Сплит-октонион - Split-octonion

В математика, то сплит-октонионы являются 8-мерными неассоциативный алгебра над действительные числа. В отличие от стандартного октонионы, они содержат ненулевые элементы, которые необратимы. Так же подписи от их квадратичные формы различаются: сплит-октонионы имеют расщепленную сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно-определенную сигнатуру (8,0).

С точностью до изоморфизма октонионы и расщепленные октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционные алгебры над реальными числами. Они тоже единственные двое октонионные алгебры над реальными числами. Алгебры расщепленных октонионов, аналогичные расщепленным октонионам, могут быть определены над любыми поле.

Определение

Конструкция Кэли-Диксона

Октонионы и расщепленные октонионы могут быть получены из Конструкция Кэли-Диксона путем определения умножения на пары кватернионы. Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионы (а, б) в виде а + ℓб. Товар определяется правилом:^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

куда

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

Если λ выбирается равным −1, мы получаем октонионы. Если вместо этого принять +1, мы получим расщепленные октонионы. Можно также получить расщепленные октонионы путем удвоения Кэли – Диксона сплит-кватернионы. Здесь либо выбор λ (± 1) дает расщепленные октонионы.

Таблица умножения

Мнемоника продуктов расщепленных октонионов.

А основа для расщепленных октонионов задается множеством ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$.

Каждый сплит-октонион ${\displaystyle x}$ можно записать как линейная комбинация базовых элементов,

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

с действительными коэффициентами ${\displaystyle x_{a}}$.

По линейности умножение расщепленных октонионов полностью определяется следующими Таблица умножения:

		множитель
		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
умножаемое	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$
	${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\ell i}$
	${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell }$
	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$
	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$
	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$

Удобный мнемонический дается диаграммой справа, которая представляет таблицу умножения для сплит-октонионов. Это происходит от его родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется следующим образом:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

куда ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера и ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ это Символ Леви-Чивита со значением ${\displaystyle +1}$ когда ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$ и:

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

с ${\displaystyle e_{0}}$ скалярный элемент и ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родительского элемента, создавая разделенный октонион с помощью этой таблицы умножения.

Сопряженные, нормальные и обратные

В сопрягать сплит-октониона Икс дан кем-то

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

как и с октонионами.

В квадратичная форма на Икс дан кем-то

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

Эта квадратичная форма N(Икс) является изотропная квадратичная форма так как есть ненулевые расщепленные октонионы Икс с N(Икс) = 0. При N, расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над р, иногда написано р^4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.

Если N(Икс) ≠ 0, то Икс имеет (двусторонний) мультипликативный обратный Икс⁻¹ данный

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

Характеристики

Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Так же, как октонионы, они образуют композиционная алгебра поскольку квадратичная форма N мультипликативен. То есть,

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

Сплит-октонионы удовлетворяют Личности муфанг и таким образом сформировать альтернативная алгебра. Следовательно, по Теорема Артина, подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Множество всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N(Икс) ≠ 0) образуют Петля муфанг.

Группа автоморфизмов расщепленных октонионов - это 14-мерная группа Ли, группа разделить реальную форму исключительных простая группа Ли грамм₂.

Векторная матричная алгебра Цорна

Поскольку расщепленные октонионы неассоциативны, они не могут быть представлены обычными матрицы (умножение матриц всегда ассоциативно). Zorn нашли способ представить их как «матрицы», содержащие как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию матричного умножения.^[2] В частности, определите вектор-матрица быть матрицей 2 × 2 вида^[3][4][5][6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

куда а и б настоящие числа и v и ш векторы в р³. Определим умножение этих матриц по правилу

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

где · и × - обычные скалярное произведение и перекрестное произведение 3-векторов. При обычном сложении и скалярном умножении набор всех таких матриц образует неассоциативную унитальную 8-мерную алгебру над вещественными числами, называемую Векторная матричная алгебра Цорна.

Определите "детерминант "вектор-матрицы по правилу

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$.

Этот определитель является квадратичной формой на алгебре Цорна, удовлетворяющей правилу композиции:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

Алгебра векторных матриц Цорна фактически изоморфна алгебре расщепленных октонионов. Напишите октонион ${\displaystyle x}$ в виде

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

куда ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ настоящие числа и v и ш чистые мнимые кватернионы, рассматриваемые как векторы в р³. Изоморфизм расщепленных октонионов на алгебру Цорна дается формулой

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}$

Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$.

Приложения

Сплит-октонионы используются при описании закона физики. Например:

• В Уравнение Дирака в физике (уравнение движения частицы со свободным спином 1/2, например, электрона или протона) может быть выражено с помощью арифметики с расщепленным октонионом.^[7]
• Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение.^[8]
• Алгебра расщепленных октонионов на основе Цорна может использоваться для моделирования локальной калибровочно-симметричной SU (3) квантовой хромодинамики.^[9]
• Задача о качении шара без скольжения по шару радиуса в 3 раза больше имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы грамм₂ как его группа симметрии, в связи с тем, что эта проблема может быть описана с помощью расщепленных октонионов.^[10]

Рекомендации

1. Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр, стр. 158, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 МИСТЕР2014924
2. Макс Зорн (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
3. Натан Джейкобсон (1962) Алгебры Ли, стр. 142, Издатели Interscience.
4. Шафер, Ричард Д. (1966). Введение в неассоциативные алгебры. Академическая пресса. С. 52–6. ISBN  0-486-68813-5.
5. Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Йордановы алгебры», страницы 144–186 в Исследования по современной алгебре под редакцией А.А. Альберт, Математическая ассоциация Америки : Векторная матричная алгебра Цорна на странице 180
6. Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальд (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли, стр. 199, Academic Press
7. М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Журнал физики А 39: 7099-7104. Дои:10.1088/0305-4470/39/22/020
8. В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 Дои:10.1063/1.2907868; arXiv:0712.1647
9. B. Wolk, Adv. Appl. Алгебры Клиффорда 27 (4), 3225 (2017).
10. Дж. Баэз и Дж. Уэрта, Г.₂ и катящийся шар, Пер. Амер. Математика. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv:1205.2447.

• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  0-12-329650-1.
• Нэш, Патрик L (1990) "О структуре алгебры расщепленных октонионов", Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. Дои:10.1007 / BF02723550
• Springer, T. A .; Ф. Д. Велдкамп (2000). Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы. Springer-Verlag. ISBN  3-540-66337-1.