Откуда пришла математика - Where Mathematics Comes From

Откуда пришла математика
Откуда пришла математика.jpg
АвторДжордж Лакофф
Рафаэль Э. Нуньес
ПредметЧисленное познание
Опубликовано2000
Страницы492
ISBN978-0-465-03771-1
OCLC44045671

Откуда возникла математика: как воплощенный разум воплощает математику в жизнь (далее WMCF) - это книга Джордж Лакофф, а когнитивный лингвист, и Рафаэль Э. Нуньес, а психолог. Опубликовано в 2000 г., WMCF стремится основать когнитивная наука математика, теория воплощенный математика на основе концептуальная метафора.

WMCF определение математики

Математика составляет ту часть концептуальной системы человека, которая имеет следующие особенности:

"Это точный, последовательный, стабильный во времени и человеческих сообществах, символизируемый, вычисляемый, обобщаемый, универсально доступный, согласованный в рамках каждого из своих предметов и эффективный как общий инструмент для описания, объяснения и предсказания в огромном количестве повседневных деятельности, [начиная от] спорта, до строительства, бизнеса, технологий и науки ". (WMCF, стр.50, 377).

Николай Лобачевский сказал: «Не существует раздела математики, даже абстрактного, который когда-нибудь нельзя было бы применить к явлениям реального мира». Распространенный тип концептуальное смешение Казалось бы, этот процесс применим ко всему математическому процессу.

Человеческое познание и математика

Общепризнанная цель Лакоффа и Нуньеса - заложить основы для истинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаружили, что четыре различных, но связанных процесса метафорически Основы арифметики структуры: сбор объектов, построение объектов с использованием мерной ручки и перемещение по траектории.

WMCF опирается на более ранние книги Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), в которых анализируются такие концепции метафора и схемы изображений из второго поколения наука о мышлении. Некоторые концепции из этих более ранних книг, такие как интересные технические идеи из Лакоффа (1987), отсутствуют в WMCF.

Лакофф и Нуньес считают, что математика является результатом когнитивного аппарата человека и поэтому должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF защищает (и включает некоторые примеры) когнитивный анализ идей из математика который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, их порождающих. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, потому что оно не преследует соображения: A) какие структуры ума позволяют ему заниматься математикой или B) философия математики.

Лакофф и Нуньес начинают с обзора психологической литературы и приходят к выводу, что люди, по-видимому, обладают врожденной способностью, называемой субитизирующий, чтобы считать, складывать и вычитать примерно до 4 или 5. Они документируют этот вывод, просматривая литературу, опубликованную в последние десятилетия, описывающую эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро возбуждаются или проявляют любопытство, когда сталкиваются с «невозможными» ситуациями, например, когда появляются три игрушки, когда изначально присутствовали только две.

Авторы утверждают, что математика выходит далеко за пределы этого самого элементарного уровня из-за большого количества метафорический конструкции. Например, Пифагорейский позиция, что все есть число, и связанный с этим кризис уверенности, возникший с открытием иррациональности квадратный корень из двух, возникает исключительно из метафорического соотношения между длиной диагонали квадрата и возможным количеством объектов.

Довольно WMCF рассматривает важные концепции бесконечность и предельных процессов, пытаясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могут в конечном итоге представить себе фактическая бесконечность. Таким образом, большая часть WMCF по сути, является исследованием эпистемологический основы исчисление. Лакофф и Нуньес заключают, что, хотя потенциал бесконечен не метафорично, актуально бесконечное. Более того, они считают все проявления актуальной бесконечности примерами того, что они называют «базовой метафорой бесконечности», представленной постоянно увеличивающейся последовательностью 1, 2, 3, ...

WMCF категорически отвергает Платонизм философия математики. Они подчеркивают, что все, что мы знаем и можем знать, - это человеческая математика, математика, возникающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческого мышления, - это бессмысленный вопрос, как и вопрос о том, являются ли цвета трансцендентными для человеческого мышления: цвета - это всего лишь световые волны различной длины, и наша интерпретация физических стимулов делает их цветами.

WMCF (стр. 81) также критикует то внимание, которое математики придают концепции закрытие. Лакофф и Нуньес утверждают, что ожидание завершения - это артефакт способности человеческого разума связывать принципиально разные концепции с помощью метафор.

WMCF в основном занимается предложением и установлением альтернативного взгляда на математику, основанного на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нуньес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики ошибочны. Например, они не кажутся знакомыми с содержанием Дэвиса и Hersh (1981), даже несмотря на то, что книга горячо признает поддержку Херша.

Лакофф и Нуньес цитируют Saunders Mac Lane (изобретатель, с Сэмюэл Эйленберг, из теория категорий ) в поддержку своей позиции. Математика, форма и функции (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические концепции в конечном итоге основаны на обычной человеческой деятельности, в основном во взаимодействиях с физическим миром.[1]

Педагоги поинтересовались, что WMCF рассказывает о том, как изучается математика и почему учащиеся находят одни элементарные понятия более трудными, чем другие.

Однако даже с образовательной точки зрения WMCF все еще проблематичен. С точки зрения теории концептуальных метафор, метафоры находятся в другой сфере, абстрактной, по сравнению с «реальным миром», конкретным. Другими словами, несмотря на то, что они утверждают, что математика - это человек, устоявшиеся математические знания - которые мы изучаем в школе - считаются абстрактными, полностью оторванными от их физического происхождения. Он не может объяснить, каким образом учащиеся могут получить доступ к таким знаниям.[2]

WMCF также критикуют за его монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, основана наша языковая структура, а значит, и математика, может варьироваться в зависимости от культур и ситуаций.[3]. Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, "почти полностью ... стандартные высказывания в учебниках и учебных программах"[3], который представляет собой наиболее хорошо установленную совокупность знаний. Он игнорирует динамичный и разнообразный характер истории математики.

Логоцентричный подход WMCF - еще одна мишень для критиков. Хотя его в основном интересует связь между языком и математикой, он не учитывает, как неязыковые факторы способствуют появлению математических идей (например, см. Radford, 2009[4]; Ротман, 2008 г.[5]).

Примеры математических метафор

Концептуальные метафоры описано в WMCF, в дополнение к базовой метафоре бесконечности, включают:

Математические рассуждения требуют переменные начиная с некоторых вселенная дискурса, так что мы можем рассуждать об общих, а не только о частностях. WMCF утверждает, что рассуждение с такими переменными неявно полагается на то, что он называет фундаментальным Метонимия алгебры.

Пример метафорической двусмысленности

WMCF (стр. 151) включает следующий пример того, что авторы называют «метафорической двусмысленностью». Возьми набор Затем вспомните две части стандартной терминологии из элементарная теория множеств:

  1. В рекурсивный строительство порядковые натуральные числа, при этом 0 - это , и является
  2. В упорядоченная пара (а, б), определяется как

Согласно (1), А это множество {1,2}. Но (1) и (2) вместе говорят, что А также является упорядоченной парой (0,1). Оба утверждения не могут быть правильными; то упорядоченная пара (0,1) и неупорядоченная пара {1,2} - совершенно разные понятия. Лакофф и Джонсон (1999) называют эту ситуацию «метафорически неоднозначной». Этот простой пример ставит под сомнение любые Платонизм основы математики.

Хотя (1) и (2) выше, по общему признанию, каноничны, особенно в рамках консенсуса теория множеств известный как Аксиоматизация Цермело – Френкеля, WMCF не указывает на то, что они являются лишь одним из нескольких определений, которые были предложены с момента зарождения теории множеств. Например, Frege, Principia Mathematica, и Новые основы (тело аксиоматическая теория множеств начат Куайн в 1937 г.) определить кардиналы и порядковые так как классы эквивалентности под связи из равноденствие и сходство, так что этой головоломки не возникает. В теории множеств Куини А является просто экземпляром числа 2. По техническим причинам определение упорядоченной пары, как в (2) выше, неудобно в куинианской теории множеств. Было предложено два решения:

  • Вариант теоретико-множественного определения упорядоченной пары, более сложный, чем обычное;
  • Принятие упорядоченных пар как примитивных.

Романтика математики

«Математический роман» - это WMCF'беззаботный термин для обозначения вечной философской точки зрения на математику, которую авторы описывают, а затем отвергают как интеллектуальный миф:

  • Математика трансцендентна, то есть она существует независимо от людей и структурирует наши реальные физические вселенная и любой возможной вселенной. Математика - это язык природы, и это основная концептуальная структура, которая у нас будет общей с инопланетными пришельцами, если таковые существуют.
  • Математическое доказательство это врата в царство трансцендентной истины.
  • Рассуждение является логика, а логика по своей сути математическая. Следовательно, математика структурирует все возможные рассуждения.
  • Поскольку математика существует независимо от людей, а рассуждения по своей сути математические, сам разум бестелесен. Следовательно, искусственный интеллект возможно, по крайней мере в принципе.

Это очень открытый вопрос, можно ли WMCF в конечном итоге окажется началом новой школы в философия математики. Отсюда основная ценность WMCF пока может быть критическим: его критика Платонизм и романтизм в математике.

Критический ответ

Многие работающие математики сопротивляются подходу и выводам Лакоффа и Нуньеса. Отзывы математиками WMCF в профессиональных журналах, хотя часто с уважением относился к концептуальным стратегиям и метафорам как к путям понимания математики, но отвергали некоторые из WMCF'философские аргументы на том основании, что математические утверждения имеют длительный «объективный» смысл. Например, Последняя теорема Ферма означает именно то, что имелось в виду, когда Ферма первоначально предложили его в 1664 году. Другие рецензенты указали, что несколько концептуальных стратегий могут использоваться в связи с одним и тем же математически определенным термином, часто одним и тем же человеком (точка, которая совместима с точкой зрения, что мы обычно понимаем `` одно и то же '' понятие с разные метафоры). В метафора и концептуальная стратегия не то же самое, что формальная определение которые используют математики. Однако, WMCF указывает, что формальные определения построены с использованием слов и символов, которые имеют значение только с точки зрения человеческого опыта.

Критика WMCF включают юмористические:

«Мне трудно представить себе метафору для реального числа, возведенного в сложную степень, но если она есть, я бы обязательно ее увидел». - Джозеф Ауслендер[6]

и физически информированные:

«Но их анализ оставляет по крайней мере пару вопросов, на которые нет ответов. Во-первых, авторы игнорируют тот факт, что мозг не только наблюдает за природой, но и является ее частью. Возможно, математика, изобретенная мозгом, принимает ту форму, которую делает, потому что математика в первую очередь приложил руку к формированию мозга (посредством действия законов природы, ограничивающих эволюцию жизни). Кроме того, одно дело - подогнать уравнения к уже известным аспектам реальности. Другое дело - математика. рассказывать о явлениях, о которых раньше не подозревали. Когда уравнения Пола Дирака, описывающие электроны, давали более одного решения, он предположил, что природа должна обладать другими частицами, теперь известными как антивещество. Но ученые не открывали такие частицы, пока математика Дирака не сказала ему, что они должны существовать. Если математика - это изобретение человека, природа, кажется, знает, что было изобретено ».[6]

Лакофф заработал себе репутацию, связав лингвистика к наука о мышлении и анализ метафора. Нуньес, получил образование в Швейцария, является продуктом Жан Пиаже школа когнитивная психология как основа логики и математики. Нуньес много думал об основах реальный анализ, то настоящий и сложные числа, и основная метафора бесконечности. Однако эти темы, какими бы достойными они ни были, составляют часть надстройки математики. Когнитивная наука должна больше интересоваться основы математики. И действительно, авторы с самого начала уделяют изрядное внимание логика, Булева алгебра и Аксиомы Цермело – Френкеля, даже немного задержавшись теория групп. Но ни один из авторов плохо обучен логика (для "квантификатор "или" количественная оценка "), философия теории множеств, аксиоматический метод, метаматематика, и теория моделей. И не WMCF сказать достаточно о выводе системы счисления (в Аксиомы Пеано не упоминается), абстрактная алгебра, эквивалентность и порядок связи, мереология, топология, и геометрия.

Лакофф и Нуньес склонны игнорировать негативные мнения математиков о WMCF, потому что их критики не ценят идеи когнитивной науки. Лакофф и Нуньес утверждают, что их аргумент можно понять, только используя открытия последних десятилетий о том, как человеческий мозг обрабатывает язык и значение. Они утверждают, что любые аргументы или критика, не основанные на этом понимании, не могут касаться содержания книги.[7]

Было указано, что совсем не ясно, что WMCF устанавливает, что утверждение «разумная инопланетная жизнь обладает математическими способностями» является мифом. Для этого потребуется показать, что интеллект и математические способности разделимы, а этого не было сделано. На Земле интеллект и математические способности, кажется, идут рука об руку во всех формах жизни, как указывает Кейт Девлин среди прочего.[8] Авторы WMCF не объяснили, как эта ситуация могла бы (или даже могла бы быть) отличаться в другом месте.

Лакофф и Нуньес, похоже, также не понимают, в какой степени интуиционисты и конструктивисты предвосхитили свою атаку на роман о (платонической) математике. Брауэр, основатель интуиционист /конструктивист точки зрения, в его диссертации Об основах математики, утверждал, что математика - это ментальная конструкция, свободное творение разума, полностью независимое от логики и языка. Он продолжает упрекать формалистов в построении вербальных структур, которые изучаются без интуитивной интерпретации. Символический язык не следует путать с математикой; он отражает, но не содержит математическую реальность.[9]

Подводя итоги

WMCF (стр. 378–79) завершается некоторыми ключевыми моментами, ряд из которых приводится ниже. Математика возникает из нашего тела и мозга, нашего повседневного опыта и забот человеческих обществ и культур. Это:

  • Результат нормальных когнитивных способностей взрослого человека, в частности способности к концептуальным метафорам, и как таковой является универсальным для человека. Умение строить концептуальные метафоры основан на неврологии и позволяет людям рассуждать об одной области, используя язык и концепции другой области. Концептуальная метафора это и то, что позволило математике вырасти из повседневной деятельности, и то, что позволяет математике развиваться посредством непрерывного процесса аналогии и абстракции;
  • Символический, тем самым значительно облегчая точный расчет;
  • Не трансцендентный, но результат человеческого эволюция и культура, чему он обязан своей эффективностью. Во время познания мира в человеческом разуме происходит связь с математическими идеями;
  • Система человеческих представлений, экстраординарно использующая обычные инструменты человеческого познания;
  • Открытое творение людей, которые несут ответственность за его поддержание и расширение;
  • Один из величайших плодов коллективного человеческого воображения и великолепный пример красоты, богатства, сложности, разнообразия и важности человеческих идей.

Когнитивный подход к формальные системы, как описано и реализовано в WMCF, не обязательно ограничиваться математикой, но также должны оказаться плодотворными в применении к формальной логике и формальной философии, такой как Эдвард Залта с теория абстрактных объектов. Лакофф и Джонсон (1999) плодотворно используют когнитивный подход, чтобы переосмыслить значительную часть философия разума, эпистемология, метафизика, а история идей.

Смотрите также

Сноски

  1. ^ См. Особенно таблицу в Mac Lane (1986), стр. 35.
  2. ^ де Фрейтас, Элизабет; Синклер, Натали (2014). Математика и тело: материальные затруднения в классе. Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета.
  3. ^ а б Ширалли, Мартин; Синклер, Натали (2003). "Конструктивный ответ на вопрос" Откуда пришла математика'". Образовательные исследования по математике. 52: 79–91.
  4. ^ Рэдфорд, Луис (2009). «Почему жесты имеют значение? Чувственное познание и осязаемость математических значений». Образовательные исследования по математике. 70: 111–126.
  5. ^ Ротман, Брайан (2008). Становление вне себя: алфавит, призраки и распределенный человек. Дарем: издательство Duke University Press.
  6. ^ а б Какова природа математики?, Майкл Сатклифф, ссылка на которую дана 1 февраля 2011 г.
  7. ^ Увидеть http://www.unifr.ch/perso/nunezr/warning.html В архиве 13 июня 2002 г. Wayback Machine
  8. ^ Девлин, Кейт (2005), Математический инстинкт / Почему вы математический гений (наряду с лобстерами, птицами, кошками и собаками), Громовой пресс, ISBN  1-56025-839-X
  9. ^ Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), McGraw-Hill, p. 712, г. ISBN  978-0-07-338315-6

использованная литература

  • Дэвис, Филип Дж. И Рубен Херш, 1999 (1981). Математический опыт. Mariner Books. Впервые опубликовано Houghton Mifflin.
  • Джордж Лакофф, 1987. Женщины, огонь и опасные вещи. Univ. Чикаго Пресс.
  • ------ и Марк Джонсон, 1999. Философия во плоти. Основные книги.
  • ------ и Рафаэль Нуньес, 2000, Откуда пришла математика. Основные книги. ISBN  0-465-03770-4
  • Джон Рэндольф Лукас, 2000. Концептуальные корни математики. Рутледж.
  • Saunders Mac Lane, 1986. Математика: форма и функции. Springer Verlag.

внешние ссылки