{i}e_{i}=\pm 1}$, это показывает, что квадрат ω дан кем-то

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что, в отличие от сложного случая, не всегда можно найти псевдоскаляр, квадрат которого равен +1.

Центр

Если п (эквивалентно, п − q) четно, алгебра Cl_п,q(р) является центральный простой и поэтому изоморфна матричной алгебре над р или же ЧАС посредством Теорема Артина – Веддерберна.

Если п (эквивалентно, п − q) нечетно, то алгебра больше не является центральной простой, а скорее имеет центр, который включает в себя псевдоскаляры, а также скаляры. Если п это странно и ω² = +1 (эквивалентно, если п − q ≡ 1 (мод.4)), то, как и в комплексном случае, алгебра Cl_п,q(р) разлагается в прямую сумму изоморфных алгебр

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} )}$

каждый из которых является центральным простым и поэтому изоморфен матричной алгебре над р или же ЧАС.

Если п это странно и ω² = −1 (эквивалентно, если п − q ≡ −1 (модуль 4)), то центр Cl_п,q(р) изоморфна C и может рассматриваться как сложный алгебра. Как комплексная алгебра, она проста в центре и поэтому изоморфна матричной алгебре над C.

Классификация

В общем, есть три свойства, которые определяют класс алгебры Cl_п,q(р):

• подпись мода 2: п четный / нечетный: центральный простой или нет
• подпись мода 4: ω² = ±1: если не центральный простой, то центр р ⊕ р или же C
• подпись мода 8: Класс Брауэра алгебры (п даже) или даже подалгебра (п нечетное) это р или же ЧАС

Каждое из этих свойств зависит только от подписи п − q по модулю 8. Полная классификационная таблица приведена ниже. Размер матриц определяется требованием, чтобы Cl_п,q(р) имеют размерность 2^п+q.

п−q мод 8	ω^2	Clп,q(р) (п = п+q)	п−q мод 8	ω^2	Clп,q(р) (п = п+q)
0	+	M (2п/2,р)	1	+	M (2(п−1)/2,р) ⊕M (2(п−1)/2,р)
2	−	M (2п / 2,р)	3	−	M (2(п−1)/2,C)
4	+	M (2(п−2)/2,ЧАС)	5	+	M (2(п−3)/2,ЧАС) ⊕M (2(п−3)/2,ЧАС)
6	−	M (2(п−2)/2,ЧАС)	7	−	M (2(п−1)/2,C)

Можно видеть, что из всех упомянутых типов матричных колец существует только один тип, общий для комплексных и вещественных алгебр: тип M (2^м,C). Например, Cl₂(C) и Cl_3,0(р) оба определены как M₂(C). Важно отметить различие в используемых классификационных изоморфизмах. Поскольку Cl₂(C) алгебра изоморфна C-линейная карта (которая обязательно р-линейный), а Cl_3,0(р) алгебра изоморфна р-линейное отображение, Cl₂(C) и Cl_3,0(р) находятся р-алгебра изоморфна.

Таблица этой классификации для п + q ≤ 8 следует. Здесь п + q работает вертикально и п − q проходит горизонтально (например, алгебра Cl_1,3(р) ≅ M₂(ЧАС) находится в строке 4, столбце −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0

р

1

р^2

C

2

M2(р)

M2(р)

ЧАС

3

M2(C)

M2^2(р)

M2(C)

ЧАС^2

4

M2(ЧАС)

M4(р)

M4(р)

M2(ЧАС)

M2(ЧАС)

5

M2^2(ЧАС)

M4(C)

M4^2(р)

M4(C)

M2^2(ЧАС)

M4(C)

6

M4(ЧАС)

M4(ЧАС)

M8(р)

M8(р)

M4(ЧАС)

M4(ЧАС)

M8(р)

7

M8(C)

M4^2(ЧАС)

M8(C)

M8^2(р)

M8(C)

M4^2(ЧАС)

M8(C)

M8^2(р)

8

M16(р)

M8(ЧАС)

M8(ЧАС)

M16(р)

M16(р)

M8(ЧАС)

M8(ЧАС)

M16(р)

M16(р)

ω^2

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−

+

+

Симметрии

В приведенной выше таблице есть запутанная сеть симметрий и отношений.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ))}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )}$

Переход к четырем точкам в любом ряду дает идентичную алгебру.

Из этих периодичностей Ботта следует:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$

Если подпись удовлетворяет п − q ≡ 1 (мод.4) тогда

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

(Таблица симметрична относительно столбцов с подписью ..., −7, −3, 1, 5, ...) Таким образом, если подпись удовлетворяет п − q ≡ 1 (мод.4),

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p-k,q}(\mathbf {R} ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,q-k}(\mathbf {R} )).}$

Смотрите также

• Алгебра Дирака Cl_1,3(C)
• Алгебра Паули Cl_3,0(C)
• Алгебра пространства-времени Cl_1,3(р)
• Модуль Клиффорда
• Представление спина

Рекомендации

• Будинич, Паоло; Траутман, Анджей (1988). Спинориальная шахматная доска. Springer Verlag. ISBN  9783540190783.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (2016). Спиновая геометрия. Принстонский математический ряд. 38. Издательство Принстонского университета. ISBN  9781400883912.
• Портеус, Ян Р. (1995). Алгебры Клиффорда и классические группы. Кембриджские исследования в области высшей математики. 50. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55177-9.