Функция Джексона q-Бесселя - Jackson q-Bessel function

В математике Джексон q-Функция Бесселя (или базовая функция Бесселя) является одним из трех q-аналоги из Функция Бесселя представлен Джексон  (1906a, 1906b, 1905a, 1905b ). Третий Джексон q-Функция Бесселя такая же, как Хан-Экстон q-Функция Бесселя.

Определение

Три Джексона q-Функции Бесселя даны в терминах q-Почхаммер символ и базовая гипергеометрическая функция ${\displaystyle \phi }$ от

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad |x|<2,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _{1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\nu +1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4),\quad x\in \mathbb {C} .}$

Их можно свести к функции Бесселя непрерывным пределом:

${\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.}$

Существует формула связи между первым и вторым Джексоном q-Функция Бесселя (Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x;q),\ |x|<2.}$

Для целочисленного порядка q-Функции Бесселя удовлетворяют

${\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.}$

Свойства

Отрицательный целочисленный порядок

Используя соотношения (Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle (q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},}$

${\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,}$

мы получаем

${\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

Нули

Хан упомянул, что ${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$ имеет бесконечно много действительных нулей (Хан  (1949 )). Исмаил доказал, что для ${\displaystyle \nu >-1}$ все ненулевые корни ${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$ настоящие (Исмаил  (1982 )).

Соотношение q-Функции Бесселя

Функция ${\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)}$ это полностью монотонная функция (Исмаил  (1982 )).

Повторяющиеся отношения

Первый и второй Джексон q-Функции Бесселя имеют следующие рекуррентные соотношения (см. Исмаил (1982) и Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{\nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu }^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).}$

Неравенства

Когда ${\displaystyle \nu >-1}$, второй Джексон q-Функция Бесселя удовлетворяет:${\displaystyle \left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.}$(см. Чжан (2006 ).)

Для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.}$(см. Koelink (1993 ).)

Производящая функция

Следующие формулы являются q-аналог производящей функции для функции Бесселя (см. Гаспер и Рахман (2004) ):

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).}$

${\displaystyle e_{q}}$ это q-экспоненциальный функция.

Альтернативные представления

Интегральные представления

Второй Джексон q-Функция Бесселя имеет следующие интегральные представления (см. Рахман (1987) и Исмаил и Чжан (2018a) ):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,}$

где ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$это q-Почхаммер символ. Это представление сводится к интегральному представлению функции Бесселя в пределе ${\displaystyle q\to 1}$.

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}$

Гипергеометрические представления

Второй Джексон q-Функция Бесселя имеет следующие гипергеометрические представления (см. Koelink (1993 ), Чен, Исмаил, и Муталиб (1994 )):

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).}$

Асимптотическое разложение может быть получено как непосредственное следствие второй формулы.

По поводу других гипергеометрических представлений см. Рахман (1987).

Изменено q-Функции Бесселя

В q-аналог модифицированных функций Бесселя определяется с помощью Джексона q-Функция Бесселя (Исмаил (1981) и Ольшанецкий и Рогов (1995) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .}$

Существует формула связи между модифицированными функциями q-Бесселя:

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).}$

Для статистических приложений см. Кемп (1997) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFKemp1997 (Помогите).

Повторяющиеся отношения

По рекуррентному соотношению Джексона q-Функции Бесселя и определение модифицированных q-Функции Бесселя можно получить следующее рекуррентное соотношение (${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)}$ также удовлетворяет тому же соотношению) (Исмаил (1981) ):

${\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

Для других рекуррентных отношений см. Ольшанецкий и Рогов (1995).

Представление непрерывной дроби

Соотношение модифицированных q-Функции Бесселя образуют цепную дробь (Исмаил (1981) ):

${\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}$

Альтернативные представления

Гипергеометрические представления

Функция ${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)}$ имеет следующее представление (Исмаил и Чжан (2018b) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).}$

Интегральные представления

Измененный q-Функции Бесселя имеют следующие интегральные представления (Исмаил (1981) ):

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}$

Смотрите также

• q-Полиномы Бесселя

использованная литература

• Чен, Ян; Ismail, Mourad E.H .; Муталиб, К.А. (1994), "Асимптотика основных функций Бесселя и q-Полиномы Лагерра », Журнал вычислительной и прикладной математики, 54 (3): 263–272, Дои:10.1016 / 0377-0427 (92) 00128-в
• Гаспер, G .; Рахман, М. (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83357-8, Г-Н  2128719
• Хан, Вольфганг (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, Дои:10.1002 / мана.19490020103, ISSN  0025-584X, Г-Н  0030647
• Исмаил, Мурад Э. Х. (1981), "Основные функции Бесселя и многочлены", Журнал СИАМ по математическому анализу, 12 (3): 454–468, Дои:10.1137/0512038
• Исмаил, Мурад Э. Х. (1982), "Нули основных функций Бесселя, функции J_{ν +топор}(Икс) и ассоциированные ортогональные многочлены ", Журнал математического анализа и приложений, 86 (1): 1–19, Дои:10.1016 / 0022-247X (82) 90248-7, ISSN  0022-247X, Г-Н  0649849
• Ismail, M.E.H .; Чжан, Р. (2018a), "Интегральные и серийные представления q-Полиномы и функции: Часть I », Анализ и приложения, 16 (2): 209–281, arXiv:1604.08441, Дои:10.1142 / S0219530517500129
• Ismail, M.E.H .; Чжан Р. (2018b) "q-Функции Бесселя и тождества типа Роджерса-Рамануджана », Труды Американского математического общества, 146 (9): 3633–3646, arXiv:1508.06861, Дои:10.1090 / proc / 13078
• Джексон, Ф. Х. (1906a), "I. - Об обобщенных функциях Лежандра и Бесселя", Сделки Королевского общества Эдинбурга, 41 (1): 1–28, Дои:10.1017 / S0080456800080017
• Джексон, Ф. Х. (1906b), «VI. - Теоремы, относящиеся к обобщению функции Бесселя», Сделки Королевского общества Эдинбурга, 41 (1): 105–118, Дои:10.1017 / S0080456800080078
• Джексон, Ф. Х. (1906c), «XVII. - Теоремы, относящиеся к обобщению функции Бесселя», Сделки Королевского общества Эдинбурга, 41 (2): 399–408, Дои:10,1017 / с0080456800034475, JFM  36.0513.02
• Джексон, Ф. Х. (1905a), «Применение основных чисел к функциям Бесселя и Лежандра», Труды Лондонского математического общества, 2, 2 (1): 192–220, Дои:10.1112 / плмс / с2-2.1.192
• Джексон, Ф. Х. (1905b), «Применение основных чисел к функциям Бесселя и Лежандра (вторая статья)», Труды Лондонского математического общества, 2, 3 (1): 1–23, Дои:10.1112 / плмс / с2-3.1.1
• Коулинк, Х. Т. (1993), "Отношения ортогональности Хансена-Ломмеля для q-Функции Бесселя », Журнал математического анализа и приложений, 175 (2): 425–437, Дои:10.1006 / jmaa.1993.1181
• Ольшанецкий, М. А .; Рогов, В. Б. (1995), "Модифицированный q-Функции Бесселя и q-Функции Бесселя-Макдональда », arXiv:q-alg / 9509013
• Рахман, М. (1987), "Интегральное представление и некоторые свойства преобразования q-Функции Бесселя », Журнал математического анализа и приложений, 125: 58–71, Дои:10.1016 / 0022-247x (87) 90164-8
• Чжан, Р. (2006), "Асимптотика Планшереля-Ротаха для q-Серии", arXiv:математика / 0612216