Расширение плоской волны - Plane wave expansion

В физика, то расширение плоской волны выражает плоская волна как линейная комбинация из сферические волны,

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}),}$

куда

• я это мнимая единица,
• k это волновой вектор длины k,
• р это вектор положения длины р,
• j_ℓ находятся сферические функции Бесселя,
• п_ℓ находятся Полиномы Лежандра, и
• шляпа ^ обозначает единичный вектор.

В частном случае, когда k согласуется с z-ось,

${\displaystyle e^{ikr\cos \theta }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),}$

куда θ это сферический полярный угол из р.

Разложение по сферическим гармоникам

С теорема сложения сферических гармоник уравнение можно переписать как

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m*}({\hat {\mathbf {r} }}),}$

куда

• Y_ℓ^м являются сферические гармоники и
• верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение.

Обратите внимание, что комплексное сопряжение между двумя сферическими гармониками можно менять местами из-за симметрии.

Приложения

Разложение плоской волны применяется в

• Акустика
• Оптика
• Квантовая теория рассеяния

Смотрите также

• Уравнение Гельмгольца
• Метод расширения плоской волны в вычислительном электромагнетизме
• Расширение Вейля

Рекомендации

• Электронная библиотека математических функций, уравнение 10.60.7, Национальный институт стандартов и технологий
• Рами Мехрем (2009), Расширение плоской волны, бесконечные интегралы и тождества, содержащие сферические функции Бесселя, arXiv:0909.0494, Bibcode:2009arXiv0909.0494M