Неоправданная эффективность математики в естествознании - The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

"Неоправданная эффективность математики в естествознании"- так называется статья, опубликованная в 1960 г. физик Юджин Вигнер.[1] В статье Вигнер заметил, что математический структура физическая теория часто указывает путь к дальнейшему развитию этой теории и даже к эмпирический предсказания.

Чудо математики в естествознании

Вигнер начинает свою статью с убеждения, распространенного среди тех, кто знаком с математикой, что математические концепции имеют применимость далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Основываясь на своем опыте, он говорит, что «важно указать на то, что математическая формулировка зачастую грубого опыта физиков приводит в невероятном количестве случаев к удивительно точному описанию большого класса явлений». Затем он обращается к фундаментальным закон всемирного тяготения Например. Первоначально использовавшийся для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер назвал «очень скудными наблюдениями», для описания движения планет, где он «оказался точным, превзошедшим все разумные ожидания».

Другой часто цитируемый пример: Уравнения Максвелла, созданный для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Эти уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвид Эдвард Хьюз в 1879 г., примерно во времена Джеймс Клерк Максвелл смерть. Вигнер резюмирует свой аргумент, говоря, что «огромная полезность математики в естественных науках - это нечто, граничащее с загадочным, и этому нет никакого рационального объяснения». Он завершает свою статью тем же вопросом, с которого начал:

Чудо того, что язык математики пригоден для формулировки законов физики, - это чудесный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за это и надеяться, что он останется актуальным в будущих исследованиях и что он будет распространяться, к лучшему или к худшему, к нашему удовольствию, даже если, возможно, также к нашему недоумению, на широкие области обучения.

Глубокая связь между наукой и математикой

Работа Вигнера дала свежий взгляд на физику и философия математики, и довольно часто цитируется в академической литературе по философия физики и математики. Вигнер размышлял об отношениях между философия науки и основы математики следующим образом:

Трудно избежать впечатления, что здесь перед нами предстает чудо, вполне сопоставимое по своей поразительной природе с чудом, в котором человеческий разум может связать тысячи аргументов, не вступая в противоречие, или с двумя чудесами законов природы и способность человеческого разума предугадывать их.

Позже, Хилари Патнэм (1975) объяснил эти «два чуда» необходимыми следствиями реалистического (но не платонического) взгляда на философия математики.[2] Однако в отрывке, обсуждающем Когнитивное искажение Вигнера осторожно назвали «ненадежным», он пошел дальше:

Писатель убежден, что это полезно, в эпистемологический обсуждения, чтобы отказаться от идеализации, согласно которой уровень человеческого интеллекта занимает исключительную позицию в абсолютном масштабе. В некоторых случаях может быть даже полезно рассмотреть достижение, которое возможно на уровне интеллекта некоторых других видов.

Могут ли люди, проверяющие результаты людей, рассматриваться как объективная основа для наблюдений за известной (людям) вселенной, - это интересный вопрос, который рассматривается в обоих случаях. космология и философия математики.

Вигнер также изложил проблему когнитивного подхода к интеграции наук:

Гораздо более трудная и запутанная ситуация возникла бы, если бы мы однажды смогли создать теорию феноменов сознания или биологии, которая была бы столь же последовательной и убедительной, как наши нынешние теории неодушевленного мира.

Он также предложил найти аргументы, которые могли бы

подвергает серьезному испытанию нашу веру в наши теории и нашу веру в реальность концепций, которые мы формируем. Это вызвало бы у нас чувство глубокого разочарования в поисках того, что я назвал «истиной в последней инстанции». Причина, по которой такая ситуация возможна, заключается в том, что, по сути, мы не знаем, почему наши теории так хорошо работают. Следовательно, их точность не может служить доказательством их истинности и последовательности. В самом деле, автор считает, что что-то более похожее на ситуацию, описанную выше, существует, если противостоять нынешним законам наследственности и физики.

Ответы на оригинальную статью Вигнера

Оригинальная статья Вигнера вызвала и вдохновила множество откликов в широком диапазоне дисциплин. Они включают Ричард Хэмминг[3] в информатике, Артур Леск в молекулярной биологии,[4] Питер Норвиг в интеллектуальном анализе данных,[5] Макс Тегмарк в физике,[6] Айвор Граттан-Гиннесс по математике[7] и Вела Велупиллай по экономике.[8]

Ричард Хэмминг

Ричард Хэмминг, прикладной математик и основатель Информатика, размышлял и расширял Вигнера Неоправданная эффективность в 1980 году, обдумывая четыре «частичных объяснения» этого.[3] Хэмминг пришел к выводу, что четыре приведенных им объяснения неудовлетворительны. Они были:

1. Люди видят то, что ищут. Убеждение, что наука обоснована экспериментально, верно лишь отчасти. Скорее, наш интеллектуальный аппарат таков, что многое из того, что мы видим, исходит из очков, которые мы надеваем. Эддингтон зашел так далеко, что заявил, что достаточно мудрый ум может вывести всю физику, проиллюстрировав свою точку зрения следующей шуткой: «Некоторые люди ходили на рыбалку в море с сетью, и, изучив то, что они поймали, они пришли к выводу, что существует минимум размер рыбы в море ".

Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли из использованных математических инструментов, а не из внутренних свойств физической реальности.

  • Хэмминг предлагает, чтобы Галилео обнаружил закон падающих тел не экспериментируя, а простым, но осторожным мышлением. Хэмминг воображает, что Галилей занимается следующим: мысленный эксперимент (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическим рассуждением», описан в книге Галилея В движении.[9]):

Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, две части сразу же замедлялись бы до своей соответствующей скорости. Но предположим далее, что один кусок коснулся другого. Будут ли они теперь единым целым и ускоряться вместе? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько плотно я должен это сделать, чтобы они стали единым целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две штуки - одно?

Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей заключил бы, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение в Pólya (1963: 83-85).[10] Отчет Хэмминга не раскрывает осведомленности ученых 20 века о том, что сделал Галилей.[требуется разъяснение ]

2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации.. Под рукой математика не всегда работает. Например, когда просто скаляры оказался неудобным для понимания сил, сначала векторов, тогда тензоры, были изобретены.

3. Математика затрагивает только часть человеческого опыта. Большая часть человеческого опыта подпадает не под естественные науки или математику, а под философия ценности, в том числе этика, эстетика, и политическая философия. Утверждать, что мир можно объяснить с помощью математики, равносильно действию веры.

4. Эволюция научил людей мыслить математически. Самые ранние формы жизни должны были содержать семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам близких рассуждений.

Макс Тегмарк

Другой ответ, защищаемый физиком Макс Тегмарк, заключается в том, что физика так успешно описывается математикой, потому что физический мир является полностью математический, изоморфный математической структуре, и мы просто постепенно раскрываем это.[6][12] Та же интерпретация была выдвинута несколькими годами ранее Питер Аткинс.[13] В этой интерпретации различные приближения, составляющие наши текущие теории физики, успешны, потому что простые математические структуры могут обеспечить хорошие приближения некоторых аспектов более сложных математических структур. Другими словами, наши успешные теории - это не математика, приближающая физику, а математика, приближающую математику. Большинство предложений Тегмарка в высшей степени умозрительно, а некоторые из них даже выходят далеко за рамки строгих научных стандартов, и они поднимают один основной вопрос: можно ли сделать точные смысл понятия изоморфизм (а не «соответствие») между вселенной - конкретным миром «материи» и событий - с одной стороны, и математическими структурами, как они понимаются математиками, в пределах математика? Если - или оптимистично, пока - это не будет достигнуто, часто слышимое утверждение о том, что «мир / вселенная является математическим», может быть не чем иным, как ошибка категории.

Айвор Граттан-Гиннесс

Айвор Граттан-Гиннесс находит рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой с помощью таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора.[7]

Связанные цитаты

[W] ir auch, gleich als ob es ein glücklicher unsre Absicht Begünstigender Zufall wäre, erfreuet (eigentlich eines Bedürfnisses entledigt) werden, wenn wir eine solche systematische Einheit unter bloß empirischen Gesetzen antledigt. [Мы радуемся (на самом деле мы избавляемся от нужды), когда, как если бы это была удачная случайность, благоприятствующая нашей цели, мы действительно находим такое систематическое единство среди простых эмпирических законов.].

— Иммануил Кант[14]

Самое непонятное во Вселенной - это то, что она постижима.

— Альберт Эйнштейн[15]

Как может быть, что математика, будучи в конце концов продуктом человеческой мысли, не зависящей от опыта, настолько превосходно подходит для объектов реальности? [...] На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности.

— Альберт Эйнштейн[16]

Физика математическая не потому, что мы так много знаем о физическом мире, а потому, что знаем так мало; мы можем обнаружить только его математические свойства.

— Бертран Рассел[17]

Есть только одна вещь, более необоснованная, чем неразумная эффективность математики в физике, и это необоснованная неэффективность математики в биологии.

— Израиль Гельфанд[18]

Науки достигают точки, когда они становятся математизированными ... центральные вопросы в этой области становятся достаточно понятными, чтобы их можно было рассматривать математически ... [к началу 1990-х годов] биология больше не была наукой о вещах, которые странно пахли в холодильнике (мой взгляд со времен бакалавриата в 1960-х). Эта область претерпевала революцию и быстро приобретала глубину и силу, ранее ассоциируемые исключительно с физическими науками. Биология теперь была изучением информации, хранящейся в ДНК - цепочек из четырех букв: A, T, G и C ... и преобразований, которым информация претерпевает в клетке. Здесь была математика!

— Леонард Адлеман, теоретик в области информатики, который был пионером в области ДНК-вычисления[19][20]

Мы должны перестать вести себя так, как будто наша цель - создать чрезвычайно элегантные теории, и вместо этого принять сложность и использовать лучшего союзника, который у нас есть: необоснованную эффективность данных.

— Питер Норвиг[5]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Вигнер, Э. (1960). «Неоправданная эффективность математики в естественных науках. Лекция Ричарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете 11 мая 1959 года». Сообщения по чистой и прикладной математике. 13: 1–14. Bibcode:1960CPAM ... 13 .... 1 Вт. Дои:10.1002 / cpa.3160130102.
  2. ^ Патнэм, Хилари (1975). "Что такое математическая истина?". Historia Mathematica. 2 (4): 529–543. Дои:10.1016/0315-0860(75)90116-0.
    Перепечатано в Патнэм, Хилари (1975). Математика, материя и метод: философские статьи. 1. Издательство Кембриджского университета. стр.60–78. ISBN  978-0-521-20665-5.
  3. ^ а б Хэмминг, Р. (1980). «Неоправданная эффективность математики». Американский математический ежемесячник. 87 (2): 81–90. Дои:10.2307/2321982. HDL:10945/55827. JSTOR  2321982.
  4. ^ Леск, А. М. (2000). «Необоснованная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллект. 22 (2): 28–37. Дои:10.1007 / BF03025372.
  5. ^ а б Галеви, А.; Норвиг, П.; Перейра, Ф. (2009). «Необоснованная эффективность данных» (PDF). Интеллектуальные системы IEEE. 24 (2): 8–12. Дои:10.1109 / MIS.2009.36.
  6. ^ а б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики. 38 (2): 101–150. arXiv:0704.0646. Bibcode:2008ФоФ ... 38..101Т. Дои:10.1007 / s10701-007-9186-9.
  7. ^ а б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Решение тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллект. 30 (3): 7–17. Дои:10.1007 / BF02985373.
  8. ^ Велупиллай, К. В. (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский журнал экономики. 29 (6): 849–872. CiteSeerX  10.1.1.194.6586. Дои:10.1093 / cje / bei084.
  9. ^ Ван Хелден, Альберт (1995). "В движении". Проект Галилео. Получено 16 октября 2013.
  10. ^ Полиа, Джордж; Боуден, Леон; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций. Исследования по математике. 11. Стэнфорд: школьная группа по изучению математики. OCLC  227871299.
  11. ^ Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье. 3 (3): 207–238. Дои:10.1007 / BF02649110.
  12. ^ Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая вселенная. Кнопф. ISBN  978-0-307-59980-3.
  13. ^ Аткинс, Питер (1992). Возвращение к созданию. В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-4500-6.
  14. ^ Иммануил Кант, Критика суждения, 1790.
  15. ^ Эйнштейн, Альберт (март 1936 г.). «Физика и реальность». Журнал Института Франклина. 221 (3): 349–382. Bibcode:1936FrInJ.221..349E. Дои:10.1016 / S0016-0032 (36) 91047-5.
  16. ^ Ньюман, Джеймс Р. (1956). Мир математики. Саймон и Шустер.
  17. ^ Бертран Рассел (1927). Очерк философии. Джордж Аллен и Анвин.
  18. ^ "Комментарии". Архивировано 12 декабря 2006 года.. Получено 2009-08-10.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (ссылка на сайт) от Александр Боровик, 26 ноября 2006 г., обсуждая свою книгу Математика под микроскопом, Александр Боровик, 2006
  19. ^ Джин Джинн
  20. ^ Адлеман, Леонард М. (1998). «Компьютеры с ДНК». Scientific American. 279 (2): 54–61. Bibcode:1998SciAm.279b..54A. Дои:10.1038 / scientificamerican0898-54.

дальнейшее чтение