CCR и CAR алгебры - CCR and CAR algebras

В математика и физика CCR алгебры (после канонические коммутационные соотношения ) и CAR алгебры (после канонических антикоммутационных соотношений) возникают из квантово-механический исследование бозоны и фермионы соответственно. Они играют важную роль в квантовая статистическая механика^[1] и квантовая теория поля.

CCR и CAR как * -алгебры

Позволять ${\displaystyle V}$ быть настоящий векторное пространство оснащен неособый настоящий антисимметричный билинейная форма ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (т.е. симплектическое векторное пространство ). В единый *-алгебра генерируется элементами ${\displaystyle V}$ при условии отношений

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

для любого ${\displaystyle f,~g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгебра канонических коммутационных соотношений (CCR). Единственность представлений этой алгебры при ${\displaystyle V}$ является конечномерный обсуждается в Теорема Стоуна – фон Неймана.

Если ${\displaystyle V}$ оснащен неособый настоящий симметричная билинейная форма ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ вместо этого унитальная * -алгебра, порожденная элементами ${\displaystyle V}$ при условии отношений

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

для любого ${\displaystyle f,~g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгебра канонических антикоммутационных соотношений (CAR).

C * -алгебра CCR

Есть отличное, но тесно связанное с этим значение алгебры CCR, называемой CCR C * -алгеброй. Позволять ${\displaystyle H}$ - вещественное симплектическое векторное пространство с невырожденной симплектической формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. В теории операторные алгебры, алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ это единый C * -алгебра генерируется элементами ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$ при условии

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений, и, в частности, из них следует, что каждое ${\displaystyle W(f)}$ является унитарный и ${\displaystyle W(0)=1}$. Хорошо известно, что алгебра CCR является простой несепарабельной алгеброй и единственна с точностью до изоморфизма.^[2]

Когда ${\displaystyle H}$ это Гильбертово пространство и ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ дается мнимой частью скалярного произведения, алгебра CCR верно представлен на симметричное пространство Фока над ${\displaystyle H}$ установив

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),\,}$

для любого ${\displaystyle f,g\in H}$. Операторы поля ${\displaystyle B(f)}$ определены для каждого ${\displaystyle f\in H}$ как генератор однопараметрической унитарной группы ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$ на симметричном пространстве Фока. Эти самосопряженный неограниченные операторы, однако формально они удовлетворяют

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle .\,}$

В качестве задания ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ действительно линейно, поэтому операторы ${\displaystyle B(f)}$ определить алгебру CCR над ${\displaystyle (H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ в смысле Секция 1.

C * -алгебра CAR

Позволять ${\displaystyle H}$ - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр CAR-алгебра является единственной C * -завершение комплексной унитальной * -алгебры, порожденной элементами ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$ при условии отношений

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

для любого ${\displaystyle f,g\in H}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$.Когда ${\displaystyle H}$ сепарабельна, алгебра CAR является Алгебра AF и в частном случае ${\displaystyle H}$ бесконечномерно, его часто записывают как ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$.^[3]

Позволять ${\displaystyle F_{a}(H)}$ быть антисимметричное пространство Фока над ${\displaystyle H}$ и разреши ${\displaystyle P_{a}}$ - ортогональная проекция на антисимметричные векторы:

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

Алгебра CAR точно представлена ​​на ${\displaystyle F_{a}(H)}$ установив

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

для всех ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Тот факт, что они образуют C * -алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются истинными ограниченные операторы. Кроме того, операторы поля ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$ удовлетворить

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

давая отношения с Секция 1.

Обобщение супералгебры

Позволять ${\displaystyle V}$ быть настоящим ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированное векторное пространство с невырожденной антисимметричной билинейной суперформой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (т.е. ${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$ ) такие, что ${\displaystyle (f,g)}$ реально, если либо ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle g}$ является четным элементом и воображаемый если они оба нечетные. Унитальная * -алгебра, порожденная элементами ${\displaystyle V}$ при условии отношений

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

для любых двух чистых элементов ${\displaystyle f,~g}$ в ${\displaystyle V}$ это очевидно супералгебра обобщение, которое объединяет CCR с CAR: если все чистые элементы четны, один получает CCR, а если все чистые элементы нечетные, один получает CAR.

В математике абстрактная структура алгебр CCR и CAR над любым полем, а не только над комплексными числами, изучается под названием Weyl и Алгебры Клиффорда, где было получено много значительных результатов. Одним из них является то, что оцененный обобщения Weyl и Клиффорд алгебры допускают безбазисную формулировку канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в терминах симплектической и симметричной невырожденной билинейной формы. Кроме того, бинарные элементы в этой градуированной алгебре Вейля дают безбазисную версию коммутационных соотношений симплектический и индефинитные ортогональные алгебры Ли.^[4]

Смотрите также

• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Статистика Ферми – Дирака
• Глоссарий теории струн
• Группа Гейзенберга
• Преобразование Боголюбова
• (−1)^F

Рекомендации

1. Браттели, Ола; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: v.2. Springer, 2-е изд. ISBN  978-3-540-61443-2.
2. Петц, Денес (1990). Приглашение к алгебре канонических коммутационных соотношений. Leuven University Press. ISBN  978-90-6186-360-1.
3. Эванс, Дэвид Э.; Кавахигаши, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах.. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-851175-5..
4. Роджер Хоу (1989). «Замечания по классической теории инвариантов». Труды Американского математического общества. 313: 539–570. Дои:10.1090 / S0002-9947-1989-0986027-X. JSTOR  2001418.