Сплит-бикватернион - Split-biquaternion

В математика, а сплит-бикватернион это гиперкомплексное число формы

{ Displaystyle д = вес + xi + yj + zk !}

куда ш, Икс, у, и z находятся разделенные комплексные числа и i, j и k умножаются, как в группа кватернионов. Поскольку каждый коэффициент ш, Икс, у, z охватывает два настоящий размеры, сплит-бикватернион является элементом восьмимерного векторное пространство. Учитывая, что в нем есть умножение, это векторное пространство является алгебра над реальным полем, или алгебра над кольцом где расщепленные комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введена Уильям Кингдон Клиффорд в статье 1873 г. Лондонское математическое общество. С тех пор это неоднократно отмечалось в математической литературе, в том числе как отклонение в терминологии, как иллюстрация тензорное произведение алгебр, и как иллюстрация прямая сумма алгебр. Расщепленные бикватернионы были идентифицированы алгебраистами различными способами; видеть § Синонимы ниже.

Современное определение

Сплит-бикватернион - это кольцо изоморфно к Алгебра Клиффорда Cℓ_0,3(р). Это геометрическая алгебра порожденный тремя ортогональными мнимыми единичными базисными направлениями, {е₁, е₂, е₃} по правилу комбинации

{ displaystyle e_ {i} e_ {j} = { Bigg {} { begin {matrix} -1 & i = j, - e_ {j} e_ {i} & i not = j end {matrix} }}

давая алгебру, натянутую на 8 базисных элементов {1, е₁, е₂, е₃, е₁е₂, е₂е₃, е₃е₁, е₁е₂е₃}, с (е₁е₂)² = (е₂е₃)² = (е₃е₁)² = −1 и ω² = (е₁е₂е₃)² = + 1. Подалгебра, порожденная 4 элементами {1, я = е₁, j = е₂, k = е₁е₂} это делительное кольцо Гамильтона кватернионы, ЧАС = Cℓ_0,2(р)Таким образом, можно увидеть, что

{ displaystyle C ell _ {0,3} ( mathbb {R}) cong mathbb {H} otimes mathbb {D}}

куда D = Cℓ_1,0(р) это алгебра, натянутая на {1, ω}, алгебра разделенные комплексные числа.Эквивалентно

{ displaystyle C ell _ {0,3} ( mathbb {R}) cong mathbb {H} oplus mathbb {H}.}

Сплит-бикватернионная группа

Сплит-бикватернионы образуют ассоциативный звенеть как видно из рассмотрения умножений в его основа {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группа кватернионов получается группа из 16 элементов

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Прямая сумма двух кватернионных колец

Прямая сумма тела кватернионов с самой собой обозначается ${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ . Произведение двух элементов ${ displaystyle (а oplus b)}$ и ${ Displaystyle (с oplus d)}$ является ${ displaystyle ac oplus bd}$ в этом алгебра прямых сумм.

Предложение: Алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}.}$

доказательство: у каждого сплит-бикватерниона есть выражение q = ш + z ω где ш и z - кватернионы, а ω² = +1. Сейчас если п = ты + v ω - еще один сплит-бикватернион, их произведение

{ displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) omega. !}

Отображение изоморфизма расщепленных бикватернионов на ${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ дан кем-то

{ displaystyle p mapsto (u + v) oplus (u-v), quad q mapsto (w + z) oplus (w-z).}

В ${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ , произведение этих изображений согласно алгебре-произведению ${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ указанное выше, является

{ Displaystyle (и + v) (вес + z) oplus (и-v) (w-z).}

Этот элемент также является образом pq при отображении в ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}.}$ Таким образом, продукты согласуются, отображение является гомоморфизмом; и так как это биективный, это изоморфизм.

Хотя сплит-бикватернионы образуют восьмимерное пространство подобно бикватернионам Гамильтона, на основе предложения очевидно, что эта алгебра распадается на прямую сумму двух копий действительных кватернионов.

Гамильтон бикватернион

Сплит-бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильям Роуэн Гамильтон. Гамильтона бикватернионы элементы алгебры

{ displaystyle C ell _ {2} ( mathbb {C}) = mathbb {H} otimes mathbb {C}.}

Синонимы

Следующие термины и соединения относятся к алгебре расщепленных бикватернионов:

эллиптические бикватернионы - Клиффорд 1873, Руни 2007
Клиффорд бикватернион - Джоли 1902, ван дер Варден 1985
дикватернионы - Розенфельд 1997
${ Displaystyle mathbb {D} otimes mathbb {H}}$ куда D = разделенные комплексные числа – Бурбаки 1994, Розенфельд 1997
${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ , то прямая сумма двух кватернионных алгебр - ван дер Варден 1985

Смотрите также

Сплит-октонионы

Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${ Displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${ displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${ displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${ displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${ displaystyle mathbb {O}}$ )
Расколоть типы	над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${ displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${ Displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды ) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список