Расположение гиперплоскостей - Arrangement of hyperplanes

В геометрия и комбинаторика, расположение гиперплоскостей является расположение конечного множества А из гиперплоскости в линейный, аффинный, или же проективный Космос S. Вопросы о расположении гиперплоскостей А обычно касаются геометрических, топологических или других свойств дополнять, M(А), которое остается, когда гиперплоскости удаляются из всего пространства. Возникает вопрос, как эти свойства связаны с компоновкой и ее полурешеткой пересечений. пересечение полурешетка из А, написано L(А), - множество всех подпространства которые получаются пересечением некоторых гиперплоскостей; среди этих подпространств есть S саму себя, все отдельные гиперплоскости, все пересечения пар гиперплоскостей и т. д. (исключая, в аффинном случае, пустое множество). Эти подпространства пересечения из А также называются квартиры А. Полурешетка пересечений L(А) частично заказан обратное включение.

Если все пространство S двумерна, гиперплоскости линии; такое расположение часто называют расположение линий. Исторически первыми исследовались реальные расположения линий. Если S 3-мерный расположение самолетов.

Расположение гиперплоскости в космосе

Общая теория

Полурешетка пересечений и матроид

Полурешетка пересечений L(А) является встречной полурешеткой, а точнее геометрическая полурешетка. Если расположение линейное или проективное, или если пересечение всех гиперплоскостей непусто, решетка пересечений является геометрическая решетка (Вот почему полурешетка должна быть упорядочена по обратному включению, а не по включению, что может показаться более естественным, но не приведет к геометрической (полу) решетке.)

Когда L(А) является решеткой, матроид из А, написано M(А), имеет А для своего основного набора и имеет функцию ранга р(S): = codim (я), куда S любое подмножество А и я является пересечением гиперплоскостей в S. В общем, когда L(А) является полурешеткой, существует аналогичная матроидоподобная структура, называемая полуматроид, который является обобщением матроида (и имеет такое же отношение к полурешетке пересечений, как и матроид к решетке в случае решетки), но не является матроидом, если L(А) не является решеткой.

Полиномы

Для подмножества B из А, определим ж(B): = пересечение гиперплоскостей в B; это S если B пусто. В характеристический многочлен А, написано п_А(у), можно определить как

{ displaystyle p_ {A} (y): = sum _ {B} (- 1) ^ {| B |} y ^ { dim f (B)},}

суммированы по всем подмножествам B из А кроме, в аффинном случае, подмножеств, пересечение которых пусто. (Размерность пустого множества определена как -1.) Этот многочлен помогает решить некоторые основные вопросы; см. ниже. Другой многочлен, связанный с А это Многочлен числа Уитни ш_А(Икс, у), определяется

{ displaystyle w_ {A} (x, y): = sum _ {B} x ^ {n- dim f (B)} sum _ {C} (- 1) ^ {| CB |} y ^ { dim f (C)},}

подвел итог B ⊆ C ⊆ А такой, что ж(B) непусто.

Будучи геометрической решеткой или полурешеткой, L(А) имеет характеристический многочлен, п_L(А)(у), имеющего обширную теорию (см. матроид ). Таким образом, хорошо знать, что п_А(у) = у^я п_L(А)(у), куда я наименьшая размерность любой квартиры, за исключением того, что в проективном случае она равна у^{я + 1}п_L(А)(у). Многочлен числа Уитни от А аналогично связан с L(А). (Пустое множество исключается из полурешетки в аффинном случае специально, чтобы эти отношения были действительными.)

Алгебра Орлика – Соломона

Полурешетка пересечений определяет другой комбинаторный инвариант компоновки: Алгебра Орлика – Соломона. Чтобы определить его, зафиксируйте коммутативное подкольцо K базового поля и образуют внешнюю алгебру E векторного пространства

{ displaystyle bigoplus _ {H in A} Ke_ {H}}

порожденные гиперплоскостями. цепной комплекс структура определена на E с обычным граничным оператором ${ displaystyle partial}$ Алгебра Орлика – Соломона является фактором E посредством идеальный генерируется элементами формы ${ Displaystyle е_ {Н_ {1}} клин cdots клин е_ {Н_ {p}}}$ для которого ${ displaystyle H_ {1}, dots, H_ {p}}$ имеют пустое пересечение, и границами элементов той же формы, для которых ${ Displaystyle H_ {1} cap cdots cap H_ {p}}$ имеет коразмерность меньше, чем п.

Реальные договоренности

В настоящий аффинное пространство, дополнение отключено: оно состоит из отдельных частей, называемых клетки или же регионы или же камеры, каждая из которых является либо ограниченной областью, которая является выпуклый многогранник, или неограниченная область, которая является выпуклой многогранник область, уходящая в бесконечность. Каждая квартира А также делится на части гиперплоскостями, не содержащими плоскости; эти части называются лица из А. Области - лица, потому что все пространство плоское. Грани коразмерности 1 можно назвать грани из А. В граневая полурешетка аранжировки - это набор всех граней, упорядоченных по включение. Добавление дополнительного верхнего элемента к полурешетке грани дает лицевая решетка.

В двух измерениях (т.е. в реальной аффинной самолет ) каждая область является выпуклой многоугольник (если она ограничена) или выпуклая многоугольная область, уходящая в бесконечность.

Например, если компоновка состоит из трех параллельных прямых, полурешетка пересечения состоит из плоскости и трех прямых, но не из пустого множества. Есть четыре области, ни одна из которых не ограничена.
Если мы добавим прямую, пересекающую три параллели, то полурешетка пересечения будет состоять из плоскости, четырех прямых и трех точек пересечения. Есть восемь регионов, но ни один из них не ограничен.
Если мы добавим еще одну линию, параллельную последней, то получится 12 областей, из которых две ограничены. параллелограммы.

Типичные проблемы с расположением в п-мерное реальное пространство должно сказать, сколько существует областей, или сколько граней размерности 4, или сколько ограниченных областей. На эти вопросы можно ответить только с помощью полурешетки пересечений. Например, две основные теоремы Заславского (1975) заключаются в том, что количество областей аффинного расположения равно (−1)^пп_А(−1), а количество ограниченных областей равно (−1)^пп_А(1). Точно так же количество k-мерные грани или ограниченные грани могут быть прочитаны как коэффициент Икс^п−k в (−1)^п ш_А (−Икс, −1) или (−1)^пш_А(−Икс, 1).

Мейзер (1993) разработал быстрый алгоритм для определения грани расположения гиперплоскостей, содержащих входную точку.

Другой вопрос о расположении в реальном пространстве - решить, сколько регионов симплексы (в п-мерное обобщение треугольники и тетраэдры ). На этот вопрос нельзя ответить, основываясь только на полурешетке пересечений. В Проблема Макмаллена запрашивает наименьшее расположение заданного размера в общем положении в реальное проективное пространство для которого не существует ячейки, которой касаются все гиперплоскости.

Реальная линейная конфигурация, помимо граней полурешетки, имеет посеть регионов, разные для каждого региона. Этот poset формируется путем выбора произвольной базовой области, B₀, и связываясь с каждым регионом р набор S(р), состоящий из гиперплоскостей, разделяющих р из B. Частично упорядочены регионы, так что р₁ ≥ р₂ если S(р₁, р) содержит S(р₂, р). В частном случае, когда гиперплоскости возникают из корневая система, результирующий ЧУМ будет соответствующим Группа Вейля со слабым порядком Брюа. В целом набор регионов в рейтинге по количеству разделяющих гиперплоскостей и ее Функция Мёбиуса было вычислено (Эдельман 1984 ).

Вадим Шехтман и Александр Варченко введена матрица, индексированная по регионам. Матричный элемент для региона ${ displaystyle R_ {i}}$ и ${ displaystyle R_ {j}}$ дается произведением неопределенных переменных ${ displaystyle a_ {H}}$ для каждой гиперплоскости H, разделяющей эти две области. Если эти переменные специализированы для всех значений q, то это называется q-матрицей (в евклидовой области ${ Displaystyle mathbb {Q} [д]}$ ) для организации, и много информации содержится в ее Нормальная форма Смита.

Сложные аранжировки

В сложный аффинное пространство (которое трудно визуализировать, потому что даже комплексная аффинная плоскость имеет четыре реальных измерения), дополнение связано (все одно целое) с отверстиями, из которых были удалены гиперплоскости.

Типичная проблема расположения в сложном пространстве - описать отверстия.

Основная теорема о сложных конфигурациях состоит в том, что когомология дополнения M(А) полностью определяется полурешёткой пересечений. Если быть точным, кольцо когомологий M(А) (с целыми коэффициентами) есть изоморфный к алгебре Орлика – Соломона на Z.

Изоморфизм может быть описан явно и дает представление когомологий в терминах образующих и отношений, где образующие представлены (в когомологии де Рама ) как логарифмический дифференциальные формы

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} { frac {d alpha} { alpha}}.}

с ${ displaystyle alpha}$ любая линейная форма, определяющая общую гиперплоскость расположения.

Технические детали

Иногда удобно разрешить вырожденная гиперплоскость, то есть все пространство S, чтобы принадлежать договоренности. Если А содержит вырожденную гиперплоскость, то у нее нет областей, потому что дополнение пусто. Однако у него все еще есть квартиры, полурешетка пересечений и грани. Предыдущее обсуждение предполагает, что вырожденная гиперплоскость не входит в структуру.

Иногда хочется разрешить в компоновке повторяющиеся гиперплоскости. Мы не рассматривали эту возможность в предыдущем обсуждении, но это не имеет существенного значения.